空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧.docx
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空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
间向量之--建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
.
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形,∠A为直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
解析:
如图1,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则C1(0,1,2)、B(2,4,0),
∴
,
.
设
与
所成的角为
,
则
.
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、C1的一点,EA⊥EB1.已知
,BB1=2,BC=1,∠BCC1=
.求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.
解析:
如图2,以B为原点,分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴,过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系.
由于BC=1,BB1=2,AB=
,∠BCC1=
,
∴在三棱柱ABC-A1B1C1中,有B(0,0,0)、A(0,0,
)、B1(0,2,0)、
、
.
设
且
,
由EA⊥EB1,得
,
即
,∴
,
即
或
(舍去).故
.
由已知有
,
,故二面角A-EB1-A1的平面角
的大小为向量
与
的夹角.
因
,
故
,即
三、利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(1)证明AB⊥平面VAD;
(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.
解析:
(1)取AD的中点O为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系.
设AD=2,则A(1,0,0)、D(-1,0,0)、B(1,2,0)、
V(0,0,
),∴
=(0,2,0),
=(1,0,-
).
由
,得
AB⊥VA.
又AB⊥AD,从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直,∴AB⊥平面VAD;
(2)设E为DV的中点,则
∴
,
,
.
∴
,
∴EB⊥DV.
又EA⊥DV,因此∠AEB是所求二面角的平面角.
∴
.
故所求二面角的余弦值为
.
四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V-ABCD中,E为VC中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.
(1)求∠DEB的余弦值;
(2)若BE⊥VC,求∠DEB的余弦值.
解析:
(1)如图4,以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系,其中Ox∥BC,Oy∥AB,则由AB=2a,OV=h,有B(a,a,0)、C(-a,a,0)、D(-a,-a,0)、V(0,0,h)、
∴
,
.
∴
,
即
;
(2)因为E是VC的中点,又BE⊥VC,
所以
,即
,
∴
,∴
.
这时
,即
.
五、利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线,但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等),利用自身对称性可建立空间直角坐标系.
例5已知两个正四棱锥P-ABCD与
Q-ABCD的高都为2,AB=4.
(1)证明:
PQ⊥平面ABCD;
(2)求异面直线AQ与PB所成的角;
(3)求点P到平面QAD的距离.
(2)由题设知,ABCD是正方形,且AC⊥BD.由
(1),PQ⊥平面ABCD,故可分别以直线
为x,y,z轴建立空间直角坐标系(如图1),易得
,
.
所求异面直线所成的角是
.
(3)由
(2)知,点
.
设n=(x,y,z)是平面QAD的一个法向量,则
得
取x=1,得
.点P到平面QAD的距离
.
点评:
利用图形所具备的对称性,建立空间直角坐标系后,相关点与向量的坐标应容易得出.第(3)问也可用“等体积法”求距离.