小升初数学总复习专题讲解及训练中.docx
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小升初数学总复习专题讲解及训练中
小升初数学总复习专题及试题（中）
（五）圆柱和圆锥的体积
主要内容
圆柱和圆锥的体积
学习目标
1、结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式正确计算圆柱体积或圆柱形容器的容积以及解决简单的实际问题。
2、通过转化的思想，在实验的基础上使学生理解和掌握圆锥体积公式，能运用公式正确地计算圆锥的体积以及解决简单的实际问题。
3、通过圆柱、圆锥体积计算公式的推导、运用的过程，培养学生的观察、操作能力和初步的空间观念，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，并体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，获得成功的喜悦。
考点分析
1、圆柱所占空间的大小是圆柱的体积，圆柱的体积（容积）=底面积×高，用含有字母的式子表示是：
V=sh或者V=лr²h。
2、圆锥所占空间的大小是圆锥的体积，圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。
即V=
sh或者V=
лr²h。
典型例题
例1、（计算圆柱的体积）一个圆柱，底面周长9.42分米，高20厘米。
求它的体积？
分析与解：
求圆柱的体积，一般根据V=sh或者V=лr²h，题中没有给出底面积,又没有给出底面半径,所以要先求出底面半径，同时题目中单位名称不统一,要注意化单位,可以统一为分米,也可以统一为厘米。
20厘米=2分米
底面半径：
9.42÷3.14÷2=1.5（分米）
体积：
3.14×1.5²×2=14.13（立方分米）
答：
它的体积是14.13立方分米。
点评：
会使用圆柱体积计算公式是一个基本的要求。
但知道圆柱体积计算公式的推导过程也非常重要。
体积计算公式的推导过程和之前的圆柱的侧面积计算公式推导过程一样，都用了转化的数学思想。
例2、（计算圆柱的容积）
一个圆柱形的粮囤，从里面量得底面周长是9.42米，高是2米，每立方米稻谷约重545千克，这个粮囤约装稻谷多少千克？
（得数保留整千克数）。
分析与解：
先通过底面周长求出底面半径，再求出底面积，进而求出容积。
再去求能装稻谷多少千克。
3.14×（9.42÷3.14÷2）²×2×545=7700.85≈7701（千克）
答：
这个粮囤约装稻谷7701千克。
点评：
虽然求容积的方法和求体积的方法相同，但并不意味着体积就是容积。
体积的数据是从外面量的，而容积的数据要从里面量。
所以一个物体的体积都比其容积要大。
例3、（计算和圆柱的体积相关的实际问题）
有一个高为6.28分米的圆柱形机件，它的侧面展开正好是一个正方形，求这个机件的体积？
分析与解：
圆柱侧面展开是个正方形，说明圆柱的底面周长和高相等。
先通过底面周长求出底面积，再求体积。
3.14×（6.28÷3.14÷2）²×6.28=19.7192（立方分米）
答：
这个机件的体积是19.7192立方分米。
点评：
圆柱侧面展开之后得到一个长方形，长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。
在这儿展开之后是个正方形，就说明这个圆柱的底面周长和高相等。
例4、（综合题）一种抽水机出水管的直径是1分米，管口的水流速度是每秒2米，1分钟能抽水多少立方米？
分析与解：
每秒流出来的水的形状，可以看成是一个底面直径1分米，高2米的圆柱，这个圆柱的体积就是1秒种流出的水的体积，再乘60得出1分钟抽水的体积。
1分米=0.1米
3.14×（0.1÷2）²×2=0.0157（立方米）
0.0157×60=0.942（立方米）
答：
1分钟能抽水0.942立方米。
例5、（综合题）把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加31.4平方厘米。
这根钢材的体积是多少立方厘米？
分析与解：
长4米是圆柱的高，要求圆柱的体积还要知道底面积。
把圆柱截成两段，增加了两个底面的面积，即增加31.4平方厘米，可以求出圆柱的底面积。
4米=400厘米
31.4÷2=15.7（平方厘米）
15.7×400=6280（立方厘米）
答：
这根钢材的体积是6280立方厘米。
例6、（计算圆锥的体积）一个圆锥的底面半径是6厘米，高是4厘米，求它的体积。
分析与解：
已知圆锥的底面半径、直径、周长时，都要先求出底面积，然后根据V=
sh来计算圆锥的体积。
在计算时，千万不要忘记“除以3”或“乘
”。
×3.14×6²×4=150.72（立方厘米）
答：
圆锥的体积是150.72立方厘米。
点评：
求圆锥的体积不能忘了最后要除以3。
如果不除以3，求的就是和这个圆锥等底等高的圆柱的体积，而不是圆锥的体积。
计算时，可以先算
×6²×4，最后再乘3.14，可以使计算简便，提高正确率。
例7、（解决和圆锥体积计算相关的实际问题）
一个圆锥形沙堆高1.5米，底面周长是18.84米，每立方米沙约重1.7吨，这堆沙约重多少吨？
分析与解：
要求沙堆的质量，先要求沙堆的体积。
沙堆是圆锥形，已知它的高和底面周长，根据圆锥体积的计算公式，先求圆锥的底面积。
底面半径：
18.84÷3.14÷2=3（米）
体积：
×3.14×3²×1.5=14.13（立方米）
沙堆的质量：
14.13×1.7=24.021（吨）
答：
这堆沙约重24.021吨。
例8、判断：
（1）圆锥的体积是圆柱体积的
。
…………（）
（2）如果一个圆锥的体积是一个圆柱体积的
，那么它们等底等高。
…（）
分析与解：
（1）一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的
，这一结论是将它的体积和它等底等高的圆柱进行比较得到的。
（2）等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的
；但圆锥的体积是圆柱体积的
，并不意味着它们等底等高。
例9、（综合题）一个圆锥的底面半径是3厘米，体积是75.36立方厘米，高是多少厘米？
分析与解：
要求圆锥的高，根据圆锥体积计算的公式，可以先用体积乘3，求出和它等底等高的圆柱的体积，再除以底面积，即高=体积×3÷底面积，注意不能用圆锥的体积直接除以底面积。
也可以根据圆锥体积计算的公式列方程解答。
方法1：
底面积：
3.14×3²=28.26（平方厘米）
高：
75.36×3÷28.26=8（厘米）
方法2：
设高是ⅹ厘米。
×3.14×3²×ⅹ=75.36
9.42ⅹ=75.36……先算左边的
×3.14×3²
ⅹ=8
答：
高是8厘米。
点评：
通过体积去求圆锥的高时要注意先用体积乘3，求出与这个圆锥等底等高的圆柱的体积，再除以底面积，求出高；也可以根据圆锥体积计算公式用方程解答。
例10、（综合题）把一个棱长为12厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方厘米？
削去的部分是多少立方厘米？
分析与解：
将正方体木块加工成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。
正方体的体积：
12×12×12=1728（立方厘米）
圆锥的体积：
×3.14×（12÷2）²×12=452.16（立方厘米）
削去部分的体积：
1728–452.16=1275.84（立方厘米）
答：
圆锥的体积是452.16立方厘米，削去的部分是1275.84立方厘米。
模拟试题（五）
一、圆柱体积
1、求下面各圆柱的体积。
（1）底面积0.6平方米，高0.5米
（2）底面半径是3厘米，高是5厘米。
（3）底面直径是8米，高是10米。
（4）底面周长是25.12分米，高是2分米。
2、有两个底面积相等的圆柱，第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7。
第一个圆柱的体积是24立方厘米，第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米？
3、在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？
4、牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。
这支牙膏可用36次。
该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。
这样，这一支牙膏只能用多少次？
5、一根圆柱形钢材，截下1.5米，量得它的横截面的直径是4厘米。
如果每立方厘米钢重7.8克，截下的这段钢材重多少千克？
（得数保留整千克数。
）
6、把一个棱长6分米的正方体木块，削成一个最大的一圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方分米？
7、右图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的表面积减少94.2平方厘米。
这个圆柱体积减少多少立方厘米？
二、圆锥体积
1、选择题。
（1）一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是（ ）
①
a立方米②3a立方米③9立方米
（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是（ ）立方米
①6立方米②3立方米③2立方米
2、判断对错。
（1）圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍………（ ）
（2）一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比是2 ：
1………（ ）
（3）一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米
………（ ）
3、填空
（1）一个圆柱体积是18立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（）立方厘米。
（2）一个圆锥的体积是18立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（）立方厘米。
（3）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。
圆柱的体积是（）立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米。
4、求下列圆锥体的体积。
（1）底面半径4厘米，高6厘米。
（2）底面直径6分米，高8厘米。
（3）底面周长31.4厘米，高12厘米。
5、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨。
这堆沙约重多少吨？
6、一个近似圆锥形的麦堆，底面周长12.56米，高1.2米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？
7、一个长方体容器，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。
这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？
（六）比例的意义和基本性质
主要内容
比例的意义和基本性质
学习目标
1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。
2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的“项”、“内项”和“外项”；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。
3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。
考点分析
1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。
2、表示两个比相等的式子叫做比例。
3、组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
这叫做比例的基本性质。
5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。
求比例的未知项，叫做解比例。
典型例题
例1、（把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了）
AB
C
（1）长方形A的长是1.5厘米，宽是1厘米；长方形B的长是3厘米，宽是2厘米。
这两个长方形的长有什么关系？
宽呢？
（2）如果要把长方形A按1:
2的比缩小，长和宽应是原来的几分之几？
各是多少？
分析与解：
（1）长方形B的长是长方形A的2倍，宽也是长方形A的2倍。
或者说长方形B和长方形A长的比是2:
1，宽的比也是2:
1。
把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是2:
1，就是把长方形A的长和宽按2:
1的比进行放大。
（2）把长方形A按1:
2的比缩小后为长方形C，长、宽缩小为原来的
，图C的长是0.75厘米，图C的宽是0.5厘米。
由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。
例2、（根据指定的比，将图形按要求放大或缩小）
先按3:
2的比画出长方形A放大后的图形B，再按1:
2的比画出长方形A缩小后的图形C。
（1）图B的长、宽各是几格？
（2）图C呢？
（3）观察这三幅图形，你有什么发现？
A
B
C
分析与解：
（1）按3:
2的比将长方形A放大，即将长方形A的长与宽分别扩大1.5倍，那么图B的长为6×1.5=9格，宽为4×1.5=6格。
（2）按1:
2的比将长方形A缩小，即将长方形A的长与宽分别缩小到原来的
，那么图C的长为6÷2=3格，宽为4÷2=2格。
（3）从这三幅大小不同的图形上可以看出，放大或缩小后的图形与原来的图形比较，大小虽变了，但形状不变，而且各条边长度的变化都符合指定的比。
点评：
按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条边的长度，画出图形就行了。
例3、（将两个相等比写成一个等式）
图B是由图A放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗？
比较写出的两个比，你有什么发现？
B
A
3厘米
6厘米
4厘米
8厘米
分析与解：
（1）图A中长与宽的比是4:
3；图B中长与宽的原始比是8:
6，而8:
6化简后就是4:
3。
（2）这两个比化简后都是4:
3，比值相等，说明这两个比可以写成一个等式。
即
4:
3=8:
6或
=
，都读作：
4比3等于8比6。
例4、（认识比例）下面哪几组中的两个比能组成比例，把组成的比例写下来。
（1） 5 ：
6 和15 ：
18
（2） 0.2 ：
0.1 和 3 ：
1
（3）
：
和 1.2 ：
0.8 （4） 6 ：
2 和
：
分析与解：
分别求出每组中两个比的比值，如果相等就能组成比例，不相等就不能组成比例。
（1） 因为5 ：
6 =
，15 ：
18=
，所以5 ：
6 =15 ：
18。
（2） 因为0.2 ：
0.1 =2， 3 ：
1=3，所以 0.2 ：
0.1 和 3 ：
1不能组成比例。
（3） 因为
：
=
， 1.2 ：
0.8 =
，所以
：
=1.2 ：
0.8。
（4） 6 ：
2 =3，
：
=3，所以6 ：
2 =
：
。
点评：
判断两个比能不能组成比例，可以像题目中的方法一样，求出两个比的比值，比值相等就能组成比例，否则就不行。
这样解题的依据是比例的意义。
例5、（比例的各部分名称和比例的基本性质）
一台织布机3小时织布3.6米，4小时织布4.8米。
你能根据数量间的关系写出比例吗？
分析与解：
（1）这台织布机织布米数和织布时间的比相等。
3.6 ：
3 =4.8 ：
4
（2）这台织布机织布米数的比和织布时间的比相等。
3.6 ：
4.8 =3 ：
4
（3）这台织布机织布时间和织布米数的比相等。
3 ：
3.6 =4 ：
4.8
介绍“项”：
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如：
3.6 ：
3 = 4.8 ：
4
内项
外项
观察题中的三个比例，你有什么发现？
3.6 ：
3 =4.8 ：
43.6 ：
4.8 =3 ：
43 ：
3.6 =4 ：
4.8
（1）3.6和4可以同时做比例的外项，也可以同时做比例的内项。
（2）3.6×4=3×4.8，可见在比例中两个外项的积等于两个内项的积。
（3）如果把3.6 ：
3 =4.8 ：
4改写成分数形式
=
，等号两边的分子、分母分别交叉相乘，结果也相等。
（4）如果用字母表示比例的四个项，即a:
b=c:
d，
那么这个规律可表示成ad=bc或bc=ad。
（5）在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。
例6、（比例基本性质的应用）根据2×7=1.4×10这个等式写出几个比例。
分析与解：
根据比例的基本性质，可以得出2和7、1.4和10这两组数要么同时是比例的外项，要么同时是比例的内项。
1.4:
2=7:
101.4:
7=2:
10
10:
2=7:
1.410:
7=2:
1.4
2:
1.4=10:
72:
10=1.4:
7
7:
1.4=10:
27:
10=1.4:
2
点评：
像这样的比例一共可以写8个。
但它们不变的是2和7要么同时为内项，要么同时为外项，而1.4和10这一组数也一样。
写的时候可以一组一组地写了。
例7、（按比例放大的含义）
王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是12.5厘米，你有什么发现？
4厘米
5厘米
分析与解：
按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相关线段的厘米数是可以组成比例的。
两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中各自长、宽的比也可以组成比例。
12.5:
5=宽:
4或12.5:
宽=5:
4
例8、（解比例）上图中宽是多少厘米？
分析与解：
在解比例时，根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子，然后再根据等式的性质来解答。
解：
设宽是ⅹ厘米。
12.5:
5=ⅹ:
4
5ⅹ=12.5×4┈┈根据比例的基本性质
5ⅹ=50
ⅹ=10
答：
放大后图片的宽是10厘米。
点评：
像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。
同学们，你会解答
=
这个比例吗？
试试看吧！
模拟试题（六）
1、一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。
按1:
3的比缩小后，新图片的长是（）厘米，宽是（）厘米，这张图片（）不变，大小（）。
2、一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（）的比放大后，边长变为30厘米。
4、应用比例的意义，判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？
6∶10和9∶15 20∶5和4∶1 5∶1和6∶2
5、在2∶5、12∶0.2、310∶15三个比中，与5.6∶14能组成比例的一个比是（ ）。
6、在比例里，两个（）的积和两个（）积相等。
7、如果A×3=B×5，那么A∶B=（）∶（）。
8、从6、24、20、18与5这五个数中选出四个数组成一个比例是：
（）∶（）=（）∶（）。
9、根据3×8=4×6写成的比例是（）、（）或（）。
10、甲数的25%等于乙数的75%，那么甲数与乙数的比是（）∶（）。
13、解比例
ⅹ∶3=∶=∶=∶x
∶x=3∶12∶x=5％∶0.6=
14、在一个比例里，两个外项的积是30，已知一个内项是10，另一个内项是（）。
（七）比例尺、面积变化、确定位置
主要内容
比例尺、面积变化、确定位置
学习目标
1、使学生在具体情境中理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺。
会求一幅图的比例尺，能按给定的比例尺求相应的实际距离或图上距离，会把数值比例尺与线段比例尺进行转化。
2、使学生在经历“猜想－验证”的过程中，自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律。
3、在解决问题的过程中，进一步体会比例以及比例尺的应用价值，感知不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略。
4、使学生在具体情境中初步理解北偏东（西）、南偏东（西）的含义，初步掌握用方向和距离确定物体位置的方法，能根据给定方向和距离在平面图上确定物体的位置或描述简单的行走路线。
5、使学生在用方向和距离确定物体位置的过程中，进一步培养观察能力、识图能力和有条理的进行表达的能力。
发展空间观念。
6、使学生积极参与观察、测量、画图、交流等活动，获得成功的体验，体会数学知识与生活实际的联系，拓展知识视野，激发学习兴趣。
考点分析
1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2、比例尺=
，比例尺有两种形式：
数值比例尺和线段比例尺。
3、把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（
）后，放大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是n²:
1（或1:
n²）。
4、知道了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。
5、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。
画的时候先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。
6、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。
典型例题：
例1、（认识比例尺）
王伯伯家有一块长方形的菜地，长40米，宽30米。
把这块菜地按一定的比例缩小，画在平面图上长4厘米，宽3厘米。
你能分别写出菜地长、宽的图上距离和实际距离的比吗？
分析与解：
图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同的单位，写出比后再化简。
40米=4000厘米3厘米=0.03米
=
=
=
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离:
实际距离=比例尺或
=比例尺
图上距离和实际距离的比是1:
1000，这幅图的比例尺是1:
1000，也可写成
，仍读作1比1000。
点评：
求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。
做的时候唯一要注意的就是末尾0的问题：
一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上2、5个0；二是在求比例尺的结果时要注意0的个数。
多数一数、想一想，是不会有错的。
例2、（对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法）
比例尺1:
1000表示图上距离是实际距离的几分之几？
实际距离是图上距离的多少倍？
图上1厘米表示实际距离多少米？
分析与解：
比例尺1:
1000表示图上距离是实际距离的
，实际距离是图上距离的1000倍，图上1厘米的距离代表实际距离1000厘米，即10米。
像形如1:
1000这样的比例尺叫做数值比例尺。
比例尺1:
1000还可以这样表示
0102030米
，这是线段比例尺，它表示图上1厘米
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