高中数学必修知识点归纳总结.docx
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高中数学必修知识点归纳总结
高中数学必修2知识点总结
第一章空间几何体
第一章空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:
定义:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四
边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:
用各顶点字母,如五棱柱ABCDE-A'b'cDE'或用对角线的端点字母,如五棱柱AD'
几何特征:
两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:
用各顶点字母,如五棱锥p-a'b'c'd'e'
几何特征:
侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:
定义:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的
部分
分类:
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:
用各顶点字母,如五棱台p-a'b'c'd'e'
几何特征:
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:
定义:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征:
①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
定义:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面
所围成的几何体
几何特征:
①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
定义:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的
部分
几何特征:
①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:
定义:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几
何体
几何特征:
①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图
(1)定义三视图:
正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)注:
正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度
⑵画三视图的原则:
长对齐、高对齐、宽相等
(3)直观图:
斜二测画法
(4)斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
(5)用斜二测画法画出长方体的步骤:
(1)画轴
(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3空间几何体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,h为斜高,|为母线)
锥侧面积
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
V台二1(s'SSS)hV圆台1
—p就护匸
(4)球体的表面积和体积公式:
V球=4-.r3;S球面=4二R2
3
第二章直线与平面的位置关系D,C
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系AB
(1)平面
1平面的概念:
A.描述性说明;B.平面是无限伸展的;
2平面的表示:
通常用希腊字母a、B、丫表示,如平面a(通常写在一个锐角内);
也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC
③点与平面的关系:
点A在平面〉内,记作A:
;点A不在平面〉内,记作A--:
点与直线的关糸:
点A的直线1上,记作:
A€I;点A在直线1夕卜,记
作Al;
直线与平面的关系:
直线I在平面a内,记作Ia;直线I不在平面a内,记作I二a。
(2)公理1:
如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
(即直线在平面内,或者平面经过直线)
应用:
检验桌面是否平;判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1:
A.I,B・IA:
.,B・:
.=I二*
(3)公理2:
经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:
一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用:
①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合
的依据
(4)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号:
平面a和B相交,交线是a,记作aAa。
符号语言:
PAC]B=Ap|B=I,P・I
公理3的作用:
1它是判定两个平面相交的方法。
2它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:
交线必过公共点。
3它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线相交直线:
同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:
同一平面内,没有公共点;
异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:
设a、b、c是三条直线
a//b"■=>a〃c
c//b
强调:
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4注意点:
1a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与0的选择无关,为
3T
简便,点0—般取在两直线中的一条上;
2两条异面直线所成的角0€(0,);
3当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记
作a丄b;
4两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
5计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内一一有无数个公共点
(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行一一没有公共点
指出:
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aa来表示
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行。
简记为:
线线平行,则线面平行
符号表示:
A―
匚」〃
bB=>a//aaIIb
222平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
[3Ia
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
anp=b
作用:
利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:
如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
//符号表示:
//
作用:
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义
如果直线L与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面a互相垂直,记作L丄a,直线L叫做平面a的垂线,平面a叫做直线L的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
2、判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:
a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
a
2、二面角的记法:
二面角a-l-B或a-AB-B
3、两个平面互相垂直的判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
空间直线、平面的位置关系
平面与平面的位置关系直线与直线的位置关系
直线与平面的位置关系
第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念:
当直线I与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线I向上方向之间所成的角a叫做直线I的倾斜角.特别地,当直线I与x轴平行或重合时,规定a=0°.
2、倾斜角a的取值范围:
0°WaV180°.当直线I与x轴垂直时,a=90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角a(a工90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tana
⑴当直线I与x轴平行或重合时,a=0°,k=tan0°=0;
⑵当直线I与x轴垂直时,a=90°,k不存在.
由此可知,一条直线I的倾斜角a一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1半x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的
斜率:
斜率公式:
k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,
如果它们的斜率相等,那么它们平行,即-1
注意:
上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k仁k2,那么一定有L1//L2
2、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,
如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即y-y厂k(x-X。
)
3.2.1直线的点
斜式方程
1、直线的点斜式方程:
直线I经过点P0(x0,y0),且斜率为k
2、、直线的斜截式
方程:
已知直线I的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b)y二kx•b
3.2.2直线的两点式方程
1、直线的两点式方程:
已知两点P1(x1,x2),P2(x2,y2)其中(XjUXzypy?
)
y-y1/y-y2=x-x1/x-x2
2、直线的截距式方程:
已知直线I与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a=0,b=0
3.2.3直线的一般式方程
1、直线的一般式方程:
关于x,y的二元一次方程AxBy0(A,B不同时
为0)
2、各种直线方程之间的互化。
3.3直线的交点坐标与距离公式
33两直线的交点坐标
1、给出例题:
两直线交点坐标
L1:
3x+4y-2=0L1:
2x+y+2=0
解:
解方程组3x4八2-°得x=-2,y=2
(2x+2y+2=0
所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2)
3.3.2两点间距离
两点间的距离公式
3.3.3点到直线的距离公式1.点到直线距离公式:
点P(x°,y°)到直线I:
Ax+By+C=0的距离为:
d=^身:
By。
二寸A2+B2
2、两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直
Ci-C2
A2B2
第四章圆与方程
4.1.1圆的标准方程
1、圆的标准方程:
(x-a)2•(y-b)2=r2
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点M(Xo,yo)与圆(x—a)2•(y—b)2=r2的关系的判断方法:
(1)(X。
—a)2(y°—b)2>r2,点在圆夕卜
(2)(沧-a)2(y°-b)2二r2,点在圆上
(3)(xo_a)2(y。
—b)24.1.2圆的一般方程
1、圆的一般方程:
x2y2DxEyF=0
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数DE、F,因之只要求出这三个系
数,圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线I:
axby^0,圆C:
x2y2DxEyF=0,圆的半径为r,圆心
(-D,-旦)到直线的距离为d,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
22
(1)当d-r时,直线I与圆C相离;
(2)当d时,直线I与圆C相切;
(3)当d:
:
r时,直线I与圆C相交;
4.2.2圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当Iri「2时,圆C与圆C2相离;
(2)当I=「1「2时,圆Ci与圆C2外切;
(3)当|「1_「2I:
:
:
I:
汀1•「2时,圆Ci与圆C2相交;
(4)当I=|ri—「2I时,圆Ci与圆C2内切;(5)当I:
:
:
|「1—「2|时,圆Ci与圆C2内含;
4.2.3直线与圆的方程的应用
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方
法判断:
(1)设直线I:
AxByC=0,圆C:
X—a•y—b2二「2,圆心Ca,b到I的距离为
(3)过圆上一点的切线方程:
1圆X2+y2=r2,圆上一点为(x0,yo),则过此点的切线方程为xx°yy^r2(课本命题).
2圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(xo,yo),则过此点的切线方程为(xo-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z),x、y、
分别是P、QR在x、y、z轴上的坐标
2、有序实数组(x,y,z),对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来
表示,该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的
坐标,记M(x,y,z),x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点R(xi,yi,zj到点之间的距离公式