椭圆综合测试题含答案.docx
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椭圆综合测试题含答案
椭圆测试题
一、选择题：
（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
2
1、离心率为，长轴长为6的椭圆的标准方程是（）
3
222222
xyxyxy
（A）（B）
11
或
959559
1
（C）
22
xy
3620
1
（D）
22
xy
3620
1
或
22
xy
2036
1
2、动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（）
A.椭圆B.线段F1F2C.直线F1F2D.不能确定
3、已知椭圆的标准方程
2
y
21
x，则椭圆的焦点坐标为（）
10
A.（10,0）B.（0,10）C.（0,3）D.（3,0）
4、已知椭圆
22
xy
59
1
上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（）
A.253B.2C.3D.6
5、如果
22
xy
21
表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围为（）
aa2
A.（2,）B.2,12,C.（,1）（2,）D.任意实数R
6、关于曲线的对称性的论述正确的是（）
A.方程
220
xxyy的曲线关于X轴对称
B.方程
330
xy的曲线关于Y轴对称
C.方程
2210
xxyy的曲线关于原点对称
D.方程
338
xy的曲线关于原点对称
7、方程
22
xy
221
（a＞b＞0,k＞0且k≠1）与方程
kakb
22
xy
221
（a＞b＞0）表示的椭圆（）.
ab
A.有相同的离心率B.有共同的焦点C.有等长的短轴.长轴D.有相同的顶点.
8、已知椭圆
22
xy
C:
1（ab0）
＞＞的离心率为
22
ab
3
2
，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于
A、B两点．若AF3FB，则k（）
（A）1（B）2（C）3（D）2
9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）
A.
4
5
B.
3
5
C.
2
5
D.
1
5
10、若点O和点F分别为椭圆
22
xy
43
1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最
大值为（）
..
A．2B．3C．6D．8
11、椭圆
22
xy
221a＞b＞0的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段
ab
AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）
（A）（0，
2
2
]（B）（0，
1
2
]（C）[21，1）（D）[
1
2
，1）
12若直线yxb与曲线
2
y34xx有公共点，则b的取值范围是（）
A.[122,122]B.[12,3]
C.[-1,122]D.[122,3]
二、填空题：
（本大题共5小题，共20分.）
13若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
14椭圆
22
xy
4924
1
上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为.
15已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且
BF2FD，则C的离心率为.
16已知椭圆
2
x
2
c:
y1的两焦点为F1,F2,点P（x0,y0）满足
2
2
x
02
0y1,则|PF1|+PF2|的取
0
2
值范围为
三、解答题：
（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.（10分）已知点M在椭圆
22
xy
259
1
上，M
'
P垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为
'
P，并且M为线
段P
'
P的中点，求P点的轨迹方程.
18.（12分）椭圆
22
xy
45m
1（0m45）的焦点分别是F1和F2，已知椭圆的离心率
5
e过中心O作直
3
线与椭圆交于A，B两点，O为原点，若ABF2的面积是20，求：
（1）m的值
（2）直线AB的方程
..
19（12分）设F1，F2分别为椭圆
C
22
xy
:
1
22
ab
（ab0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交
于A,B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为23.
（Ⅰ）求椭圆C的焦距；
（Ⅱ）如果AF22F2B,求椭圆C的方程.
20（12分）设椭圆C：
22
xy
221（ab0）
ab
的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，
直线l的倾斜角为60o,AF2FB.
（I）求椭圆C的离心率；
（II）如果|AB|=
15
4
，求椭圆C的方程.
..
21（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP
的斜率之积等于
1
3
.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：
是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？
若存
在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
22（12分）已知椭圆
22
xy
221
（a>b>0）的离心率e=
ab
3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的
面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.
（i）若
42
||=，求直线l的倾斜角；
AB
5
..
（ii）若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且QAQB4
求y0的值.
，
椭圆参考答案
1.选择题：
题号123456789101112
答案BBCCBCABBCDD
8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.
【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B
作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴
即k=，故选B.
9
10【解析】由题意，F（-1，0），设点P（x0,y0），则有
22
xy
001
43
解得
2
x
20
y03
（1），
4
..
因为
FP（x1,y），
00
OP（x,y），所以
00
2
OPFPxxy
0（01）0
=OPFPx0（x01）
2
x
0
3
（1）
4
=
2
x
0
4
x03，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x02，因为
2x2，所以当x02时，OPFP取得最大值
0
2
2
4
236
，选C。
【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值
等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
11解析：
由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
22
ab
c
cc
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是
2
b
c
∈[a－c,a＋c]
222
即ac－c≤b≤ac＋c
∴
222
accac
222
acacc
c
a
1
cc
1或
aa
1
2
又e∈（0,1）
故e∈
1
2
1
答案：
D
12（2010湖北文数）9.若直线yxb与曲线
2
y34xx有公共点，则b的取值范围是
A.[122,122]B.[12,3]
..
C.[-1,122]D.[122,3]
二、填空题：
（本大题共4小题，共16分.）
13若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
14椭圆
22
xy
4924
1
上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为.
15（2010全国卷1文数）（16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交
uuruur
C于点D，且BF2FD
，则C的离心率为.
3
3
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形
y结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：
“数
B
研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题
的捷径.
xOF
【解析1】如图，
22
|BF|bca,
DD
1
uuruur
作DD1y轴于点D1,则由BF2FD
，得
|OF||BF|2
|DD||BD|3
1
33
所以1
|DD||OF|c,
22
即
3c
x,由椭圆的第二定义得
D
2
2332
acc
|FD|e（）a
c22a
又由|BF|2|FD|,得
2
3c
a2a,
a
e
3
3
..
【解析2】设椭圆方程为第一标准形式
22
xy
221
ab
，设Dx2,y2，F分BD所成的比为2，
02x33b2y3yb30bb
22c
xxxc;yy，代入
c2cc2
122212222
22
9c1b
22
4a4b
1
，
e
3
3
16（2010湖北文数）15.已知椭圆
2
x
2
c:
y1的两焦点为F1,F2,点P（x0,y0）满足
2
2
0
x
2
0y1,则
0
2
|PF1|+PF2|的取值范围为_______。
2,22,0【答案】
【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时（|PF1||PF2|）max2，
当P在椭圆顶点处时，取到（|PF1||PF2|）max为
（21）（21）=22
，故范围为
2,22
（x,y）
.因为00
在椭圆
2
x
2
21
y
的内部，则直线
xx
0
2
yy01
上的点（x,y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.
二.填空题：
13
3
5
142415
3
3
16
2,22,0
三.解答题：
17.解：
设p点的坐标为p（x,y），m点的坐标为
（x,y），由题意可知
00
xx
0
xx
0
yy①因为点m在椭圆
2y
0
y
0
2
22
xy
259
1
上，所以有
22
xy
001
259
②，把①代入②得
22
xy
2536
1，所以P点的轨迹是焦点在y轴上，标准方程为
22
xy
2536
1
的椭圆.
..
18.解：
（1）由已知
e
c
a
5
3
，a4535，得c5，
所以
222452520
mbac
（2）根据题意SABF2SF1F2B20，设B（x,y），则
1
SFFy，F1F22c10，所
FFB
1212
2
以y4，把y4代入椭圆的方程
22
xy
4520
1，得x3，所以B点的坐标为（3，4），所以直线
AB的方程为
44
yx或yx
33
19（2010辽宁文数）（20）（本小题满分12分）
设F1，F2分别为椭圆C
22
xy
:
1
22
ab
（ab0）的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A,B
两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为23.
（Ⅰ）求椭圆C的焦距；
（Ⅱ）如果AF22F2B,求椭圆C的方程.
解：
（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c23,故c2.
所以椭圆C的焦距为4.
（Ⅱ）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,由题意知y10,y20,直线l的方程为y3（x2）.
y3（x2）,
联立
22
xy
22
ab
1
得
22224
（3ab）y43by3b0.
解得
22
3b（22a）3b（22a）
y,y.
122222
3ab3ab
因为AF22F2B,所以y12y2.
即
22
3b（22a）3b（22a）
2.
2222
3ab3ab
得
22
a3.而ab4,所以b5.
..
22
xy
故椭圆C的方程为
95
1.
20（2010辽宁理数）（20）（本小题满分12分）
设椭圆C：
22
xy
221（0）
ab
ab
的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l
的倾斜角为60o,AF2FB.
（III）求椭圆C的离心率；
（IV）如果|AB|=
15
4
，求椭圆C的方程.
解：
设A（x1,y1）,B（x2,y2），由题意知y1＜0，y2＞0.
（Ⅰ）直线l的方程为y3（xc），其中
22
cab.
y3（xc）,
联立22
xy
22
ab
1
得
22224
（3ab）y23bcy3b0
解得
22
3b（c2a）3b（c2a）
y,y
122222
3ab3ab
因为AF2FB，所以y12y2.
即
22
3b（c2a）3b（c2a）
2
2222
3ab3ab
得离心率
e
c
a
2
3
.⋯⋯6分
1
（Ⅱ）因为21
AB1yy，所以
3
2
243ab15
3
22
3ab4
.
由
c
a
2
3
得
5
ba.所以
3
515
a，得a=3，b5.
44
22
xy
椭圆C的方程为
95
1
.⋯⋯12分
21（2010北京理数）（19）（本小题共14分）
..
在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积
等于
1
3
.
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：
是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？
若存
在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（I）解：
因为点B与A（1,1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1,1）.
设点P的坐标为（x,y）
由题意得
y1y11
x1x13
化简得
2324
（1）
xyx.
故动点P的轨迹方程为
2324
（1）
xyx
（II）解法一：
设点P的坐标为（x0,y0），点M，N得坐标分别为（3,yM）,（3,yN）.
则直线AP的方程为
y1
0
y1（x1）
x1
0
，直线BP的方程为
y1
0
y1（x1）
x1
0
令x3得
y
M
4yx3
00
x
0
1
，
y
N
2yx3
00
x
0
1
.
于是PMN得面积
21|xy|（3x）
000
S|yy|（3x）
PMNMN02
2|x1|
0
又直线AB的方程为xy0，|AB|22，
点P到直线AB的距离
|xy|
00
d.
2
于是PAB的面积
1
S|AB|d|xy|
PAB00
2
当SPABSPMN时，得
2
|xy|（3x）
000
|xy|
002
|x1|
0
..
又|x0y0|0，
所以
2
（3x）=
0
2
|x1|，解得
0
|
5
x。
0
3
因为
22
x03y04，所以
y
0
33
9
故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为
533
（,）
39
.
解法二：
若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0,y0）
则
11
|PA||PB|sin
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