第1讲 集合.docx
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第1讲集合
第一讲集合
【考纲解读】
(一)集合的含义与表示
1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
(二)集合间的基本关系
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
2.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
(三)集合的基本运算
1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
3.能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算.
【命题规律分析】
集合是高中数学的基础内容,也是高考数学的必考内容,难度不大,一般是一道选择题或填空题.通过对近几年高考试题的统计分析可以看出,对集合内容的考查一般以两种方式出现:
一是考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算.一是与其他知识相联系,以集合语言和集合思想为载体,考查函数的定义域、值域、函数、方程与不等式的关系、直线与曲线的位置关系等问题.特别需要注意的是越来越多的集合问题以考查数学思想方法为切入点,广泛考查数形结合思想、分类讨论思想、逻辑划分思想、函数方程思想、化归思想等,并辅之以图象法、配方法等.
【知识回顾】
1.集合中元素的个性质,集合的种表示方法;
2.若有限集有个元素,则的子集有个,真子集有个,非空子集有个,非空真子集有个.
3.空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.
4.有关集合的一些简单性质及结论:
若,则;;;.
5.交集:
且;并集:
或;
补集:
若,则且;
6.,(德·摩根律)
【考点剖析】
考点一:
集合中元素的特征
例1设集合,,,求实数的值.
难度分级:
A
选题意图:
本题考查了补集的运算,需要提醒学生注意的是当最后求出参数的范围时需要对其进行验证,以防取到不满足题意的解.
答案解析:
由题意可知,易得或.
当时,符合题意.
当时,不符合题意,舍去.
故.
例2若,集合求的值.
难度分级:
B
选题意图:
本题考查了集合相等的概念,第一眼看上去学生可能会觉得情况比较多,题目比较复杂,但是只要你发现了这个条件,就会发现问题其实很简单.当然最后不要忘了检验的过程,尤其要提醒学生注意.
答案解析:
由可知,则只能,则有以下对应关系:
①或②
由①得符合题意;②无解.所以.
高考真题赏析:
1.(2012全国卷理2)已知集合A={1.3.},B={1,m},AB=A,则m=()
A0或B0或3C1或D1或3
答案:
B
解析:
因为,所以,所以或.
若,则,满足.
若,解得或.
若,则,满足.
若,显然不成立,
综上或,选B.
小结:
在高考中,这部分只是很少直接考查,都是作为检验答案的一个标准,以防出现增解,所以也不容忽视.
考点二:
集合的表示方法
例3.设集合,则.
难度分级:
A
选题意图:
本题考查了学生对描述法的掌握,要解决集合概念问题,必须先弄清集合中元素的性质,明确是数集,还是点集,是函数的定义域,还是函数的值域等.
答案:
解析:
由,解得
所以.
例4.(2012山东理2)已知全集,集合,则为()
(A)(B)(C)(D)
答案:
C
选题意图:
本题考查了集合的补集和并集的运算,集合的表示方法使用的是列举法.
解析:
所以,选C.
高考真题赏析:
1.(2012高考全国文1)已知集合是平行四边形,是矩形,是正方形,是菱形,则()
(A)(B)(C)(D)
答案:
B
解析:
根据四边形的定义和分类可知选B.
小结:
集合表示方法中的描述法是高考考查和我们平时学习的重点,关键在于弄清楚集合的元素是什么以及元素具有怎样的性质.
考点三:
集合间的基本关系
例5.已知,或.
(1)若,求的取值范围;
(2)若,求的取值范围.
难度分级:
B
选题意图:
本题考查集合间的基本关系和集合的运算,在这里我们要提醒学生将转化为,另外要注意学生利用数轴表示不等式之间这种包含关系的能力.
答案解析:
(1),∴,解之得.
(2),∴.∴或,或
∴若,则的取值范围是;若,则的取值范围是.
例6
(1),求的值.
(2),求的值.
难度分级:
B
选题意图:
本题考查了集合间的基本关系,第一问要注意参数的讨论,不要漏掉,第二问可以借助数轴帮助我们分析.
答案解析:
(1)=0,S=,P成立0,S,由SP,P={3,-1}
得3+2=0,=-或-+2=0,=2;∴值为0或-或2.
(2)B=,即m+1>2m-1,m<2∴A成立.
B≠,由题意得得2≤m≤3
∴m<2或2≤m≤3即m≤3为取值范围.
高考真题赏析:
1.(2012新课标文1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1(A)AB(B)BA(C)A=B(D)A∩B=
答案:
B
解析:
集合,又,
所以B是A的真子集,选B.
2.(2012湖北文1)已知集合A{x|-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件ACB的集合C的个数为
A1B2C3D4
答案:
D
解析:
求解一元二次方程,得
,
易知.因为,所以根据子集的定义,集合必须含有元素1,2,且可能含有元素3,4,原题即求集合的子集个数,即有个.故选D.
点评:
本题考查子集的概念,不等式,解一元二次方程.本题在求集合个数时,也可采用列举法.列出集合的所有可能情况,再数个数即可.来年要注意集合的交集运算,考查频度极高.
考点四:
集合的运算
例7已知集合,,
(1)当时,求;
(2)若,求实数的值.
难度分级:
B
选题意图:
本题考查集合的运算.
答案解析:
由得∴-1<≤5,∴A=.
(1)当m=3时,B=,则=,
∴=.
(2)∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B=,符合题意,故实数m的值为8.
例8设集合
(1)若,求实数的值;
(2)若,求实数的取值范围;
(3)若,求实数的取值范围.
难度分级:
B
选题意图:
本题较好的考查了集合间的基本关系和集合的运算.
答案解析:
由得,故集合A=
(1)∵AB∴2B,代入B中的方程,
得2+4+3=0,∴=-1或=-3;
当=-1时,B=满足条件;
当=-3时,B=满足条件;
综上,的值为-1或-3.
(2)对于集合B,
.
∵AB=A,∴BA,
①当<0,即<-3时,B=,满足条件;
②当=0,即=-3时,B,满足条件;
③当>0,即>-3时,B=A=才能满足条件,
则由根与系数的关系得
即矛盾;
综上,的取值范围是≤-3.
(3)∵A()=A,∴A,∴A
①若B=,则<0适合;
②若B≠,则=-3时,B=,AB=,不合题意;
>-3,此时需1B且2B,将2代入B的方程得=-1或=-3(舍去);
将1代入B的方程得2+2-2=0
∴≠-1且≠-3且≠-1
综上,的取值范围是<-3或-3<<-1-或-1-<<-1或-1<<-1+或>-1+.
高考真题赏析:
1.(2012湖南理1)设集合,,则()
A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}
答案:
B
解析:
M={-1,0,1}M∩N={0,1}.
点评:
本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出,再利用交集定义得出M∩N.
2.(2012天津理11)已知集合,集合,
且,则m=__________,n=__________.
答案:
-1,1
解析:
由,得,即,
所以集合,
因为,所以是方程的根,
所以代入得,所以,
此时不等式的解为,
所以,即.
小结:
集合的运算是高考考查的重点,基本属于基础题目,解决此类题目的关键是对一些基础不等式的解法熟练,及熟练掌握集合间运算的概念.
考点五:
与集合有关的新概念问题
例9定义集合运算:
.设,则集合的所有元素之和为()
.0.2.3.6
难度等级:
A
选题意图:
从题目看本题是一道新概念的问题,但实际上本题考查了学生对于集合的概念的理解,只有能够正确理解集合的表示方法,相信不难得到正确答案.
答案:
D
分析:
由定义知,故所有元素之和为6.
例10设为复数集的非空子集,若对任意,都有,则称为封闭集.下列命题:
①集合;
②若为封闭集,则一定有;
③封闭集一定是无限集;
④若为封闭集,则满足的任意集合也是封闭集.
其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)
难度等级:
C
选题意图:
本题将集合与复数结合,既考查了学生对集合概念的理解,也考查了复数的运算,关键是有效考查了学生的逻辑思维能力,是一道好题.
答案:
①②
分析:
对于命题①,取,其中,
则,,
所以,.
而,所以,
故为封闭集,①为真命题;
对于命题②,取,则,②为真命题;
对于③,若,则为封闭集,故③为假命题;
对于④,取,,
则为封闭集,但不为封闭集,故④为假命题.
高考真题赏析:
1.(2006年四川理科)非空集合关于运算满足:
(1)对任意,都有;
(2)存在,使得对一切,都有,则称关于运算为“融洽集”;现给出下列集合和运算:
①②
③④
⑤
其中关于运算为“融洽集”_____________;(写出所有“融洽集”的序号)
答案:
①③
解析:
①,满足任意,都有,且令,有,所以①符合要求;
②,若存在,则,矛盾,∴②不符合要求;
③,取,满足要求,∴③符合要求;
④,两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式,所以④不符合要求;⑤,两个虚数相乘得到的可能是实数,∴⑤不符合要求,
这样关于运算为“融洽集”的有①③.
2.(2011广东理8)设S是整数集Z的非空子集,如果,有,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,,且有;有,则下列结论恒成立的是
A.中至少有一个关于乘法是封闭的
B.中至多有一个关于乘法是封闭的
C.中有且只有一个关于乘法是封闭的
D.中每一个关于乘法都是封闭的
答案:
A
解析:
由于,故整数1一定在T,V两个集合中的一个中,
不妨设,则,由于,则,即,从而T对乘法封闭.
小结:
创新题是近几年高考的热点,,而集合经常作为一个工具出现,主要考查学生的阅读理解能力和综合分析问题的能力.
【课后作业】
一、选择题
1.设集合,则()
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.
∵,
∴,故选A.
2.集合,,若,则的值为()
A.0B.1C.2D.4
【答案】D
【解析】:
∵,,∴∴.
3.若集合则A∩B是
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】集合,∴
4.已知,是两个向量集合,则()
A.{(1,1)}B.{(-1,1)}C.{(1,0)}D.{(0,1)}
【答案】A
【解析】因为代入选项可得{(1,1)}.
5.设集合,,则()
ABCD
【答案】B
【解析】;,整数的范围大于奇数的范围
6.(2012新课标理1)已知集合;则中所含元素的个数为()
答案:
D
解析:
要使,当时,可是1,2,3,4.
当时,可是1,2,3.
当时,可是1,2.
当时,可是1,综上共有10个,选D.
二、填空题
7.已知集合,,且,则实数a的取值范围是______________________..
【答案】a≤1
【解析】因为A∪B=R,画数轴可