运筹学练习题doc.docx
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运筹学练习题doc
《运筹学》---
数据、模型与决策练习题
2010年9月
一、线性规划：
基本概念
1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q,R,S：
每单位产品资源使用量
资源
产品A
产品B
可用资源
Q
2
1
2
R
1
2
2
S
3
3
4
满足所
3000美元
2000美元
有线性
利润/单位
规划假
设。
（1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型；
（2）用代数方法建立一个相同的模型；
（3）用图解法求解这个模型。
2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。
除了将4000美元用于交税和请客之
外，你决定将剩余的6000美元用于投资。
两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公
司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。
这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时
间并且要花费一些资金。
在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费
400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。
第二个朋友的公司的相应数据为4000
美元和500小时，估计利润为4500美元。
然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投
资。
如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）
都将乘以一个相同的比例。
因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估
计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。
你需要解决这个问题，找到最佳组合。
（1）为这一问题建立电子表格模型。
找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并
且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。
（2）用代数方法建立一个同样的模型。
（3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。
（4）使用图解法求解这个模型。
你的总期望利润是多少？
3、伟特制窗（WhittWindow）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：
木框
窗户和铝框窗户。
公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30
美元。
Doug制作木框窗户，每天可以制作6扇。
Linda制作铝框窗户，每天可以制作4扇。
Bob切割玻璃，每天可以切割48平方英尺。
每一扇木框窗户使用6平方英尺的玻璃，每一
扇铝框窗户使用8平方英尺。
公司需要确定每天要制作多少窗户才能使得总利润最大。
（1）为这个问题建立一个电子表格模型，找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，
并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。
（2）请解释为什么这个电子表格模型是一个线性规划模型。
（3）用代数方法建立相同的模型。
（4）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。
（5）用图解法求解这个模型。
4、世界灯具（WorldLight）公司生产两种需要金属框架部件和电器部件的电灯装置。
管
理层需要确定每一种产品要生产多少才能够使得利润最大。
每一件产品1要1单位的框架部
件和2单位的电器部件。
每一件产品2要3单位的框架部件和2单位的电器部件。
公司有
200个单位的框架部件和300个单位的电器部件。
每单位的产品1可得到利润1美元，每单
位的产品2可得到利润2美元。
产品2最多可以生产60个单位。
超过60个单位的产品不能
带来利润，因此不能有超产。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
5、普里默（Primo）保险公司引入了两种新产品：
特殊风险保险和抵押。
每单位特殊风险
保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。
管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。
工作的要求如下：
每单位工时
部门
可使用工时
特殊风险
抵押
承保
3
2
2400
管理
0
1
800
索赔
2
0
1200
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
6、W&B（WeeniesandBuns）是一家食品加工产，制作热狗和热狗面包。
他们每星期最多
使用200磅自己的面粉制作热狗面包。
每一个热狗面包需要0.1磅的面粉。
最近他们与
Pigland公司签订协议，Piglang公司每个星期一向公司供应800磅猪肉制品。
每个热狗需
要1/4磅的猪肉制品。
其他所有的制作热狗和热狗面包的配料供应不足。
W&B有5名全职雇
员（每星期工作40小时）。
制作每一个热狗需要3分钟，一个热狗面包需要2分钟。
一个热
狗能带来美元的利润，一个热狗面包能带来美元的利润。
W&B公司想知道每一个星期应当制作多少个热狗和热狗面包才能获得最大利润。
（1）为这个问题建立一个电子表格模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
（3）用图解法求解这个模型。
7、奥克家具（OakWorks）是一家手工制作餐桌和餐椅的家庭企业。
他们从当地的一个林
场中获得橡木。
林场每月运给他们2500磅的橡木。
每一张餐桌要用50磅，一张餐椅要用
25磅。
家庭成员自己制作全部的家具，每月有480个工时可用。
每张餐桌或餐椅要花去6
个工时。
一张餐桌可以为奥克家具带来400美元的利润，一张餐椅可以带来100美元的利润。
由于桌子通常是与餐桌配套卖的，他们想要至少制作两倍于餐桌数量的椅子。
奥克家具公司需要确定制作多少餐桌和椅子以使得利润最大。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
（3）用图解法求解这个模型。
8、拉尔夫·艾德蒙（RalphEdmund）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正
餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。
拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，
因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。
他获得了以
下营养和成本的信息：
每份各种成分的克数
每天需要量
成分
牛排
土豆
（克）
碳水化合物
5
15
≥50
蛋白质
20
5
≥40
脂肪
15
2
≤60
拉
4美元
2美元
尔夫想
每份成本
确定牛
排和土
豆所需要的份数（可能是小数）
，以最低的成本满足这些需求。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型；
（3）用图解法求解这个模型。
二、线性规划的what-if分析
1、公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为
3美元。
因为该产品具有极
大的需求，公司决定增加该产品原来每天
1000件的生产量。
但是从卖主那里可以购得的玩
具配件（A,B）是有限的。
每一玩具需要两个
A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每
天2000增加到3000。
同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天
1000
的供应量。
因为目前无法找到新的供货商，所以公司决定自己开发一条生产线，
在公司内部生产玩
具配件A和B。
据估计，公司自己生产的成本将会比从卖主那里购买增加美元每件（
A,B）。
管理层希望能够确定玩具以及两种配件的生产组合以取得最大的利润。
将该问题视为资源分配问题，公司的一位管理者为该问题建立如下的参数表：
每种活动的单位资源使用量
可获得的资源
资源
生产玩具
生产配件
总量
配件A
2
-1
3000
配件B
1
-1
1000
单位利润
3美元
美元
（1）为该问题建立电子表格模型并求解。
（2）因为两类活动的单位利润是估计的，所以管理层希望能够知道，为了保持最优解
不变，估计值允许的变动范围。
针对第一个活动（生产玩具），运用电子表格，求出该活动单位利润从2美元增加到4美元每次增加50美分时问题的最优解和总利润。
在最优解不变
的前提下，单位利润可以偏离其初值3美元多少？
（3）针对第二个活动（生产配件），重复
（2）的分析，该活动的单位利润从美元增加
到美元（第一种活动的单位利润固定在3美元）。
（4）运用Excel灵敏度报告来找到每个活动单位利润的允许变动范围。
（5）运用Excel灵敏度报告来描述在最优解不变的前提下，两个活动单位利润最多同
时能改变多少。
2、考虑具有如下参数表的资源分配问题：
每种活动的单位资源使用量
可获得的资源
资源
1
2
总量
1
1
2
10
2
1
3
12
该
单位利润
2美元
5美元
问题的
目标是通过确定各种活动的水平，实现最大总利润。
在what-if的分析中得知，对单位利润
的估计在50%的范围内波动，也就是说，两个活动单位利润的可能值分别在1~3美元和~美
元。
（1）基于最初的单位利润估计为该问题建立电子表格模型，然后用Excel求得最优解
并生成灵敏度报告。
（2）如果活动1的单位利润从2美元减少到1美元，以及从2美元增加到3美元的情
况下，最优解是否保持不变。
（3）同样，固定活动1的单位利润为2美元，如果活动2的单位利润从5美元减少到
美元，以及从5美元增加到美元的情况下，最优解是否保持不变。
（4）运用灵敏度报告，找出每个单位利润的允许变化范围，然后用求得的允许变化范围检验
（2）、（3）是否正确。
（5）运用Excel灵敏度报告来描述在最优解不变的前提下，两个活动单位利润最多同时能改变多少。
3、某工厂计划生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，在生产过程中共使用三种资源。
其中产品Ⅰ每单位需
要第一种资源2千克第二种资源3千克，需要第三种资源1千克；产品Ⅱ需要第一种资源2
千克第二种资源2千克，第三种资源0.5千克。
此工厂目前有能力得到A种资源8千克，B
种资源12千克，C种资源3千克。
当产品投放市场上之后，产品Ⅰ可得到利润3元，产品
Ⅱ可得到利润2元。
回答下列问题：
（1）请帮助工厂厂长做一决策，使得所生产的产品获利最大。
（2）当最优决策做出后，各种资源是否还有剩余，请明确指出各个资源的剩余情况。
（3）如果工厂现在又可以得到A种资源两千克，利润是否可以得到改变，若可以，改变多少？
（4）当其它情况不变，市场发生变化时，假设产品Ⅰ的利润变为4元，决策会改变吗？
4、K&L公司为其冰激凌经营店供应三种口味的冰激凌：
巧克力、香草和香蕉。
因为天气炎
热，对冰激凌的需求大增，而公司库存的原料已经不够了。
计这些原料分别为：
牛奶、糖和
奶油。
公司无法完成接收的订单，但是为了在资源有限的条件下使利润最大化，公司需要确
定各种口味产品的最优组合。
巧克力、香草和香蕉三种口味的冰激凌的销售利润分别为每加仑美元、美元和美元。
公
司现在有200加仑牛奶、150磅糖和60加仑奶油的库存。
这一问题代数形式的线性规划表
示如下：
假设：
C=巧克力冰激凌的产量（加仑），V=香草冰激凌的产量（加仑），B=香蕉冰激凌的
产量（加仑）
最大化：
利润=1.00C++
约束条件
牛奶：
0.45C++≤200（加仑）
糖：
0.50C++≤50（加仑）
奶油：
0.10C++≤60（加仑）
且C≥0，V≥0，B≥0
使用Excel求解，求解后的电子表格和灵敏度报告如下图所示（注意，因为在（6）中
将会讨论牛奶约束，所以该部分在下面的图中隐去了）。
不用Excel重新求解，尽可能详尽地回答下列问题，注意，各个部分是互不干扰、相互
独立的。
ABCDEFG
1巧克力香草香蕉
2单位利润
3
4
原料
每加仑冰激凌所用原料
所需原料
可用原料
5
牛奶
180
≤
200
6
糖
150
≤
150
7
奶油
60
≤
60
8
9
巧克力
香草
香蕉
总利润
10
每加仑
0
300
75
可调单元格
单元格
名称
最终价值
成本削减
目标系数
增加上限
降低下限
$C$10
每加仑巧克力用量
0
1
1E+30
$D$10
每加仑香草用量
300
0
$E$10
每加仑香蕉用量
75
0
约束
单元格
名称
最终价值
影子价格
右端值
增加上限
降低下限
$F$5
所用牛奶量
$F$6
所用糖量
150
150
10
30
$F$7
所用奶油量
60
1
60
15
（1）最优解和总利润是多少？
（2）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为美元，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？
（3）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为92美分，最优解是否改变，对总利润又会产生
怎样的影响？
（4）公司发现有3加仑的库存奶油已经变质，只能扔掉，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？
（5）假设公司有机会购得15磅糖，总成本15美元，公司是否应该购买这批糖，为什
么？
（6）在灵敏度报告中加入牛奶的约束，并解释如何减少各种产品的产量？
5、大卫、莱蒂娜和莉迪亚是一家生产钟表的公司业主以及员工，大卫、莱蒂娜每周最多工
作40个小时，而莉迪亚每周最多能工作20个小时。
该公司生产两种不同的钟表：
落地摆钟和墙钟。
大卫是机械工程师，负责装配钟表内部
的机械部件；而莱蒂娜是木工，负责木质外壳的手工加工；莉迪亚负责接收订单和送货。
每
一项工作所需时间如下表所示：
所需时间（小时）
任务
落地摆钟
墙钟
组装机械配件
6
4
雕刻木质外壳
8
4
每生产并销
运输
3
3
售一个落地摆钟
产生的利润是300
美元，每个墙钟为
200美元。
现在，三个业主希望能够得到各种产品产量的最优组合，以使得利润最大化。
将会讨论牛奶约束，所以该部分在下面的图中隐去了）。
（1）为该问题建立线性规划模型。
（2）如果落地摆钟的单位利润从300美元增加到375美元，而模型的其他不变，最优
解是否会改变。
然后用该模型检验如果墙钟的单位利润也从200美元变动到175美元，最优
解是否会改变。
（3）在电子表格上建立和求解该问题的原始模型。
（4）运用Excel分析，如果落地摆钟的单位利润在150美元到450美元之间每增加20
美元给最优解和总利润带来的影响（墙钟单位利润不变）。
然后同样分析，当墙钟的单位利
润在50美元岛50美元之间每增加20美元给最优解和总利润带来的影响（落地摆钟单位利
润不变）。
而模型的其他不变，运用灵敏度报告确定最优解是否会改变？
用这些信息来估计
每种钟单位利润允许取值范围。
（5）象（4）中一样，只是每增加20美元变为每增加50美元，给最优解带来的影响。
（6）依次对每个业主用Excel分析，如果他们决定将自己的最大可用工时增加5小时
每周，那么给最优解和总利润带来的影响。
（7）运用Excel分析，如果只是大卫将最大可用工时变为35、37、39、41、43、45
时最优解和总利润的变化。
然后同样分析，莱蒂娜将可用工时进行上述改变时的情况。
最后
分析，当莉迪亚将最大可用工时变为15、17、19、21、23、25时最优解和总利润的变化。
（8）生成Excel灵敏度报告，用它来决定每种钟的单位利润和每个业主的最大可用工时的允许变化范围。
（9）为了增加总利润，三个业主同意增加他们三个人中的一个人的工作时间，增加该
人的工作时间必须能够最大限度地增加总利润。
运用灵敏度报告，确定应该选择哪一个人（假设模型的其他部分没有任何变动）。
（10）解释为什么有一个人的影子价格是0。
（11）如果莉迪亚将工作时间从每周的20小时增加到25小时，是否可以用影子价格分析该变动对结果的影响？
如果影子价格有效，总利润将增加多少？
（12）在
（1）中加入另一变动，即大卫的工作时间从每周40小时减少到35小时，重
新分析。
6、考虑具有如下参数表的资源分配问题：
每种活动所需的单位资源使用量
可获得的资源
资源
1
2
总量
1
1
3
8
2
1
1
4
该
单位利润
1美元
2美元
问题的
目标是确定各种活动的单位数量使得总利润最大。
（1）使用作图法求解该模型。
（2）增加1个单位的可获得的资源数量，用作图法再次求解，从而确定各种资源的影子价格。
（3）对
（1）和
（2）部分用电子表格建模并求解。
（4）用Excel依次对各个资源分析当可用资源的数量从低于原始值4到高于原始值6
的范围内每增加1单位对最优解和总利润的影响。
运用结果估计可用资源量的允许取值范
围。
（5）运用灵敏度报告求得影子价格。
同样用该报告找到在影子价格保持正确的前提下可用资源的允许范围。
（6）描述一下为什么在管理层有权改变可获得的资源量时，影子价格是很有用的。
三、运输问题和指派问题
1、研究分析一下拥有如下所示参数表的运输问题：
销
单位成本（美元）
产
地
供应
地
1
2
3
1
9
6
8
4
2
7
12
10
3
3
6
7
6
2
需求
4
2
3
（1）画出这个问题的网络表示图。
（2）用电子表格描述这个问题，然后使用Excel得到最优解决方案。
2、考虑拥有如下所示参数表的运输问题：
目的地
单位成本（美元）
1
2
3
4
供应
出发地
1
3
7
6
4
5
2
2
4
3
2
2
（1）画出这个
3
4
3
8
5
3
问题的网络表示
图。
需求
3
3
2
2
（2）用电子表格描述这个问题，然后使用
Excel
得到最优解决方案。
3、考斯雷司（Cost-Less）公司从它的工厂向它的四个零售点供应货物，从每一个工厂到
每一个零售点供应货物，从每一个工厂到每一个零售点的运输成本如下所示：
零售点
单位成本（美元）
1
2
3
4
工厂
1
500
600
400
200
2
200
900
100
300
工厂1、2、3、4
3
300
400
200
100
每个月的生产量为10、
20、20、10个运输单位。
4
200
100
300
200
零售点1、2、3、4每
个月所需货物量为20、10、10、20个运输单位。
配送经理兰迪·史密斯现在需要确定每个月从每一个工厂制中药运送多少给相应零售点
的最佳方案。
兰迪的目标就是要使总的运输成本最小。
（1）把这个问题描述为一个运输问题并写出相应的出发地、供应量、目的地、需求量
和单位成本。
（2）用电子表格描述这个问题，然后使用Excel得到最优解决方案。
4、恰德费尔（Childfair）公司拥有三个生产折叠婴儿车的工厂，并运往四个配送中心。
工厂1、2和3枚月产量为12、17、11个运输单位。
同时配送中心每月需要10个运输单位
的货物。
从每一个工厂到每一个配送中心的路程如下表所示：
零售点
到配送中心的距离
（英里）
工厂
1
2
3
4
1
800
1300
400
700
2
1100
1400
600
1000
每一个运输单位
600
1200
800
的运输成本为每英里
3
900
美元。
（1）把这个问题描述为一个运输问题并写出相应的出发地、供应量、目的地、需求量和单位成本。
（2）用电子表格描述这个问题，然后使用Excel得到最优解决方案。
5、汤姆想要在今天买3品脱的家酿酒，明天买另外的4品脱。
迪克想要销售5品脱的家酿
酒，今天的价钱为每品脱美元，而明天的价钱是每品脱美元。
哈里想要销售4品脱的家酿酒，
今天的价钱为每品脱美元，而明天的价钱为每品脱美元。
汤姆想要知道他要如何进行购买才能在满足他的口渴需求的基础之上，使他的购买成本达到
最小值。
为这个
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