新 人教版初中八年级数学下册《一次函数》教案.docx

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新人教版初中八年级数学下册《一次函数》教案

一次函数

第一课时

教学目标

1.理解一次函数和正比例函数的概念；

2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式．

3.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系；

4.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力．

教学过程

一、创设情境

问题1小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离．

分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律．为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是

s＝570－95t．

说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量．

问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元,从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式．

分析我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为y元,得到所求的函数关系式为：

y＝50＋12x．

问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?

二、探究归纳

上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的．函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数（linearfunction）．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0．

特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx（常数k≠0）出叫正比例函数（directproportionalfunction）．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例．

三、实践应用

例1下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？

（1）面积为10cm2的三角形的底a（cm）与这边上的高h（cm）；

（2）长为8（cm）的平行四边形的周长L（cm）与宽b（cm）；

（3）食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后还剩下煤y吨；

（4）汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．

分析确定函数是否为一次函数或正比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y＝kx＋b（k≠0）或y＝kx（k≠0）形式，所以此题必须先写出函数解析式后解答．

解

（1）

，不是一次函数．

（2）L＝2b＋16，L是b的一次函数．

（3）y＝150－5x，y是x的一次函数．

（4）s＝40t,s既是t的一次函数又是正比例函数．

例2已知函数y＝（k－2）x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．

分析根据一次函数和正比例函数的定义,易求得k的值．

解若y＝（k－2）x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝

．

若y＝（k－2）x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2．

例3已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）y与x之间是什么函数关系；

（3）求x＝2.5时，y的值．

解

（1）因为y与x－3成正比例,所以y＝k（x－3）．

又因为x＝4时，y＝3，所以3＝k（4－3），解得k＝3，

所以y＝3（x－3）＝3x－9．

（2）y是x的一次函数．

（3）当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．

例4已知A、B两地相距30千米，B、C两地相距48千米．某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经过B地到达C地．设此人骑行时间为x（时），离B地距离为y（千米）．

（1）当此人在A、B两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x取值范围．

（2）当此人在B、C两地之间时，求y与x的函数关系及自变量x的取值范围．

分析

（1）当此人在A、B两地之间时，离B地距离y为A、B两地的距离与某人所走的路程的差．

（2）当此人在B、C两地之间时，离B地距离y为某人所走的路程与A、B两地的距离的差．

解

（1）y＝30－12x．（0≤x≤2.5）

（2）y＝12x－30．（2.5≤x≤6.5）

例5　某油库有一没储油的储油罐，在开始的8分钟时间内，只开进油管，不开出油管，油罐的进油至24吨后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐中的油从24吨增至40吨．随后又关闭进油管，只开出油管，直至将油罐内的油放完．假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变．写出这段时间内油罐的储油量y（吨）与进出油时间x（分）的函数式及相应的x取值范围．

分析因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中，储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的，所以此题因分三个时间段来考虑．但在这三个阶段中，两变量之间均为一次函数关系．

解在第一阶段：

y＝3x（0≤x≤8）；

在第二阶段：

y＝16＋x（8≤x≤16）；

在第三阶段：

y＝－2x＋88（24≤x≤44）．

第二课时

教学目标

1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线；

2.熟练地作出一次函数和正比例函数的图象，掌握k与b的取值对直线位置的影响．

3.经历一次函数的作图过程，探索某些一次函数图象的异同点；

4.体会用类比的思想研究一次函数，体验研究数学问题的常用方法：

由特殊到一般，由简单到复杂．

教学过程

一、创设情境

前面我们学习了用描点法画函数的图象的方法，下面请同学们根据画图象的步骤：

列表、描点、连线，在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．

（1）

；　　

（2）

；

（3）y＝3x；　　（4）y＝3x＋2．

同学们观察并互相讨论，并回答：

你所画出的图象是什么形状．

二、探究归纳

观察上面四个函数的图象，发现它们都是直线．请同学举例对你们的发现作出验证．

一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线，这条直线通常又称为直线y＝kx＋b（k≠0）．特别地，正比例函数y＝kx（k≠0）是经过原点的一条直线．

问几点可以确定一条直线?

答两点．

结论那么今后画一次函数图象时只要取两点，过两点画一条直线就可以了．

请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．

（1）y＝-x、y＝-x＋1与y＝-x-2；

（2）y＝2x、y＝2x＋1与y＝2x-2．

通过观察发现:

（1）第一组三条直线互相平行，第二组的三条直线也互相平行．为什么呢?

因为每一组的三条直线的k相同；还可以看出，直线y＝-x＋1与y＝-x-2是由直线y＝-x分别向上移动1个单位和向下移动2个单位得到的；而直线y＝2x＋1与y＝2x-2是由直线y＝2x分别向上移动1个单位和向下移动2个单位得到的．

（2）y＝-x与y＝2x、y＝-x＋1与y＝2x＋1、y＝-x-2与y＝2x-2的交点在同一点，为什么呢？

因为每两条直线的b相同；而直线与y轴的交点纵坐标取决于b．

所以，两个一次函数，当k一样，b不一样时（如y＝-x、y＝-x＋1与y＝-x-2；y＝2x、y＝2x＋1与y＝2x-2），有

共同点：

直线平行，都是由直线y＝kx（k≠0）向上或向下移动得到；

不同点：

它们与y轴的交点不同．

而当两个一次函数，b一样，k不一样时（如y＝-x与y＝2x、y＝-x＋1与y＝2x＋1、y＝-x-2与y＝2x-2），有

共同点：

它们与y轴交于同一点（0,b）；

不同点：

直线不平行．

三、实践应用

例1在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象．

（1）y＝2x与y＝2x＋3；

（2）y＝3x＋1与

．

解

注画出图象后，同学间互相讨论、交流，看看是否与上面的结果一样．

想一想

（1）上面每组中的两条直线有什么关系？

（2）你取的是哪几个点，互相交流，看谁取的点比较简便．

通过比较，老师点拨，得出结论：

一般情况下，要取直线与x轴、y轴的交点比较简便．

例2直线

分别是由直线

经过怎样的移动得到的．

分析只要k相同，直线就平行，一次函数y＝kx＋b（k≠0）是由正比例函数的图象y＝kx（k≠0）经过向上或向下平移

个单位得到的．b＞0，直线向上移；b＜0，直线向下移．

解

是由直线

向上平移3个单位得到的；而

是由直线

向下平移5个单位得到的．

例3说出直线y＝3x＋2与

；y＝5x-1与y＝5x-4的相同之处．

分析k相同，直线就平行．b相同，直线与y轴交于同一点，且交点坐标为（0,b）．

解直线y＝3x＋2与

的b相同，所以这两条直线与y轴交于同一点，且交点坐标为（0,2）；

直线y＝5x-1与y＝5x-4的k都是5，所以这两条直线互相平行．

例4画出直线y＝-2x＋3，借助图象找出:

（1）直线上横坐标是2的点；

（2）直线上纵坐标是-3的点；

（3）直线上到y轴距离等于1的点．

解

（1）直线上横坐标是2的点是A（2,-1）；

（2）直线上纵坐标是-3的点B（3,-3）；

（3）直线上到y轴距离等于1的点C（1,1）和D（-1,5）．

第三课时

教学目标

1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标；

2.会作出实际问题中的一次函数的图象.

3.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活；

4.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题．

教学过程

一、创设情境

1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？

（一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象）.

2.正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过哪一点的直线？

（正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线）.

3.平面直角坐标系中，x轴、y轴上的点的坐标有什么特征？

4.在平面直角坐标系中,画出函数

的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方?

二、探究归纳

1.在画函数

的图象时，通过列表，可知我们选取的点是（0,-1）和（2,0），这两点都在坐标轴上，其中点（0,-1）在y轴上，点（2,0）在x轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y轴与x轴的交点.

2.求直线y＝-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线.

分析x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0．由此可求x轴上点的横坐标值和y轴上点的纵坐标值．

解因为x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0，所以当y＝0时，x＝-1.5，点（-1.5,0）就是直线与x轴的交点；当x＝0时，y＝-3，点（0，-3）就是直线与y轴的交点.

过点（-1.5,0）和（0，-3）所作的直线就是直线y＝-2x-3.

所以一次函数y＝kx＋b,当x＝0时，y＝b；当y＝0时，

.所以直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是（0,b）,与x轴的交点坐标是

.

三、实践应用

例1若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式.

分析直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b的值.

解因为直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，所以k＝-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所以b＝-2,因此所求的直线的表达式为y＝-x-2.

例2求函数

与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.

分析求直线

与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标和横坐标分别为0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线

与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边就是直线

与x轴、y轴的交点与原点的距离.

解当y＝0时，x＝2，所以直线与x轴的交点坐标是A（2,0）；当x＝0时，y＝-3,所以直线与y轴的交点坐标是B（0，-3）.

.

例3画出第一节课中问题

（1）中小明距北京的路程s（千米）与在高速公路上行驶的时间t（时）之间函数s＝570-95t的图象.

分析这是一题与实际生活相关的函数应用题，函数关系式s＝570-95t中，自变量t是小明在高速公路上行驶的时间，所以0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者，本题中t和s取值悬殊很大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.

讨论1.上述函数是否是一次函数？

这个函数的图象是什么？

2.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他的情形？

你能不能找出几个例子加以说明.

例4旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费y（元）可以看成他们携带的行李质量x（千克）的一次函数为

．画出这个函数的图象，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？

分析求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0元时的行李数．为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值．即当y＝0时，x＝30．由此可知这个函数的自变量的取值范围是x≥30．

解函数

（x≥30）图象为：

当y＝0时，x＝30.

所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.

例5今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9．

（1）画出函数的图象；

（2）观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.

分析画函数图象时，应就自变量0≤x≤5和x＞5分别画出图象，当0≤x≤5时，是正比例函数，当x＞5是一次函数，所以这个函数的图象是一条折线.

解

（1）函数的图象是：

（2）自来水公司的收费标准是：

当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以上时，每吨0.90元.

第四课时

教学目标

1.掌握一次函数y＝kx＋b（k≠0）的性质.

2.能根据k与b的值说出函数的有关性质.

3.经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与b的值对函数性质的影响；

4.观察图象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合能力．

教学过程

一、创设情境

1.一次函数的图象是一条直线，一般情况下我们画一次函数的图象，取哪两个点比较简便？

2.在同一直角坐标系中，画出函数

和y＝3x-2的图象.

问在你所画的一次函数图象中，直线经过几个象限.

二、探究归纳

1.在所画的一次函数图象中，直线经过了三个象限.

2.观察图象发现在直线

上，当一个点在直线上从左向右移动时，（即自变量x从小到大时），点的位置也在逐步从低到高变化（函数y的值也从小变到大）.

即：

函数值y随自变量x的增大而增大.

请同学们讨论：

函数y＝3x-2是否也有这种现象?

既然，一次函数的图象经过三个象限，观察上述两个函数的图象，从它经过的象限看，它必经过哪两个象限（可以再画几条直线分析）？

发现上述两条直线都经过一、三象限．又由于直线与y轴的交点坐标是（0,b）所以，当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，也称在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，也称在x轴的下方．所以当k＞0,b≠0时，直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.

3.在同一坐标系中，画出函数y＝-x＋2和

的图象（图略）.

根据上面分析的过程，请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质？

你能发现什么规律.

观察函数y＝-x＋2和

的图象发现：

当一个点在直线上从左向右移动时（即自变量x从小到大时），点的位置逐步从高到低变化（函数y的值也从大变到小）.

即：

函数值y随自变量x的增大而减小.

又发现上述两条直线都经过二、四象限，且当b＞0时，直线与x轴的交点在y轴的正半轴，或在x轴的上方；当b＜0时，直线与x轴的交点在y轴的负半轴，或在x轴的下方.所以当k＜0,b≠0时，直线经过二、四、一象限或经过二、四、三象限.

一次函数y＝kx＋b有下列性质：

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；

（2）当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降.

特别地，当b＝0时，正比例函数也有上述性质.

当b＞0,直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于正半轴.

下面，我们把一次函数中k与b的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为：

4.利用上面的性质，我们来看问题1和问题2反映了怎样的实际意义？

问题1随着时间的增长,小明离北京越来越近.

问题2随着时间的增长,小张的存款越来越多.

三、实践应用

例1已知一次函数y＝（2m-1）x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？

分析一次函数y＝kx＋b（k≠0），若k＜0，则y随x的增大而减小．

解因为一次函数y＝（2m-1）x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小．

所以，2m-1＜0,即

.

例2已知一次函数y＝（1-2m）x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.

分析一次函数y＝kx＋b（k≠0），若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函数的图象经过二、三、四象限，则k＜0,b＜0.

解由题意得:

解得，

例3已知一次函数y＝（3m-8）x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.

（1）求m的值；

（2）当x取何值时，0＜y＜4？

分析一次函数y＝kx＋b（k≠0）与y轴的交点坐标是（0,b），而交点在x轴下方，则b＜0,而y随x的增大而减小,则k＜0.

解

（1）由题意得：

，

解之得，

又因为m为整数,所以m＝2.

（2）当m＝2时，y＝-2x-1.

又由于0＜y＜4.所以0＜-2x-1＜4.

解得：

.

例4画出函数y＝-2x＋2的图象，结合图象回答下列问题：

（1）这个函数中，随着x的增大，y将增大还是减小？

它的图象从左到右怎样变化？

（2）当x取何值时，y＝0?

（3）当x取何值时，y＞0？

分析

（1）由于k＝-2＜0,y随着x的增大而减小.

（2）y＝0,即图象上纵坐标为0的点,所以这个点在x轴上.

（3）y＞0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在x轴的上方.

解

（1）由于k＝-2＜0,所以随着x的增大，y将减小.当一个点在直线上从左向右移动时，点的位置也在逐步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势.

（2）当x＝1时,y＝0.

（3）当x＜1时,y＞0.

第五课时

教学目标

1.使学生理解待定系数法；

2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题．

3.感受待定系数法是求函数解析式的基本方法,体会用“数”和“形”结合的方法求函数式；

4.结合图象寻求一次函数解析式的求法，感受求函数解析式和解方程组间的转化．

教学过程

一、创设情境

一次函数关系式y＝kx＋b（k≠0），如果知道了k与b的值，函数解析式就确定了，那么有怎样的条件才能求出k和b呢？

问题1已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？

根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为:

y＝kx＋b（k≠0）,问题就归结为如何求出k与b的值．

由已知条件x＝-2时，y＝-1，得-1＝-2k＋b．

由已知条件x＝3时，y＝-3，得-3＝3k＋b．

两个条件都要满足，即解关于x的二元一次方程

解得

所以，一次函数解析式为

．

问题2已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂物质量x（千克）的一次函数．现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式．

考虑这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时，弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系？

二、探究归纳

上题可作如下分析：

已知y是x的函数关系式是一次函数，则关系式必是y＝kx＋b的形式，所以要求的就是系数k和b的值．而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝0时，y＝6；当x＝4时，y＝7.2．可以分别将它们代入函数式，转化为求k与b的二元一次方程组，进而求得k与b的值．

解设所求函数的关系式是y＝kx＋b（k≠0）,由题意，得

解这个方程组，得

所以所求函数的关系式是y＝0.3x＋6．（其中自变量有一定的范围）

讨论1．本题中把两对函数值代入解析式后，求解k和b的过程，转化为关于k和b的二元一次方程组的问题．

2．这个问题是与实际问题有关的函数，自变量往往有一定的范围．

问题3若一次函数y＝mx-（m-2）过点（0,3），求m的值．

分析考虑到直线y＝mx-（m-2）过点（0,3），说明点（0,3）在直线上，这里虽然已知条件中没有直接给出x和y的对应值，但由于图象上每一点的坐标（x,y）代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．所以此题转化为已知x＝0时，y＝3，求m．即求关于m的一元一次方程．

解当x＝0时，y＝3．即：

3＝-（m-2）．解得m＝-1．

这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法（methodofundeterminedcoefficient）．

三、实践应用

例1已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点（-1,1）和点（1，-5）,求当x＝5时，函数y的值．

分析1．图象经过点（-1,1）和点（1，-5），即已知当x＝-1时，y＝1；x＝1时，y＝-5．代入函数解析式中，求出k与b．

2．虽然题意并没有要求写出函数的关系式，但因为要求x＝5时，函数y的值，仍需从求函数解析式着手．

解由题意，得

解这个方程组，得

这个函数解析式为y＝-3x-2．

当x＝5时，y＝-3×5-2＝-17．

例2已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式．

分析从“形”看，图象经过x轴上横坐标为2的点，y轴上纵坐标是-3的点．从“数”看，坐标（2,0）,（0,-3）满足解析式．

解设：

所求的一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）．

直线经过点（2,0）,（0,-3）,把这两点坐标代入解析式,得

解得

所以所求的一次函数的关系式是

．

例3求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．

分析两个函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而两个函数关系式就是方程组中的两个方程．所以交点坐标就是方程组的解．

解两个函数关系式组成的方程组为

解这个方程组，得

所以直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为（3，6）．

例4已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．

（1）在同一坐标系内作出它们的图象；

（2）求出它们的交点A坐标；

（3）求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；

（4）k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．

分析

（1）这两个都是一次函数，所以它们的图象是直线，通过列表，取两点