高中数学必修知识点归纳总结.docx
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高中数学必修知识点归纳总结
高中数学必修2知识点总结
第一章空间几何体
第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：
定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四
边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：
用各顶点字母，如五棱柱ABCDE-A'b'cDE'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'
几何特征：
两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：
用各顶点字母，如五棱锥p-a'b'c'd'e'
几何特征：
侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：
定义：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的
部分
分类：
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：
用各顶点字母，如五棱台p-a'b'c'd'e'
几何特征：
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：
定义：
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：
①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：
定义：
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面
所围成的几何体
几何特征：
①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：
定义：
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的
部分
几何特征：
①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：
定义：
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几
何体
几何特征：
①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图
（1）定义三视图：
正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）注：
正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度
⑵画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等
（3）直观图：
斜二测画法
（4）斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
（5）用斜二测画法画出长方体的步骤：
（1）画轴
（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3空间几何体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，|为母线）
锥侧面积
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
V台二1（s'SSS）hV圆台1
—p就护匸
（4）球体的表面积和体积公式：
V球=4-.r3；S球面=4二R2
3
第二章直线与平面的位置关系D,C
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系AB
（1）平面
1平面的概念：
A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；
2平面的表示：
通常用希腊字母a、B、丫表示，如平面a（通常写在一个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC
③点与平面的关系：
点A在平面〉内，记作A:
；点A不在平面〉内，记作A--:
点与直线的关糸：
点A的直线1上，记作：
A€I；点A在直线1夕卜，记
作Al;
直线与平面的关系：
直线I在平面a内，记作Ia；直线I不在平面a内,记作I二a。
（2）公理1:
如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）
应用：
检验桌面是否平；判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1:
A.I,B・IA：
.,B・：
.=I二*
（3）公理2:
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：
一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：
①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合
的依据
（4）公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号：
平面a和B相交，交线是a,记作aAa。
符号语言：
PAC]B=Ap|B=I,P・I
公理3的作用：
1它是判定两个平面相交的方法。
2它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：
交线必过公共点。
3它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系：
共面直线相交直线：
同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：
同一平面内，没有公共点；
异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点。
2公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：
设a、b、c是三条直线
a//b"■=>a〃c
c//b
强调：
公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4注意点：
1a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为
3T
简便，点0—般取在两直线中的一条上；
2两条异面直线所成的角0€（0,）;
3当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记
作a丄b;
4两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
5计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内一一有无数个公共点
（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行一一没有公共点
指出：
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aa来表示
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行。
简记为：
线线平行，则线面平行
符号表示：
A―
匚」〃
bB=>a//aaIIb
222平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
[3Ia
2、判断两平面平行的方法有三种:
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
anp=b
作用：
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：
如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
//符号表示：
//
作用：
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义
如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L丄a，直线L叫做平面a的垂线，平面a叫做直线L的垂面。
如图，直线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂足。
2、判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点：
a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
a
2、二面角的记法：
二面角a-l-B或a-AB-B
3、两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
空间直线、平面的位置关系
平面与平面的位置关系直线与直线的位置关系
直线与平面的位置关系
第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：
当直线I与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线I向上方向之间所成的角a叫做直线I的倾斜角.特别地，当直线I与x轴平行或重合时，规定a=0°.
2、倾斜角a的取值范围：
0°WaV180°.当直线I与x轴垂直时，a=90°.
3、直线的斜率：
一条直线的倾斜角a（a工90°）的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,也就是k=tana
⑴当直线I与x轴平行或重合时，a=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线I与x轴垂直时，a=90°,k不存在.
由此可知，一条直线I的倾斜角a一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式：
给定两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,x1半x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的
斜率：
斜率公式：
k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，
如果它们的斜率相等，那么它们平行，即-1
注意：
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k仁k2,那么一定有L1//L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即y-y厂k（x-X。
）
3.2.1直线的点
斜式方程
1、直线的点斜式方程：
直线I经过点P0（x0,y0），且斜率为k
2、、直线的斜截式
方程：
已知直线I的斜率为k，且与y轴的交点为（0,b）y二kx•b
3.2.2直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：
已知两点P1（x1,x2）,P2（x2,y2）其中（XjUXzypy?
）
y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直线的截距式方程：
已知直线I与x轴的交点为A（a,0），与y轴的交点为B（0,b）,其中a=0,b=0
3.2.3直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：
关于x,y的二元一次方程AxBy0（A,B不同时
为0）
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
33两直线的交点坐标
1、给出例题：
两直线交点坐标
L1:
3x+4y-2=0L1:
2x+y+2=0
解：
解方程组3x4八2-°得x=-2，y=2
（2x+2y+2=0
所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）
3.3.2两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3点到直线的距离公式1.点到直线距离公式：
点P（x°,y°）到直线I:
Ax+By+C=0的距离为：
d=^身：
By。
二寸A2+B2
2、两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直
Ci-C2
A2B2
第四章圆与方程
4.1.1圆的标准方程
1、圆的标准方程：
（x-a）2•（y-b）2=r2
圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程
2、点M（Xo,yo）与圆（x—a）2•（y—b）2=r2的关系的判断方法：
（1）（X。
—a）2（y°—b）2>r2，点在圆夕卜
（2）（沧-a）2（y°-b）2二r2，点在圆上
（3）（xo_a）2（y。
—b）24.1.2圆的一般方程
1、圆的一般方程：
x2y2DxEyF=0
2、圆的一般方程的特点：
（1）①x2和y2的系数相同，不等于0.②没有xy这样的二次项.
（2）圆的一般方程中有三个特定的系数DE、F,因之只要求出这三个系
数，圆的方程就确定了.
（3）、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2.1圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线I:
axby^0，圆C:
x2y2DxEyF=0，圆的半径为r，圆心
（-D,-旦）到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
22
（1）当d-r时，直线I与圆C相离；
（2）当d时，直线I与圆C相切；
（3）当d:
:
r时，直线I与圆C相交；
4.2.2圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当Iri「2时，圆C与圆C2相离；
（2）当I=「1「2时，圆Ci与圆C2外切;
（3）当|「1_「2I：
：
：
I：
汀1•「2时，圆Ci与圆C2相交；
（4）当I=|ri—「2I时，圆Ci与圆C2内切；（5）当I：
：
：
|「1—「2|时，圆Ci与圆C2内含；
4.2.3直线与圆的方程的应用
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方
法判断：
（1）设直线I:
AxByC=0，圆C:
X—a•y—b2二「2，圆心Ca,b到I的距离为
（3）过圆上一点的切线方程：
1圆X2+y2=r2,圆上一点为（x0,yo），则过此点的切线方程为xx°yy^r2（课本命题）.
2圆（x-a）2+（y-b）2=r2,圆上一点为（xo,yo）,则过此点的切线方程为（xo-a）（x-a）+（yo-b）（y-b）=r2（课本命题的推广）.
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组（x,y,z）,x、y、
分别是P、QR在x、y、z轴上的坐标
2、有序实数组（x,y,z），对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组（x,y,z）来
表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的
坐标，记M（x,y,z）,x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点R（xi，yi，zj到点之间的距离公式
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