分数应用题的知识要点.docx
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分数应用题的知识要点
1.1分数应用题
一、基础理论
（一）分数应用题的构建
1、分数应用题是小学数学教学中的重点和难点。
它大体可以分成两种：
（！
）基本数量关系与整数应用题基本相同，只是把整数应用题中的已知数换成分数，解答方法与整数应用题基本相同。
〔2〕根据分数乘除法的意义而产生的具有独特解法的分数应用题，这就是我们通常说的分数应用题。
2、分数应用题主要讨论的是以下三者之间的关系：
（！
）分率：
表示一个数是另一个数的儿分之儿，这儿分之儿通常称为分率。
⑵）标准量：
解答分数应用题时，通常把题目中作为单位“1”的那个数，称为标准量。
比较量：
解答分数应用题时，通常把题目中同标准量比较的那个数，称为比较量。
（二）分数应用题的分类
1、求一个数的几分之几是多少。
这类问题特点是已知一个看作单
位“1”的数，求它的几分之几是多少，解这类应用题用乘法。
即反映的是整体与部分之间关系的应用题，基本的数量关系是：
整体量X分率二分率的对应的部分量；或已知一个看作单位“1”的数，另一个数占它的儿分之儿，求另一个数，即反映的是甲乙两数之闾关系的应用题，基本的数量关系是：
标准量X分率：
分率的对应的比较量。
（工）求一个数的几分之几是多少：
标准量X〗（分率〕二是多少（分率
对应的比较量〕。
（之）求比一个数多儿分之儿多多少：
标准量（分率〕：
多多少（分率对应的比较量X
求比一个数多几分之几是多少：
标准量X（丨十#〕（分率〉二是多少（分率对应的比较量：
）。
〈4〕求比一个数少几分之几少多少：
标准量X〗（分率〕二少多少（分率对应的比较量：
）。
…）求比一个数少几分之几是多少：
标准量X（丨-#〕（分率〉二是
多少（分率对应的比较量：
）。
2、求一个数是另一个数的几分之几。
这类问题特点是已知两个数
量，比较它们之间的倍数关系，解这类应用题用除法。
基本的数量关系是:
比较量^标准量：
分率。
〔0求一个数是另一个数的几分之几：
比较量标准量：
分率〔几分之几：
）。
（之）求一个数比另一个数多几分之几：
相差量^标准量二分率〔多几分之几：
）。
⑶）求一个数比另一个数少儿分之儿：
相差量^标准量二分率〔少几分之几：
）。
3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
这类问题特点是已知
个数的儿分之儿是多少的数量，求单位“1”的量，解这类应用题用除法。
基本的数量关系是：
分率对应的比较量+分率：
标准量。
〔0已知一个数的几分之几是多少，求这个数：
是多少（分率对应的
比较量〕（分率〕二标准量。
（之）己知一个数比另一个数多几分之几多多少，求这个数率对应的比较量）（分率〕：
标准量。
己知一个数比另一个数多几分之几是多少，求这个数率对应的比较量）^（丨十1〕（分率〕：
标准量。
（斗）已知一个数比另一个数少几分之几少多少，求这个数率对应的比较量）（分率〕：
标准量。
“）已知一个数比另一个数少几分之几是多少，求这个数率对应的比较量）^〔1^（分率〕二标准量。
（三）分数应用题的基本训练
1、正确审题能力训练
正确审题是正确解题的前提。
这里所说的审题能力，首先是根据题中的分率句，能准确分清比较量和标准量（看分率是谁的几分之几，谁就是标准量〕，且判断标准量已知（用乘法）或未知〔用除法〉，为确定解题方法奠定基础；其次会把“比”字句转化成“是”字句；第三是能将省略式的分率句换说成比较详细的句子的能力。
2、画线段图的训练
线段图有直观、形象等特点。
按题中的数量比例，恰当选用实线或虚线把已知条件和问题表示出来，数形结合，有利于确定解题思路。
3、量、率对应关系训练
：
多多少（分：
是多少（分：
少多少（分：
是多少（分
量、率对应关系的训练是解较复杂分数应用题的重要环节。
通过训练，
能报据应用题的已知条件发挥联想，找出各种量、率间接对应关系，为正
确解题铺平道路。
如：
一批货物，第一次运走总数的1，第二次运走总数
5
的+，还剩下143吨。
量、率对应关系有：
货物的总重量^^“1”第一次运走的重量^^|第二次运走的重量两次工运走的重量^^全十^第一次比第二次少运的重量0^~|
第一次运走后剩下的重量^^
^11143吨^^1—~―7
54
3、转化分率训练
在解较复杂的分数应用题时，常需要将间接分率转化为直接运用于解
题的分率。
⑴已修总长的暑，则未修是总长的1一|^⑵甲班
891
人数是乙班的：
，则乙班人数是甲班的？
；〔3〉今年比去年增产？
，则今
985
年产量是去年的1I1：
@；（…第一次运走总数的+，第二次运走剩下
的|，则第二次运走的是总数的〔0—丨〉X|〕^—等。
4、由分率句到数量关系式训练
“分率句—数量关系式”的训练，是确保正确列式解题的训练。
如:
由“男生比女生少|，，可列数量关系式：
女生人数X。
一丨〕：
男生人数；女生人数X〗：
男生比女生少的人数；男生人数―。
―I〕：
女生人数；男生比女生少的人数二女生人数。
二、分析解答1、求一个数的几分之几是多少。
（！
）求一个数的几分之几是多少：
标准量X&（分率〕：
是多少（分率对应的比较量X
例1：
学校买来100千克白菜，吃了|，吃了多少千克？
（反映整体与部分之间的关系。
〉
白菜的总重量X〗二吃了的重量
4
100X”二80（千克〕
5
答：
吃了80千克。
例2：
—个排球定价60元，篮球的价格是排球的|。
篮球的价格是多
0
少元？
（反映甲乙两数之间的关系。
）
排球的价格XI：
篮球的价格
5
60X”：
50（元）0
答:
篮球的价格是50元。
例3：
小红体重42千克，小云体重40千克，小新体重相当于小红和
小云体重总和的|。
小新体重是多少千克？
（两个数量的和做为标准量。
）
（小红体重十小云体重）X|：
小新体重
〔42十40〉X二41（千克〕
答：
小新体重41千克。
例4：
有一摞纸，共120张。
第一次用了它的|，第二次用了它的^，
50
两次一共用了多少张纸？
（所求数量对应的分率是两个分率的和。
〕
纸的总张数X：
两次共用的张数
50
31
120X（“^~^二92（张）00
答：
两次共用92张。
例5：
国家一级保护动物野生丹顶鹤，2001年全世界约有2000只，我
国占其中的+，其它国家约有多少只？
（所求数量对应的分率没有直接告诉」
野生丹顶鹤的总只数X（丨一丨）二其它国家的只数
2000X〔1―I：
！
：
1500（只）答：
其它国家约有1500只。
例6：
小亮储蓄箱中有18元，小华储蓄的钱是小亮的|，小新储蓄的
钱是小华的|。
小新储蓄多少钱？
（有两个单位“1”的量且都已知。
）
小亮储蓄的钱X小新储蓄的钱
52彳一、18X~X”^10（兀）
63
答：
小新储蓄10元。
（之）求比一个数多儿分之儿多多少：
标准量（分率〕：
多多
少（分率对应的比较量：
）。
例1：
人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。
青少年每分钟约跳75次，婴儿每分钟心
跳的次数比青少年多|。
婴儿每分钟心跳比青少年多多少次？
（所求数量和已知分率直接对应。
）青少年每分钟心跳次数X〗：
婴儿每分钟心跳比青少年多跳的次数
4
75X？
^60（次）
5
答：
婴儿每分钟心跳比青少年多跳60次。
门）求比一个数多几分之几是多少：
标准量X（丨十殳〉（分率〉
二是多少（分率对应的比较量〕。
例1：
人的心脏跳动的次数随着年龄而变化。
青少年每分钟约跳75次，
婴儿每分钟心跳的次数比青少年多#。
婴儿每分钟心跳多少次？
〔需将分
5
率转化成所求数量对应的分率。
〕
青少年每分钟心跳次数X〈1―#〕：
婴儿每分钟心跳的次数
0
75X〔1十！
〕二135（次）5
答：
婴儿每分钟心跳135次。
例2：
学校有20个足球，篮球比足球多^，篮球有多少个？
〔需将分率转化成所求数量对应的分率。
〕
足球的个数X。
十^〕二篮球的个数
20X^》二25（个）
答：
篮球有25个。
（…求比一个数少儿分之儿少多少：
标准量（分率〕：
少少（分率对应的比较量：
）。
例1：
学校有20个足球，篮球比足球少1，篮球比足球少多少个？
（所
5
求数量和已知分率直接对应。
）
足球的个数X〗：
篮球比足球少的个数0
20x1二4（个）5
答：
篮球比足球少4个。
“）求比一个数少几分之几是多少：
标准量X（丨-（分率〕二是多少（分率对应的比较量：
）。
例1：
学校有20个足球，篮球比足球少|，篮球有多少个？
〔需将分率转化成所求数量对应的分率。
〕
足球的个数X〔1一|〕二篮球的个数
20X〔1―去）：
16（个）
5
答：
篮球有16个。
例2：
—种服装原价105元，现在降价|，现在售价多少元？
〔需将分
率转化成所求数量对应的分率。
〕
服装的原价X〈1一|〕二现在售价
105X〔1一|〕二75（元）
答:
现在售价是75元。
2、求一个数是另一个数的几分之几。
（丄）求一个数是另一个数的几分之几：
比较量I标准量二分率（几分之几：
）。
例1：
学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。
梨树的棵数是苹果树的几分之几？
（找准标准量。
）
梨树的棵数+苹果树的棵数：
梨树的棵数是苹果树的几分之几
3
15+20二7
4
答：
梨树的棵数是苹果树的|。
例2：
学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。
苹果树的棵数是梨树的几倍？
（找准标准量。
）
苹果树的棵数+梨树的棵数：
梨树的棵数是苹果树的几倍
1
答：
苹果树的棵数是梨树的@倍。
^求一个数比另一个数多几分之几：
相差量^标准量二分率〔多几分之几：
）。
例学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。
苹果树的棵数比梨树多几分之几？
（相差量是比较量。
〕
苹果树比梨树多的棵数^梨树树的棵数：
多几分之几
1
15^+15二I
答：
苹果树的棵数比梨树多1。
⑵）求一个数比另一个数少几分之几：
相差量^标准量二分率〔少几分之几：
）。
例“学校的果园里有梨树15棵，苹果树20棵。
梨树的棵数比苹果树少几分之几？
（相差量是比较量。
〕
梨树比苹果树少的棵数+苹果树的棵数：
少几分之几
〔20—15〕^20二74
答：
梨树的棵数比苹果树少+。
3、已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
（！
）已知一个数的几分之几是多少，求这个数：
是多少（分率
对应的比较量〕（分率〕二标准量。
例一个儿童体内所含水分有28千克，占体重的|。
这个儿童
的体重有多少千克（反映整体与部分之间的关系）
体内水分的重量+^：
体重
5
28^|：
35（千克〕5
答：
这个儿童体重35千克。
例2：
—条裤子的价格是75元，是一件上衣的|。
一件上衣多少元？
（反映甲乙两数之间的关系〕
裤子的单价：
上衣的单价
二112臺（元）
答：
一件上衣112-元。
例3：
水果店运一批水果。
第一次运了50千克，第二次运了70千克，两次正好运了这批水果的|。
这批水果有多少千克？
（两个已知数量的和对应分率。
）
（第一次运的重量^第二次运的重量）^这批水果的重量
〔50+70〉^480（千克〕
答：
这批水果480千克。
例4：
一辆汽车从甲地幵往乙地，第一小时行了全程的1，第二
小时行了全程的|，两小吋行了114千米。
两地之间的公路长多少千米？
^已知数量对应的分率是两个分率的和。
〕两小时行的路程+^^^：
两地之间的公路长度
114+4十告）：
216（千米〕
答：
两地之间的公路长216千米。
例5：
—桶水，用去它的|，正好是15千克。
这桶水重多少千克？
（已知数量和分率直接对应。
）
用去的重量：
这桶水的总重量
15+是：
20（千克〉
答:
这桶水重20千克。
例6：
小红家买来一袋大米，吃了|，还剩15千克。
买来大米多少千克？
（已知数量和分率不直接对应。
）
剩下的重量+（丨一|〕二买来大米的重量
15+（卜县〕二40（千克〉0
答：
买来大米40千克。
例7：
光明小学航模小组是生物小组的|，生物小组的人数是美术小组
5
的1。
航模小组有8人，美术小组有多少人？
（有两个单位“1”的量且都未知。
〕
航模小组的人数^生物小组的人数
53
41”
：
30（人）
53
答：
生物小组有30人。
例8：
商店运来一些水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的|，同
吋又是橘子的|。
运来橘子多少筐？
（有两个单位“1”的量，一个已知，一个未知。
）
苹果筐数^+鲁二橘子的筐数
45
20X7+县二25（筐）45
答：
橘子有25筐。
（之）已知一个数比另一个数多几分之几多多少，求这个数：
多多少（分
率对应的比较量）（分率〕：
标准量。
例1：
某工程队修筑一条公路。
第一周修了这段公路的|，第二周修筑
了这段公路的丨，第二周比第一周多修了2千米。
这段公路全长多少千米？
（需要找相差数量对应的分率。
）
第二周比第一周多修的千米数+〔|一1〕二公路的全长
^|―~^^56（千米〕
答：
这段公路全长56千米。
已知一个数比另一个数多几分之几是多少，求这个数：
是多少
（分率对应的比较量〕^（丨々〕（分率〕：
标准量。
例学校有20个足球，足球比篮球多1，篮球有多少个？
〔需将分率转化成所求数量对应的分率。
〕
足球的个数+〔1+|〉：
篮球的个数
20卒〔1+7〕^16（个）4
答：
篮球有16个。
（斗）已知一个数比另一个数少儿分之儿少多少，求这个数：
少多少（分
率对应的比较量）（分率〕二标准量。
例1：
某工程队修筑一条公路。
第一天修了38米，第二天了42米。
第一天比第二天少修的是这条公路全长的&。
这条公路全长多少米？
（需要找相差分率对应的数量。
）
第一天比第二天少修的米数+&：
公路的全长
^42―38〕~^112（米）
答：
这段公路全长112米。
⑶）已知一个数比另一个数少几分之几是多少，求这个数：
是多少（分
率对应的比较量）^（丨〕（分率〕二标准量。
例1：
学校有20个足球，足球比篮球少|，篮球有多少个？
（需
5
将分率转化成所求数量对应的分率。
〕
足球的个数+〉：
篮球的个数
5
20^〕：
25（个）5
答：
篮球有25个。
4、较复杂的分数应用题。
例学校食堂九月份用煤气640立方分米，十月份计划用煤气是九月
91
份的？
，而十月份实际用煤气比原计划节约口。
十月份比原计划节约用
煤气多少立方分米？
（明确题中的三个数量，把那两个数量看做单位“1”，所求数量对应的分率。
）
91
九月份用煤气的体积X？
X”二十月份比原计划节约用煤气的体积
91
640X”X”：
144（立方分米）
答：
十月份比原计划节约用煤气144立方分米。
例2：
鞋厂生产皮鞋，十月份生产的双数与九月份生产的双数的比是5：
4。
十月份生产2000双，九月份生产多少双？
（比和已知数量不对应，不是按比例分配的应用题，需把比转化成分率。
〕
解法一：
十月份生产的双数是九月份生产的双数的#。
2000+1^1600（双）解法二：
九月份生产的双数是十月份生产的双数的|。
十月份生产的双数^九月份生产的双数
4〜2000X7二1600（双）
5
答：
九月份生产1600双。
例3：
有一袋米，第一周吃了407。
，第二周吃了12千克，还剩6千克。
这袋大米原有多少千克？
（比较量是两个数量的和，且对应的分率没有直接告诉。
）
（第二周吃的重量十还剩的重量）^〔1一40^^：
这袋大米原有的重量
（：
12十6：
）洽〔1一40^^：
30（千克〕答:
这袋大米原有30千克。
例4：
张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与零件总个数的比是1：
3。
如果再加工15个，就可以完成这批零件的-半。
这批零件共有多少个？
（关键是要找出“再加工15个”对应的分率。
需要把比转化成分率，找出隐含的分率。
〉
思考：
有“第一天完成的个数与零件总个数的比是1：
3”可得出“第一天完成的个数是零件总个数的|”；根据“如果再加工15个，就可以完
成这批零件的一半”可得出“现在完成的个数是零件总个数的1”；所以
“15个对应的分率是〔全—全”，。
再加的零件个数―（丨一1〕二这批零件共有的个数
15^―|：
）二90（个）
答：
这批零件共有90个。
例5：
小红看一本故事书。
第一天看了45页，第二天看了全书的+，第
二天看的页数恰好比第一天多20卩。
。
这本书一共有多少页？
〔关键是要找出“第一天看了45页”对应的分率。
〕
第一天看的页数X（！
^）：
这本书一共的页数
45X（”^（^）^216（页）
答:
这本书一共216页
2.1按比例分配的应用题
一、按比例分配应用题的意义
在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法通常叫做按比例分配。
二、按比例分配应用题的特征
1、特征：
已知组成总量的两个（或三个）部分量的比和总量，求这两个（或三个）部分量分别是多少。
2、判断：
比的各项之和所表示的数量和已知数量的意义是对应的。
三、按比例分配应用题解答方法
先求出把总量分成的总份数；然后按两个（或三个）部分量之间的数量关系转化成他们分别与总量的关系的分率；再分别按照求总量的几分之几来解决。
同时要知道题中谁是分配总量，按什么分配。
四、分析解答
例居峪小学给六年级买来45本儿童读物，按4:
5分别借给三班和四班。
这两个班各借得多少本？
（标准的按比例分配的应用题。
）
（！
）儿童读物分成的总份数：
4+5=9
（之）借给三班的本数：
45乂^二20（本）
5|9
X
54
二25（本）
^借给四班的本数:
答：
借给三班20本，借给四班25本。
例2：
用48厘米的铁丝围成一个长方形，这个长方形的长和宽的比是5:
3。
这个长方形的长和宽各是多少？
（思考：
题中的分配总量没有直接告诉，怎样求。
）
〔0长和宽的和分成的总份数：
5+3=8
⑵长：
48+2x1二15（厘米〕0
3
0宽：
48+2X5：
9（厘米〉0
答：
长是15厘米，宽是9厘米。
例3：
居峪小学的男生人数是女生人数的|，全校有学生539人。
男女生各有多少人？
（思考：
题中没出现“：
”号，怎样按照一定的比进
行分配。
）
（丄）全校学生分成的总份数：
4+3=7（之）男生人数：
539x1^308（人）
〔3〉女生人数：
539乂〒二231（人）答:
男生有308人，女生有231人。
3.1和倍和差倍应用题
一、和倍和差倍应用题的特征
已知两个未知数量的和（或差〉，以及两个数量之间的倍数关系（倍数或分率〉，求两个数量分别是多少。
二、和倍和差倍应用题的解答方法
和倍和差倍应用题一般用方程解答。
先根据题中“两个未知数量的和（或差V’语句写出等量关系式；然后根据倍数句或分率句确定标准量并设为X，另一个未知量根据两个数量之间的倍数关系用含有X的式子表示；蜮后根据等量关系式列方程解答。
三、分析解答
例1：
饲养小组养的白兔和黑兔共有18只，其中白兔的只数是黑兔的5倍。
白兔和黑兔各有多少只？
（和倍。
）
白兔的只数^黑兔的只数二白兔和黑兔共有的只数
解：
设黑兔有X只。
5X十X^18X二318―3^15（只）答：
白兔有15只，黑兔有3只。
例2：
饲养小组养的白兔和黑兔共有18只，其中黑兔的只数是白
兔的|。
白兔和黑兔各有多少只？
（和倍。
）
白兔的只数^黑兔的只数：
白兔和黑兔共有的只数
解：
设白兔有X只。
1
X十7X^180
X二1518—15二3（只）答:
白兔有15只，黑兔有3只。
例3：
—张课桌比一把椅子贵10元，如果椅子的单价是课桌的单价的|，
5
课桌和椅子的单价各是多少元？
（差倍。
）
课桌的单价一椅子的单价：
课桌比椅子贵的价钱
解：
设课桌的单价是X元。
3
X―“X^10
5
X二2525―10：
15（元）答：
课桌的单价是25元，椅子的单价是15元。
3.2工程应用题
一、工程应用题的意义
计算有关工程的工作量、工作时间、工作效率的应用题叫做工程问题。
工程应用题是分数应用题的一种特殊题型。
二、工程应用题的特征
一般不知道具体的工作总量，常常把“一项工程”、“一份稿件”、“修一条公路”等看作工作总量即用单位“1”表示，部分工作量就要用”
表示。
工作总量定了之后，通常用&自&卩力胃表示各自的工作效率，用
合^1时丨划表示工效和。
注：
水管注水问题、有些行程问题等其解法与“工程问题”完全相同。
三、工程应用题解答方法
1、解题规律主要依赖于：
工作效率X工作时间：
工作总量工作总量+工作效率：
工作时间工作总量+工作时间二工作效率
工效和X合作时间：
工作总量工作总量+工效和：
合作时间工作总量+合作时间：
工效和
2、在计算工效和工时的时候，找准工作总量是解题的关键。
还需要注
意使用：
工作总量“1”一已完成部分工作量”二剩余部分工作量“1”。
如果剩余部分工作量由谁来做，就除以谁的工效，等于完成剩余部分工作量所需的工时。
在这里“剩余部分工作量”对于它的工作者来说是工作总量，应用的仍然是“工作总量+工作效率二工作时闾”。
四、分析解答
例1：
一段公路，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成。
两队合修几天可以完成？
工作总量+工效和：
合作时间
^（忐+忐）:
“天）
答:
两队合修6天可以完成。
例2：
—件工作，甲单独做要用10小时，乙单独做要用15小时。
甲做完1后，两人合作，还需要几小时完成？
^工作总量一完成工作量）+工效和二合作时间
（―！
）―（忐+^）…小时）
答：
两人合做4小时可以完成。
例3：
—件工作，两人合作10天可以完成，甲单独做14天可以完成。
两人合作4天，余下的有乙单独做，还需要儿天完成？
（完成的工作量和乙的工作效率没有直接告诉。
〕
^工作总量一完成工作量）―乙的工作效率二还需要的工作时闾
“一忐…）“忐一吉”21（天）
答:
还需要21天可以完成。
么1圆
一、在同一个圆里，直径的长度和半径的长度关系
6^VX2^^『^
二、圆的周长
1、（：
：
II父01^^^+刀
2、0二刀父&父之）^^=0+刀
3、0二刀父^!
子2（：
二刀XI’
4、0二刀父^十40XI’十1^X2
三、圆的面积
1、5二刀XI2
2、5“X（（！
』2
3、5^刀X（匸卒刀+之）2
4、5：
刀X（尺2—:
2〕
四、分析解答
例1：
1、圆的半径和直径的比是1：
2。
2、圆的周长和直径的比是刀：
1。
3、两圆直径的比是两圆半径之比。
4、两圆周长的比是两圆半径之比。
5、两圆面积的比是两圆半径平方之比。
例2：
—张圆桌面的直径是（！
95米。
这张圆桌面的周长是多少米？
〔已知直径求周长。
）
0二则
14X0.95义2.98（米）
答：
这张圆桌面的周长是2.98米。
例3：
饭店的大厅内挂着一只大钟，它的分针长40厘米。
这根分针的尖端转动一周所走的路程是多少厘米？
（已知半径求周长。
〕
0二2彻
（：
二刀X（：
『X
14父^40X^251.2（厘米〉答：
这
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