空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧.docx

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空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

间向量之--建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

．

　　一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

　　例1　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．

　　解析：

如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1（０，1，2）、B（2，4，０），

　　∴

，

．

　　设

与

所成的角为

，

　　则

．

二、利用线面垂直关系构建直角坐标系

　　例2　如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知

，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝

．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．

　　解析：

如图2，以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系．

　　由于BC＝1，BB1＝2，AB＝

，∠BCC1＝

，

　　∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，０，０）、A（０，０，

）、B1（０，2，０）、

、

．

　　设

且

，

　　由EA⊥EB1，得

，

　　即

，∴

，

　　即

或

（舍去）．故

．

　　由已知有

，

，故二面角A－EB1－A1的平面角

的大小为向量

与

的夹角．

　　因

，

故

，即

三、利用面面垂直关系构建直角坐标系

　　例3　如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．

（1）证明AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．

　　解析：

（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．

　　设AD＝2，则A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、

V（０，０，

），∴

＝（０，2，０），

＝（1，０，－

）．

　　由

，得

　　AB⊥VA．

　　又AB⊥AD，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，∴AB⊥平面VAD；

（2）设E为DV的中点，则

　　∴

，

，

．

　　∴

，

　　∴EB⊥DV．

　　又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．

　　∴

．

故所求二面角的余弦值为

．

　　四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系

　　例4　已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．

（1）求∠DEB的余弦值；

（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．

　　解析：

（1）如图4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，则由AB＝2a，OV＝h，有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-a，０）、V（0，0，h）、

　　∴

，

．

　　∴

，

　　即

；

（2）因为E是VC的中点，又BE⊥VC，

所以

，即

，

∴

，∴

．

这时

，即

．

五、利用图形中的对称关系建立坐标系

图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．

例5已知两个正四棱锥P－ABCD与

Q－ABCD的高都为2，AB＝4．

（1）证明：

PQ⊥平面ABCD；

（2）求异面直线AQ与PB所成的角；

（3）求点P到平面QAD的距离．

（2）由题设知，ABCD是正方形，且AC⊥BD．由

（1），PQ⊥平面ABCD，故可分别以直线

为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图1），易得

，

．

　　所求异面直线所成的角是

．

（3）由

（2）知，点

．

设n=（x，y，z）是平面QAD的一个法向量，则

得

取x＝1，得

．点P到平面QAD的距离

．

　　点评：

利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．