命题定理证明.docx

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命题定理证明

学大个性化辅导教案

课题

命题、定理、证明

学生姓名

学生年级

七年级

学科

数学

教师姓名

学管师姓名

咨询师姓名

上课时间

教案1（）教案2（）

教学目标

通过学生学习的一些命题和证明的定理，向学生介绍一些简单的逻辑知识，逻辑的概念和术语，结合学生学过的图形的性质和判定，用具体的例子说明什么是命题，命题的组成和命题的真假

教学重点/难点

重点：

注重培养学生的逻辑思维能力，对证明步骤，格式，要让学生抄写，模仿，熟悉证明的步骤与格式。

难点：

掌握一个命题，一定要分清它的题设和结论，可以找出一个命题的题设和结论是十分重要的问题。

教学过程

教师活动

学生活动

一、对于学生上节课的作业完成情况与完成质量进行检查，通过学生的作业了解学生在哪些方面还存在一定的欠缺，与时的进行再次讲解，让学生在知识的掌握方面无死角。

二、对于本节课的知识点进行讲解，本节课的知识点为命题、定理和证明的相关知识，主要是让学生掌握什么是命题以与命题的真假性，以与一般证明题的书写步骤，让学生先进行填空的练习，然后逐渐锻炼自己独立的进行书写。

三、对于本节课的习题进行讲解，在讲解的时候注意重点类型题的分类讲解，让学生能够掌握解决这些问题的思路和方法，这是最重要的，提高学生的分析问题和解决问题的能力。

四、对于本节课作业进行布置。

一、对于上节课的知识点和典型习题的解题方法进行与时的回顾，看看学生在哪些方面存在一定的欠缺，与时的进行讲解，让学生能够良好的进行掌握。

二、对于本节课的知识点进行理解，在理解知识点的时候一定要注意与习题的实际结合，同时对于本节课的典型例题进行练习，认真的听取老师进行讲解，与时的完善课堂笔记。

知识点总结

1、判断一件事情的句子，叫命题。

2、每个命题都是由题设，结论两部分组成的。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的未知事项。

3、如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；

如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。

4、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明

例题/课上习题

例1.判断下列语句是不是命题：

（1）线段的中点到线段两端点的距离相等；

（2）相等的两个角是对顶角；

（3）过已知直线外的任一点画已知直线的垂线；

（4）凡直角都相等；

（5）不相等的两个角不是对顶角；

（6）与两平行线中的一条相交的直线，也必与另一条相交。

思考：

1.你知道什么叫命题吗？

2.怎样判定一个句子是命题？

思路分析：

判断一件事情的句子，叫做命题。

由此可知，判定一件事情的句是否是命题，则它应该对一件事情有所肯定或否定，作出明确判断，否则，它就不是命题，根据这一分析，思路自然清晰。

解：

根据命题的定义可知：

1,2,4,5,6是命题；3不是命题。

例2.将下列各句改写成“如果……，那么……”的形式。

1.对顶角相等；

2.等角的余角相等；

3.垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

4.同旁内角互补，两直线平行；

5.同圆的半径相等。

思考：

1.如何把省略掉的词语重新补上？

2.根据命题你能画出图形吗？

根据图形，能

写出“如果……，那么……”的命题吗？

3.对省去“如果”、“那么”的命题如何进行分析？

思路分析：

省略掉词语的命题通常采取仔细分析，把省略掉的词语重新补上，或根据

命题画出准确图形，再根据图形，把命题完整写出来，根据这些方法研究，我们便可着手改写了。

解：

1.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

2.如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等；

3.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；

4.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；

5.如果两条半径是同圆的两条半径，那么这两条半径相等。

例3.指出下列命题的题设部分和结论部分

1.直角都相等；

2.互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；

3.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

4.锐角大于它的补角；

5.大于90°而小于180°的角是钝角；

6.两个角的和等于平角时，这两个角互为补角。

思考：

1.每个命题都由哪两部分组成？

请你说出来。

2.题设表示什么意思？

结论

表示什么意思？

3.命题中没有明显突出题设与结论又如何入手呢？

能否改写成“如果……那么……”形式呢？

4.命题的题设与结论不好用文字叙述时，可否用符号写出题设与结论呢？

又如何表示？

思路分析：

解答这类问题，必须弄清命题由哪两部分组成，进一步弄明白题设与结论所表示的意思。

便可找出题设与结论。

对省略掉词语的命题应先设法补上，再着手找题设与结论。

命题的题设与结论不好用文字叙述时，要用符号写出题设和结论，但必须说明符号所表示的意义。

根据上述分析，便可找出1～6题的题设部分和结论部分。

解：

1.题设：

两个角都是直角；

结论：

这两个角相等。

2.题设：

互为邻补角的两个角的两条平分线；

结论：

这两个角平分线互相垂直。

3.题设：

直线外一点与直线上各点连结的所有线段；

结论：

垂线段最短。

4.题设：

∠

是∠

的补角，且90°＜∠

＜180°；

结论：

∠

＞∠

。

5.题设：

90°＜∠

＜180°；

结论：

∠

是钝角。

6.题设：

两个角的和等于平角；

结论：

这两个角互补。

例4.判断下列命题的真假，如果是假命题，请说明理由。

1.两点之间，线段最短。

2.如果一个数的平方是9，那么这个数是3。

3.同旁内角互补。

4.过一点有且只有一条已知直线与已知直线平行。

5.如果a＋b=0，那么a=0，b=0。

6.两个锐角的和是锐角。

思考：

1.什么叫命题？

2.什么叫真命题？

3.什么叫做假命题？

4.判别假命题的方法是

什么？

请你叙述。

思路分析：

要判定一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例）即可。

于是以上各

题真假便眉目分明了。

解：

1.真命题，这是关于线段的一个公理。

2.假命题，因为一个数的平方是9，这个数也可能是－3。

3.假命题，任意二条直线被第三条直线所截，都有同旁内角产生，只有两条平行线被第三直线所截，才有同旁内角互补的结论。

4.假命题，如果这个点在已知直线上，就无法作出一条直线与已知直线平行。

5.假命题，如果a=2，b=－2，2＋（－2）=0，但a=2≠0，b=－2≠0。

6.假命题，如60°和50°的角都是锐角，但它们的和是钝角。

例5.区分下列语句中，哪些是定义，哪些是公理，哪些是定理：

1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线；

2.两点之间，线段最短；

3.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；

4.对顶角相等；

5.垂线段最短。

思考：

1.定义，公理，定理的内容你知道吗？

2.定义，公理，定理有何区别？

思路分析：

只要理解定义，公理，定理的意义，便可一一区分谁是定义，谁是公理，谁是定理。

解：

（1）、

（2）是公理；（3）是定义；（4）、（5）是定理。

课后习题

一、填空题：

1.命题常写成“如果……，那么……”的形式，在这种形式中，用“”开始的部分

是题设，用“”开始由部分是结论。

2.将命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”

的形式为。

3.已知∠AOB为锐角，直线l1⊥OA，直线l2⊥OB，那么l1

和l2的关系为。

4.如图14所示，直线l∥m，若∠

=70°，则∠

=。

图14

5.如图15所示，a∥b，∠1－2∠2=60°，则∠1=；∠2=。

6.“同位角相等，两直线平行”这个命题中题设是。

7.“过两点有且只有一条直线”是。

8.叫做命题，每个命题都是

由；两部分组成。

图15

9.如果题设成立，那么结论也成立，这样的命题叫做。

10.证明一个命题的步骤是：

①根据题意；

②根据题设、结论、结合图形，写出；。

③经过分析，找出由推出的途径，写出。

二、选择

11.下列语句中，不是命题的是。

A.两点之间，线段最短；

B.对顶角不相等；

C.连结A、B两点；

D.不重合的两条直线有一个交点。

12.给出下列四个命题：

①同角的余角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④

平行于同一条直线的两条直线垂直。

其中真命题有。

A.1个；B.2个；C.3个；D.4个。

13.如图16，下列推理中正确的是。

A.∵∠1=∠2，∴AB∥CD

B.∵∠ABC＋∠BCD=180°，∴AD∥BC

C.∵AD∥BC，∴∠3=∠4

D.∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠2，∴AB∥CD

14.下列命题，正确的是。

图16

A.如果∠

=180°－∠

，则∠

是补角；

B.如果∠

＋∠

=90°则∠

是余角；

C.40°角是50°的余角；

D.余角是补角的一半。

15.将命题“对顶角相等”改成“如果……，那么……”的形式正确的是。

A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；

B.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；

C.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角；

D.如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等。

16.下列语句是命题的是。

（1）过一点作直线的垂线；

（2）如果a∥b且b∥c，那么a∥c；

（3）∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1=∠3；

（4）同位角互补，两直线平行。

A.

（2）；B.

（2）、（3）；C.

（2）、（3）、（4）；D.

（1）、

（2）、（3）、（4）

17.下列命题，正确的是。

A.两锐角的和是直角；

B.若∠AOB＋∠BOC=90°，则∠AOC是直角；

C.若∠

是∠

的邻补角，则∠

与∠

中一定有一个是钝角，一个是锐角；

D.若∠

与∠

互为余角，则∠

、∠

均为锐角。

18.下列命题是假命题的是。

A.垂线段最短；B.对顶角相等；C.同位角相等；

D.一个锐角的补角大于这个锐角。

19.下列命题中，假命题是。

A.没有公共点的两条直线必定平行；

B.同一平面内，l1⊥l2，垂足为A，l2⊥l垂足为B，A、B两点不重合，那么l1⊥l；

C.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

D.两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线平行。

20.下列四个命题中，真命题是。

A.如果一个角有补角，则这个角必是钝角；

B.如果一个角有余角，则这个角必是锐角；

C.互补的两个角一定是邻补角；

D.如果∠1＋∠2＋∠3=180°，那么∠1，∠2，∠3互补。

三、解答题

21.根据下列命题，画出图形，并写出已知和求证：

（1）邻补角的平分线互相垂直；

（2）两直线平行，内错角相等。

22.已知点C，C′分别是AB、

A′B′的中点，AC=A′C′，

求证：

AB=A′B′。

23.已知AC⊥BC，∠ACD=∠CDE，图17

求证：

DE⊥BC。

（如图17所示）图18

24.（如图18所示）已知∠1＋∠2=180°，

求证：

∠3＋∠4=180°。

25.（如图19所示）AB∥CD，E、F分别与AB、CD交于G、H，MN过点G垂直于AB，GK是∠MGB的平分线，

∠CHG=120°，求∠MGE和∠KGE的度数。

26.已知：

如图20，AB∥DC，AD∥BC，图19图20

∠1=30°，∠2=38°，求∠3的度数。

27.已知：

如图21所示，BE平分∠ABC，

∠CBF=∠CFB=65°，∠EDF=50°，

求证：

BC∥AE。

28.已知：

如图22所示，AC∥DE，DC∥EF，

CD平分∠BCA，求证：

EF平分∠BED。

图21图22

29.图23，已知AD⊥BC于D，EF⊥BC

于F，∠E=∠3，求证：

AD平分∠BAC。

30.已知，如图24，∠COF＋∠C=180°，

∠C=∠B，求证：

AB∥EF。

四、同步题库

一、填空题：

图23图24

1.如果，那么；2.如果两个角是等角，那么这两个角相等；3.相交；4.50°；

5.140°，40°；6.同位角相等；7.公理；8.判断某一件事情的句子，题设，结论；9.真命题；10.①画出图形；②已知、求证；③已知，求证，证明的过程。

二、选择题

11.C；12.B；13.D；14.C；15.B；16.C；17.D；18.C；19.A；

20.B。

三、解答题

21.

（1）已知如图25，∠AOC与∠BOC为邻补角,OD为∠AOC平分

线,OE为∠BOC平分线，求证：

OD⊥OE。

图25

（2）已知如图26，直线a∥b，求证：

∠1=∠2。

22.证明：

∵C为AB中点（已知）

∴AC=

AB（中点定义）

∵C′为A′B′中点（已知）

∴A′C′=

A′B′（中点定义）图26

∵AC=A′C′（已知）

∴

AB=

A′B′（等量代换）

∴AB=A′B′（等式性质）

23.证明：

∵∠ACD=∠CDB（已知）

∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）

∴∠DEB=∠ACB（两直线平行，同位角相等）

∵AC⊥BC（已知）

∴∠ACB=90°（垂直定义）

∴∠DEB=90°（等量代换）

DE⊥BC（垂直定义）

24.证明：

∵∠2＋∠5=180°（邻补角定义）

∠1＋∠2=180°（已知）

∴∠1=∠5（等角的补角相等）

∴a∥b（同位角相等、两直线平行）

∴∠3=∠6（两直线平行，同位角相等）

∵∠6＋∠4=180°（邻补角定义）

∴∠3＋∠4=180°（等量代换）

25.解：

∵MN⊥AB（已知）

∴∠MGB=90°=∠AGM（垂直定义）

∵GK平分∠MGB（已知）

∴∠MGK=

∠MGB=45°（角平分线定义）

∵AB∥DC（已知）

∴∠AGE=∠CHG=120°（两直线平行，同位角相等）

∴∠MGE=∠AGE－∠AGM=30°

∴∠KGE=∠KGM－∠MGE

=45°－30°=15°

26.解：

∵AB∥DC（已知）

∴∠2=∠4=38°（两直线平行，内错角相等）

∵∠1=30°（已知）

∴∠1＋∠4=68°=∠A

∵AD∥BC（已知）

∴∠3=∠A=68°（两直线平行，同位角相等）

27.证明：

∵BE平分∠ABC（已知）

∴∠ABE=∠EBC

∠ABC=2∠ABE（角平分线定义）

∵∠CBF=∠CFB=65°（已知）

∴∠FBA=∠CFB=65°

∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）

∴∠EDF=∠A（两直线平行，同位角相等）

∵∠EDF=50°（已知）

∴∠A=50°（等量代换）

∴∠A＋∠ABC=50°＋130°=180°

∴BC∥AE（同旁内角互补，两直线平行）

28.证明：

∵AC∥DE（已知）

∴∠ACD=∠EDC（两直线平行，内错角相等）

∵DC∥EF（已知）

∴∠DCE=∠BEF（两直线平行，同位角相等）

∠EDC=∠FED（两直线平行，内错角相等）

∵DC平分∠BCA（已知）

∴∠ACD=∠DCB（角平分线定义）

∴∠FED=∠BEF（等量代换）

∴EF平分∠BED（角平分线定义）

29.证明：

∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知）

∴EF∥AD（垂直于同一条直线的两条直线平行）

∴∠1=∠E（两直线平行，同位角相等）

∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）

∵∠E=∠3（已知）

∴∠1=∠2（等量代换）

∴AD平分∠BAC（角平分线定义）

30.证明：

∵∠EOF=∠C=180°（已知）

∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

∵∠C=∠B（已知）

∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）

∴AB∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）