六年级数学上册知识要点梳理.docx

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六年级数学上册知识要点梳理

六年级数学上册知识要点梳理

第一单元分数乘法 

（一）分数乘法意义：

1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。

例如：

ⅹ5表示求5个

的和是多少？

2、分数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。

例如：

ⅹ

表示求

的

是多少？

（二）分数乘法计算法则：

1、分数乘整数：

分子与整数相乘的积做分子，分母不变。

（整数和分母约分）

2、分数乘分数：

用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

注意：

为了计算简便，能约分的要先约分再计算，计算结果必须是最简分数。

如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。

3、分数的基本性质：

分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

（三）积与因数的关系：

（乘法中比较大小时）

①一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。

②一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。

③一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。

（四）分数乘法混合运算

分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。

（五）运算定律

整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。

乘法交换律：

a×b=b×a 乘法结合律：

（a×b）×c=a×（b×c）

乘法分配律：

a×（b±c）=a×b±a×c

（六）分数乘法的解决问题

已知单位“1”的量用乘法：

求单位“1”的几分之几是多少？

1、画线段图

（1）两个量的关系：

画两条线段图

（2）部分和整体的关系：

画一条线段图

2、

巧找单位“1”的量：

在含有分数（分率）的语句中

方法①分率前面的量就是单位“1”对应的量;

方法②“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。

3、求一个数的几倍：

一个数×几倍

求一个数的几分之几是多少：

一个数×几分之几

4、写数量关系的技巧:

（1）“的”相当于“×””占”、“是”、“比”相当于“=”

（2）分率前的是”的”单位”1”的量×分率=分率对应量

（3）分率前是”多或少”的意思:

单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量

第二单元位置与方向

（二）

（一）确定物体位置的方法：

（1）找准观测点；

（2）再定方向（先说更靠近的方向）；

（3）最后确定距离（看比例尺）。

描绘路线图的关键是选好观测点，建立十字方向标，确定方向和路程。

（二）位置关系的相对性：

两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。

相对位置：

东--西；南--北；南偏东--北偏西。

第三单元分数除法

（一）倒数的意义：

乘积是1的两个数互为倒数。

1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。

单独一个数不能称为倒数。

（必须说清谁是谁的倒数）

2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：

两数相乘的积是否为“1”。

例如：

a×b=1则a、b互为倒数。

3、只要两个数的乘积是1，那么这两个数就互为倒数，与这两个数是整数、分数还是小数无关。

4、求倒数的方法：

①求分数的倒数：

交换分子、分母的位置。

②求整数的倒数：

整数分之1。

③求带分数的倒数：

先化成假分数，再求倒数。

④求小数的倒数：

先化成分数，再求倒数。

5、1的倒数是1，因为1×1=1

0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。

6、真分数的倒数大于1，真分数的倒数是假分数，也大于它本身。

假分数的倒数小于或等于1。

带分数的倒数小于1。

（二）分数除法

1、分数除法的意义：

分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、分数除法计算法则：

除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。

①被除数÷除数=被除数×除数的倒数。

②除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。

3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。

4、商与被除数的变化规律：

（分数除法比较大小时）

①除以大于1的数，商小于被除数

②除以小于1的数，商大于被除数

③除以等于1的数，商等于被除数

（三）分数除法混合运算

1、运算顺序：

①连除：

同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；或者先把所有除法转化成乘法再计算；或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。

加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。

②混合运算：

没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。

2、简便算法：

a÷b÷c=a÷c÷b=a÷（b×c）----除法的性质

（4）分数除法解决问题

未知单位“1”的量用除法：

已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。

1、数量关系和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）分率前的是”的”单位”1”的量×分率=分率对应量

（2）分率前是”多或少”的意思:

单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量

2、解法---建议最好用方程解答

（1）方程：

根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。

（2）算术--用除法：

分率对应量÷对应分率=单位“1”的量

3、求一个数是另一个数的几分之几：

一个数÷另一个数

4、求一个数比另一个数多（少）的几分之几：

方法①相差量÷单位“1”的量

方法②求多几分之几：

大数÷小数-1

求少几分之几：

1-小数÷大数

第四单元比

（1）比的意义

1、比的意义：

两个数相除也叫两个数的比

2、在两个数的比中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的数项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。

例如15：

10=15÷10=

=1.5

（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）

2、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。

也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。

例：

路程÷时间=速度

3、区分比和比值

比：

表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

比值:

相当于商，是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。

4、比的基本性质：

比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。

商不变的规律：

被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

分数的基本性质：

分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

5、化简比：

化简之后结果还是一个比，不是一个数。

（1）用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

（2）两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。

也可以求出比值再写成比的形式。

（3）两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。

6、求比值：

把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。

7、比和除法、分数的联系：

比

除法

分数

比和除法、分数的区别：

除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。

8、比的后项不能为0。

体育比赛中出现两队的分是2∶0等，这只是一种记分形式，不表示两个数相除的关系。

（2）分数除法和比的应用

1、已知单位“1”的量用乘法。

2、未知单位“1”的量用除法。

3、分数应用题基本数量关系（把分数看成比）

（1）甲是乙的几分之几？

甲＝乙×几分之几乙＝甲÷几分之几几分之几＝甲÷乙

（2）甲比乙多（少）几分之几？

4、按比例分配：

把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。

5、路程一定，速度和时间成反比。

（如：

路程相同，速度之比是4：

5，时间之比则为5：

4）

工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。

（如：

工作总量相同，工作时间速比是3：

2，工作效率比则是2：

3）

6、画线段图：

（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。

（2）分析数量关系。

（3）找等量关系。

（4）列方程。

两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。

第五单元圆

（一）圆的特征

1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。

2、圆的特征：

外形美观，易滚动。

3、圆心O：

圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示。

圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心

半径r：

连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

直径d:

通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。

同圆或等圆内：

直径的长度是半径的2倍：

d=2r或  r=d÷2。

在同一个圆里，有无数条半径，无数条直径。

所有的半径都相等，所有的直径都相等。

直径是圆内最长的线段。

4、圆是轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的直线叫做对称轴。

有一条对称轴的图形：

半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。

有二条对称轴的图形：

长方形

有三条对称轴的图形：

等边三角形

有四条对称轴的图形：

正方形

有无数条对称轴的图形：

圆，圆环

（二）圆的周长：

围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

1、圆的周长总是直径的三倍多一些。

2、圆周率：

圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫圆周率（π）。

即：

圆周率π=周长÷直径≈3.14

（做判断题时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍）

3、圆的周长公式：

直径版：

C=πdd=C÷π

半径版：

C=2πrr=C÷2π

4、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。

在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

5、区分周长的一半和半圆的周长：

（1）周长的一半：

圆的周长÷2公式：

2πr÷2=πr

（2）半圆的周长：

圆周长的一半＋直径公式：

πr+2r=πr+d=5.14r

6、周长的变化规律：

半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

（三）、圆的面积

1、圆面积公式的推导

如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。

圆的半径=长方形的宽

圆的周长的一半=长方形的长

因为：

长方形面积=长×宽

所以：

圆的面积=圆的周长的一半（πr）×圆的半径

S圆=πr×r=πr2r2=S÷π

2、圆面积的变化规律：

半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。

3、环形的面积

外圆半径是R，小圆半径是r。

（R=r+环的宽度）

S环=S大圆–S小圆=πR2-πr2=π（R2-r2）

4、扇形的面积计算式

S扇=πr2×

（n表示扇形圆心角的度数）

5、一个圆，半径扩大或者缩小多少倍，直径和周长也扩大或者缩小相同的倍数；而面积扩大或者缩小的倍数是这倍数的平方。

例如：

在同一个圆内，半径扩大3倍，那么直径和周长就扩大3倍，

but面积扩大9倍。

6、两个圆：

半径比=直径比=周长比；

面积比=这比的平方。

例：

两个圆的半径比是2：

3，则这两个圆的直径比和周长比都是2：

3，而面积比是4：

9。

7、当长方形、正方形、圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形最小。

反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。

（周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。

）

8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即4：

π。

9、确定起跑线：

（1）跑道长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长＋两条直道的长度。

（2）因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，每相邻两个跑道间隔的距离是：

2×π×跑道宽度

（3）一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米。

一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb厘米。

10、常用π值

π=3.14  2π=6.28 3π=9.42  4π=12.56  5π=15.7

10、常用平方数结果

112=121

第六单元百分数

（一） 

（一）百分数的意义：

表示一个数是另一个数的百分之几。

百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。

注意：

百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比。

1、百分数和分数的区别和联系：

（1）联系：

都可以表示两个量的倍比关系。

（2）区别：

①意义不同：

百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。

分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。

②百分数的分子可以是小数，分数的分子只可以是整数。

分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。

注意：

百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是100的分数并不是百分数，必须把分母写成“%”才是百分数，所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。

“%”的两个0要小写，不要与百分数前面的数混淆。

2、小数、分数、百分数之间的互化

（1）百分数化小数：

小数点向左移动两位，去掉“%”。

（2）小数化百分数：

小数点向右移动两位，添上“%”。

（3）百分数化分数：

先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最简分数。

（4）分数化百分数：

分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。

（5）小数化分数：

把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。

（6）分数化小数：

分子除以分母。

3、常见的分数与小数、百分数之间的互化。

（二）百分数解决问题

1、求常见的百分率,如：

达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。

①合格率=

②发芽率=

③出勤率=

一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，

出米率、出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。

（一般出粉率在70%、80%，出油率在30%、40%）。

2、已知单位“1”的量用乘法：

求单位“1”的百分之几是多少？

数量关系和分数乘法解决问题中的关系式相同：

（1）分率前的是”的”单位”1”的量×分率=分率对应量

（2）分率前是”多或少”的意思:

单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量

3、未知单位“1”的量用除法：

已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”的量。

解法---建议最好用方程解答

（1）方程：

根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。

（2）算术--用除法：

分率对应量÷对应分率=单位“1”的量

4、求一个数比另一个数多（或少）百分之几的问题。

方法①相差量÷单位“1”的量×100%

方法②求多百分之几：

（大数÷小数-1）×100%

求少几分之几：

（1-小数÷大数）×100%

5、折扣、打折的意义：

几折就是十分之几也就是百分之几十

折扣、成数=几分之几、百分之几、小数

八折=八成=十分之八=百分之八十=0.8

八五折=八成五=十分之八点五=百分之八十五=0.85

五折=五成=十分之五=百分之五十=0.5=半价

6、百分数应用题型分类

（1）求甲是乙的百分之几——（甲÷乙）×100%=百分之几

（2）求甲比乙多百分之几——（甲-乙）÷乙×100%

（3）求甲比乙少百分之几——（乙-甲）÷乙×100%

第七单元扇形统计图 

1、扇形统计图的意义：

用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。

2、常用统计图的优点：

（1）条形统计图：

可以清楚的看出各种数量的多少。

（2）折线统计图：

不仅可以清楚的看出各种数量的多少，还可清晰看出各个数量的增减变化情况。

。

（3）扇形统计图：

能够清楚地显示出各部分数量和总数之间的关系。

3、扇形面积的大小：

在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形越大。

因此，扇形面积占圆面积的百分比，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比！