中考数学二轮复习压轴专题三角形解析版.docx

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中考数学二轮复习压轴专题三角形解析版

2020年中考数学二轮复习压轴专题：

《三角形》

1．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如图①

（1）求证：

∠ACN＝∠AMC

（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：

（3）延长线段AB到点P，使BP＝BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN＝CP始终成立？

（写出探究过程）

解：

（1）∵∠BAC＝45°，

∴∠AMC＝180°﹣45°﹣∠ACM＝135°﹣∠ACM，

∵∠NCM＝135°，

∴∠ACN＝135°﹣∠ACM，

∴∠ACN＝∠AMC；

（2）过点N作NE⊥AC于E，

∵∠CEN＝∠CDM＝90°，∠ACN＝∠AMC，CM＝CN，

∴△NEC≌△CDM（AAS）

∴NE＝CD，CE＝DM；

∵S1＝AC•NE，S2＝AB•CD，

∴＝；

（3）当AC＝2BD时，对于满足条件的任意点N，AN＝CP始终成立，

理由如下：

过点N作NE⊥AC于E，

由

（2）可得NE＝CD，CE＝DM，

∵AC＝2BD，BP＝BM，CE＝DM，

∴AC﹣CE＝BD+BD﹣DM

∴AE＝BD+BP＝DP，

∵NE＝CD，∠NEA＝∠CDP＝90°，AE＝DP，

∴△NEA≌△CDP（SAS）

∴AN＝PC．

2．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．

（Ⅰ）求C点的坐标；

（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；

（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．

解：

（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：

∵CM⊥OA，AC⊥AB，

∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，

∴∠MAC＝∠OBA，

在△MAC和△OBA中，，

∴△MAC≌△OBA（AAS），

∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，

∴OM＝6，

∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），

故答案为（﹣6，﹣2）；

（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，

则四边形OEDQ是矩形，

∴DE＝OQ，

∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，

∴∠QPD＝∠OAP，

在△AOP和△PDQ中，，

∴△AOP≌△PDQ（AAS），

∴AO＝PQ＝2，

∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；

（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，

则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，

∴四边形OSFT是正方形，

∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，

∴∠HFS＝∠GFT，

在△FSH和△FTG中，，

∴△FSH≌△FTG（AAS），

∴GT＝HS，

又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），

∴OT═OS＝4，

∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，

∴﹣4﹣m＝n+4，

∴m+n＝﹣8．

3．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P

（1）观察猜想：

①线段AE与BD的数量关系为　AE＝BD　．

②∠APC的度数为　60°　．

（2）数学思考：

如图2，当点C在线段AB外时，

（1）中的结论①，②是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明

（3）拓展应用：

如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为　AE＝BD，AE⊥BD　．

解：

（1）观察猜想：

①如图1，

设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，

∵△ADC，△ECB都是等边三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE＝S△BCD，

∵∠AOC＝∠DOP，

∴∠DPO＝∠ACO＝60°，

∴∠APB＝120°，

∵S△ACE＝S△BCD，

∴×AE×CH＝×BD×CG，

∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，

∴CP平分∠APB，

∴∠APC＝60°，

故答案为AE＝BD，60°．

（2）数学思考：

：

①成立，②不成立，

理由：

设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，

∵△ADC，△ECB都是等边三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，

∵∠AOP＝∠DOC，

∴∠APO＝∠DCO＝60°，

∴∠DPE＝120°，

∵S△ACE＝S△BCD，

∴×AE×CH＝×BD×CG，

∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，

∴CP平分∠DPE，

∴∠DPC＝60°，

∴∠APC＝120°，

∴①成立，②不成立；

拓展应用：

设AC交BD于点O．

∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，

∴∠ACE＝∠DCB

∴△AEC≌△DBC（SAS），

∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，

∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，

∴∠DCO＝∠APO＝90°，

∴AE⊥BD，

故答案为：

AE＝BD，AE⊥BD．

4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．

（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？

若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．

解：

（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：

如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，

∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，

∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，

∴∠CDN＝∠EDM，

∵D是BC边的中点，

∴DE＝BD＝CD，

在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA），

∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；

（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：

BM﹣CN＝BD；理由如下：

如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，

∴∠NCD＝120°，

∵DE∥AC，

∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，

∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，

∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，

∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，

∴∠CDN＝∠EDM，

∵D是BC边的中点，

∴DE＝BD＝CD，

在△CDN和△EDM中，

，

∴△CDN≌△EDM（ASA），

∴CN＝EM，

∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，

∴BM﹣CN＝BD．

5．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC＜180°，DB平分∠PBC，且DB＝DA．

（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；

（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；

（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．

解：

（1）∵△ABC是等边三角形，BD平分∠PBC，

∴∠PBD＝∠CBD＝30°，

∵DB＝DA，

∴∠PBD＝∠BPD＝30°；

（2）如图2，连接CD，

∵点D在∠PBC的平分线上，

∴∠PBD＝∠CBD，

∵△ABC是等边三角形，

∴BA＝BC＝AC，∠ACB＝60°，

∵BP＝BA，

∴BP＝BC，

∵BD＝BD，

∴△PBD≌△CBD（SAS），

∴∠BPD＝∠BCD，

∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD，

∴△BCD≌△ACD（SSS），

∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝30°，

∴∠BPD＝30°；

（3）

如图3，连接CD，

∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，

∴△ACD≌△BCD（SSS）

∴∠ACD＝∠BCD＝30°，

∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，

∴△PBD≌△CBD（SAS）

∴∠BPD＝∠BCD＝30°，

如图4，连接CD，

∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，

∴△ACD≌△BCD（SSS）

∴∠ACD＝∠BCD＝30°，

∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，

∴△PBD≌△CBD（SAS）

∴∠BPD＝∠BCD＝30°，

如图5，连接CD，

∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，

∴△ACD≌△BCD（SSS）

∴∠ACD＝∠BCD＝＝150°，

∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，

∴△PBD≌△CBD（SAS）

∴∠BPD＝∠BCD＝150°，

6．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．

（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF+S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；

（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝S△ABC，是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；

（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF+S△CEF＝S△ABC是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．

解：

（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四边形DECF是矩形，

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∵D为AB边的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝BC，AC＝2CE，

同理：

DF＝AC，

∵AC＝BC，

∴DE＝DF，

∴四边形DECF是正方形，

∴CE＝DF＝CF＝DE，

∵S△DEF＝S△CEF＝2＝DE•DF＝DF2，

∴DF＝2，

∴CE＝2，

∴AC＝2CE＝4；

（2）S△DEF+S△CEF＝S△ABC成立，理由如下：

连接CD；如图2所示：

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB