等差数列的概念与通项公式优秀课件.ppt

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,等差数列的概念与通项公式

（1）,学习目标,目标1：

理解等差数列的概念.,目标2：

掌握等差数列的通项公式及推导方法.,目标3：

掌握等差数列的通项公式的简单应用.,复习回顾,一、数列的定义，通项公式:

按一定次序排成的一列数叫做数列。

一般写成a1,a2，a3,an,如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

二、数列的简单表示:

三、给出数列的方法:

两个实例,图中表示堆放的钢管，共堆放了7层，自上而下分别有4，5，6，7，8，9，10根钢管，钢管数排成一个数列：

4,5,6,7,9,8,10,写成数列就是：

4，5，6，7，8，9，10。

某剧院前排座位号分别是：

56，54，52，50，48，46，44，42，40，38。

请同学们思考，这两个数列有何共同特点?

从第二项起，后一项与前一项的差是1。

从第二项起，后一项与前一项的差是2.,等差数列的定义,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。

公差通常用字母d表示.,你能再举出一些等差数列的例子吗？

练习一：

判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？

如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。

你能求出等差数列（4）的第100项吗？

通项公式的推导,设一个等差数列an的首项是a1,公差是d,则始终有：

a2a1=d,a3a2=d,a4a3=d,所以有：

a2=a1+d,a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d,an=a1+（n1）d当n=1时，上式也成立。

问an=?

通过观察：

a2,a3,a4都可以用a1与d表示出来；a1与d的系数有什么特点？

所以等差数列的通项公式是：

an=a1+（n1）d,通项公式的另一推导:

例1

（1）求等差数列8，5，2，的第20项；

（2）判断-401是不是等差数列5,-9,-13的项?

如果是，是第几项，如果不是，说明理由。

分析

（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.,解：

（1）由题意得：

a1=8,d=5-8=-3,n=20这个数列的通项公式是：

an=a1+（n-1）d=-3n+11a20=11-320=-49,分析

（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。

（2）由题意得：

a1=-5,d=-9-（-5）=-4这个数列的通项公式是：

an=-5+（n-1）（-4）=-4n-1令-401=-4n-1,得n=100-401是这个数列的第100项。

练习二,

（1）求等差数列3,7,11的第4项与第10项；

（2）判断100是不是等差数列2，9，16，的项？

如果是，是第几项，如果不是，说明理由。

解：

（1）根据题意得：

a1=3,d=7-3=11-7=4,这个数列的通项公式是：

an=a1+（n-1）d=4n-1a4=44-1=15,a10=410-1=39.,

（2）由题意得：

a1=2,d=9-2=16-9=7这个数列的通项公式是：

an=2+（n-1）7=7n-5（n1）令100=7n-5,得n=15-401是这个数列的第15项。

例2某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。

已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求中间四个滑轮的直径。

课本P.35例1：

第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次奥运会如因故不能举行，届数照数

（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（）2008年北京奥运会是第几届？

2050年举行奥运会吗？

例3在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.,这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：

小结：

已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。

这种题型有简便方法吗？

请同学们思考并做以下练习。

练习三,已知等差数列an中，a4=10,a7=19,求a1和d;,思考题：

已知等差数列an中，am,d是常数，试求出an的值。

分析：

本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am,d看成是常数.,解：

设等差数列an的首项是a1，依题意可得：

am=a1+（m-1）dan=a1+（n-1）d-得：

an-am=a1+（n1）d-a1+（m-1）d=（n-m）dan=am+（n-m）d,思考练习：

已知等差数列an中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.,解法一:

依题意得：

a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1这个数列的通项公式是：

an=11-（n-1）=12-n故a12=0,a3n=123n.,解法二：

例4

（1）在等差数列an中，是否有

（2）在数列an中，如果对于任意的正整数n（n2），都有那么数列an一定是等差数列吗？

例5如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.

（1）求AB，BC，CD的长；

（2）以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？

小结,通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式：

an-an-1=d（n2）;.其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d（n1）.本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。

最后，还要注意一重要关系式，an=am+（n-m）d的理解与应用。

作业：

课本P.39-1,2,3,4,5,7.课课练P.23-P.24.,等差数列的概念与通项公式2,等差数列定义：

等差数列的通项公式：

复习回顾：

等差数列通项公式的一个变式,梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解：

用an表示梯子自上而下各级宽度成的等差数列，,a1=33，a12=110，n=12.,由已知条件有,由通项公式，得a12=a1+（12-1）d,即110=33+11d,解得d=7.,因此,a2=33+7a3=40+7a4=54a5=61a6=68a7=75a8=82a9=89a10=96a11=103.,答:

梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.,例1：

已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q是常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数列吗？

如果是，其首项与公差是什么？

分析：

由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看anan-1（n2）是不是一个与n无关的常数就行了,解：

取数列中的任意相邻两项an-1与an（n2）anan-1=（pn+q）-p（n-1）+q=pn+q-（pn-p+q）=p它是一个与n无关的常数，所以是等差数列，且公差是p在通项公式中令n=1，得a1=p+q,所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p,例2：

首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为,an2n-1,相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图,例如：

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A应满足什么条件?

由等差数列定义及a,A,b成等差数列,可得:

A-a=b-A,即,反之,若,则2A=a+b,A-a=b-A,即a,A,b成等差数列.,总之:

成等差数列.,也就是说:

是a,A,b成等差数列的充要条件.,思考：

在一个数列中,从第2项起,每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等差中项.,如果a,A,b成等差数列,那么A叫a与b的等差中项.,如:

数列:

1,3,5,7,9,11,13,中,等差数列的性质1：

即：

求下列各题中两个数的等差中项。

（1）、100与180,

（2）、2与6,练习：

解:

（1）100与180的等差中项是140,

（2）-2与6的等差中项为2,证明：

设首项为,，则,例3：

在等差数列,中，,若,则,等差数列性质2：

例4：

（1）已知等差数列an中，a3a15=30,求a9，a7a11,解：

（1）a9是a3和a15的等差中项,

（2）已知等差数列an中，a3a4a5a6a7=150，求a2a8的值,7+11=3+15,

（2）3+7=4+6=5+5,a3a4a5a6a7=5a5=150,即a5=30,故a2a8=2a5=60,a7a11=a3a15=30,a3a7=a4a6=2a5,练习：

（1）在等差数列an中，a3a9a15a21=8，求a12=,

（2）已知等差数列an中，a3和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7a8a9a10a11=,2,已知等差数列an中，a3a5=14,2a2a6=15，求a8,例5：

解：

3+5=2+6，,则2a2a6=a2a3a5=a214=15,故a2=15+14=1,a6=152a2=152

（1）=-13,故a8=2a6a4=2（-13）（-7）=-19,a3a5=a2a6,例6已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.,小结：

（1）由通项公式如何判定它是等差数列。

（2）等差数列性质1,（3）等差数列性质2,作业：

课本：

P.39:

6,8,9,10,11.课课练P.25-P.26.,19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。

20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。

21、理想是反映美的心灵的眼睛。

22、人生最高之理想，在求达于真理。

便有了文明。

24、生当做人杰，死亦为鬼雄。

25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。

26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。

27、生活中没有理想的人，是可怜的。

28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。

29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。

30、生活不能没有理想。

应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。

31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。

32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。

荀况33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。

34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。

35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。

36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。

37、理想的书籍是智慧的钥匙。

人生的旅途，前途很远，也很暗。

然而不要怕，不怕的人的面前才有路。

鲁迅2人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。

席慕蓉3做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。

萧楚女4所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。

鲁迅5人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。

特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。

巴金6我们是国家的主人，应该处处为国家着想。

雷锋7我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。

周恩来8春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。

一息尚存须努力，留作青年好范畴。

吴玉章9学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。

对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。

毛泽东10错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。

任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。

犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。

毛泽东38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。

9君子欲讷于言而敏于行。

论语译：

君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。

10二人同心，其利断金；同心之