三年高考数学理真题分类解析专题12平面向量.docx
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三年高考数学理真题分类解析专题12平面向量
专题12平面向量
考纲解读明方向
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.平面向量的基本
概念与线性运算
①了解向量的实际背景;
②理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;
③理解向量的几何表示;
④掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义
掌握
2015课标Ⅰ,7;
2015陕西,7;
2013四川,12
选择题
填空题
★★☆
2.向量的共线问题
①掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;
②了解向量线性运算的性质及其几何意义
掌握
2015课标Ⅱ,13;
2013陕西,3
选择题
填空题
★★☆
分析解读1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.平面向量基本定理
了解平面向量的基本定理及其意义
了解
2017江苏,12;
2015北京,13;
2013北京,13
选择题
填空题
★☆☆
2.平面向量的坐标运算
①掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;
③理解用坐标表示的平面向量共线的条件
掌握
2016课标全国Ⅱ,3;
2015江苏,6;
2014陕西,13;
2013重庆,10
选择题
填空题
★★☆
分析解读1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.数量积的定义
（1）平面向量的数量积
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;
②了解平面向量的数量积与向量投影的关系;
③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;
④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
（2）向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;
②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
理解
2017浙江,10;
2016天津,7;
2015湖北,11;
2014课标Ⅱ,3
选择题
填空题
★★★
2.平面向量的
长度问题
掌握
2017课标全国Ⅰ,13;
2017浙江,15;
2016北京,4;
2014浙江,8
选择题
填空题
★★★
3.平面向量的夹角、
两向量垂直及数
量积的应用
掌握
2017课标全国Ⅱ,12;
2017山东,12;
2016山东,8;
2015重庆,6;
2014重庆,4
选择题
填空题
★★★
分析解读1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.
2018年高考全景展示
1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为
，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A.
−1B.
+1C.2D.2−
【答案】A
【解析】分析:
先确定向量
所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
详解：
设
，则由
得
，
由
得
因此
的最小值为圆心
到直线
的距离
减去半径1，为
选A.
点睛：
以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，
，
，
，
.若点E为边CD上的动点，则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：
由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：
建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
，
，
，
点
在
上，则
，设
，则：
，即
，据此可得：
，且：
，
，由数量积的坐标运算法则可得：
，整理可得：
，
结合二次函数的性质可知，当
时，
取得最小值
.本题选择A选项.
点睛：
求两个向量的数量积有三种方法：
利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：
y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为
的直线与C交于M，N两点，则
=
A.5B.6C.7D.8
【答案】D
详解：
根据题意，过点（–2，0）且斜率为
的直线方程为
，与抛物线方程联立
，消元整理得：
，解得
，又
，所以
，
从而可以求得
，故选D.
点睛：
该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出
，之后借助于抛物线的方程求得
，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
4．【2018年理新课标I卷】在△
中，
为
边上的中线，
为
的中点，则
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】分析：
首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得
，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到
，之后将其合并，得到
，下一步应用相反向量，求得
，从而求得结果.
详解：
根据向量的运算法则，可得
，
所以
，故选A.
点睛：
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5．【2018年理数全国卷II】已知向量，
满足
，
，则
A.4B.3C.2D.0
【答案】B
【解析】分析：
根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：
因为
所以选B.
点睛：
向量加减乘：
6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系
中，A为直线
上在第一象限内的点，
，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若
，则点A的横坐标为________．
【答案】3
【解析】分析：
先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.
详解：
设
，则由圆心
为
中点得
易得
，与
联立解得点D的横坐标
所以
.所以
，
由
得
或
，
因为
，所以
点睛：
以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量
，
，
．若
，则
________．
【答案】
【解析】分析：
由两向量共线的坐标关系计算即可。
详解：
由题可得
，
，
即
，故答案为
点睛：
本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题。
2017年高考全景展示
1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若
=
+
，则
+
的最大值为
A．3B．2
C．
D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：
如图所示，建立平面直角坐标系
设
根据等面积公式可得圆的半径
，即圆C的方程是
，
，若满足
，
即
，
，所以
，
设
，即
，点
在圆
上，
所以圆心到直线的距离
，即
，解得
，
所以
的最大值是3，即
的最大值是3，故选A.
【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理
【名师点睛】
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：
先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数
，使得
”是“
”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：
若
，使
，即两向量反向，夹角是
，那么
T，若
，那么两向量的夹角为
，并不一定反向，即不一定存在负数
，使得
，所以是充分不必要条件，故选A.
【考点】1.向量；2.充分必要条件.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：
1.根据定义，若
，那么
是
的充分不必要，同时
是
的必要不充分条件，若
，那互为充要条件，若
，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若
若
，那么
是
的充分必要条件，同时
是
的必要不充分条件，若
，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将
是
条件的判断，转化为
是
条件的判断.
3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：
因为
，所以
选C．
【考点】平面向量数量积运算
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得
，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求
，
，进而解得
．
4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.
【答案】
【解析】
试题分析：
所以
.
秒杀解析：
利用如下图形，可以判断出
的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为
.
【考点】平面向量的运算.
【名师点睛】平面向量中涉及到有关模长的问题，用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.
5．【2017浙江，15】已知向量a，b满足
则
的最小值是________，最大值是_______．
【答案】4，
【解析】
试题分析：
设向量
的夹角为
，由余弦定理有：
，
，则：
，
令
，则
，
据此可得：
，
即
的最小值是4，最大值是
．
【考点】平面向量模长运算
【名师点睛】本题通过设入向量
的夹角
，结合模长公式，解得
，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
6.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量
的模分别为1,1,
与
的夹角为
且tan
=7,
与
的夹角为45°.若
则
.
【答案】3
【考点】向量表示
【名师点睛】
（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
（3）向量的两个作用：
①载体作用：
关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：
利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
7.【2017天津，理13】在
中，
，
，
.若
，
，且
，则
的值为___________.
【答案】
【解析】
则
.
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的
已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.
8.【2017山东，理12】已知
是互相垂直的单位向量，若
与
的夹角为
，则实数
的值是.
【答案】
【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.
【名师点睛】
1.平面向量
与
的数量积为
，其中
是
与
的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：
.
2.由向量的数量积的性质有
，
，
，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立
的方程.
9.【2017江苏，16】已知向量
（1）若a∥b,求x的值；
（2）记
求
的最大值和最小值以及对应的
的值.
【答案】
（1）
（2）
时，
取得最大值，为3；
时，
取得最小值，为
.
【解析】解：
（1）因为
，
，a∥b，
所以
.
若
，则
，与
矛盾，故
.
于是
.
又
，所以
.
（2）
.
因为
，所以
，
从而
.
于是，当
，即
时，
取到最大值3；
当
，即
时，
取到最小值
.
【考点】向量共线，数量积
【名师点睛】
（1）向量平行：
，
（2）向量垂直：
，
（3）向量加减乘：
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标1卷】设向量a=（m,1）,b=（1,2）,且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.
【答案】
【解析】
试题分析：
由
得
所以
解得
.
考点：
向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：
若
则
.
量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.
2.【2016高考山东理数】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=
.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（）
（A）4（B）–4（C）
（D）–
【答案】B
【解析】
试题分析：
由
，可设
，又
，所以
所以
，故选B.
考点：
平面向量的数量积
【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从
出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.
3.【2016高考新课标2理数】已知向量
，且
，则
（）
（A）－8（B）－6（C）6（D）8
【答案】D
【解析】
试题分析：
向量
，由
得
，解得
，故选D.
考点：
平面向量的坐标运算、数量积.
【名师点睛】已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cosθ＝
cosθ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
4.【2016高考新课标3理数】已知向量
，
，则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】
试题分析：
由题意，得
，所以
，故选A．
考点：
向量夹角公式．
【思维拓展】
（1）平面向量
与
的数量积为
，其中
是
与
的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：
；
（2）由向量的数量积的性质有
，
，
，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．
5.【2016年高考北京理数】设
，
是向量，则“
”是“
”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
试题分析：
由
，故是既不充分也不必要条件，故选D.
考点：
1.充分必要条件；2.平面向量数量积.
【名师点睛】由向量数量积的定义
（
为
，
的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.
6.【2016高考天津理数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点
分别是边
的中点，连接
并延长到点
，使得
，则
的值为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】
试题分析：
设
，
，∴
，
，
，∴
，故选B.
考点：
向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解．
7.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足
=
=
=
=
=-2，动点P，M满足
=1，
=
，则
的最大值是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B
【解析】
试题分析：
甴已知易得
.以
为原点，直线
为
轴建立平面直角坐标系，则
设
由已知
，得
，又
，它表示圆
上点
与点
距离平方的
，
，故选B．
考点：
1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.
【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出
，且
，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出
坐标，同时动点
的轨迹是圆，
，因此可用圆的性质得出最值．
8.【2016高考江苏卷】如图，在
中，
是
的中点，
是
上的两个三等分点，
，
，则
的值是.
【答案】
考点：
向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：
9.【2016高考浙江理数】已知向量a、b,｜a｜=1，｜b｜=2，若对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜
则a·b的最大值是．
【答案】
【解析】
试题分析：
，即最大值为
考点：
平面向量的数量积．
【易错点睛】在
两边同时平方，转化为
的过程中，很容易忘记右边的
进行平方而导致错误．
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