高中数学 第三章 函数的应用 第1节 函数与方程1教案 新人教A版必修1.docx
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高中数学第三章函数的应用第1节函数与方程1教案新人教A版必修1
2019-2020年高中数学第三章函数的应用第1节函数与方程
（1）教案新人教A版必修1
函数的应用是学习函数的一个重要方面．学生学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题．通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助．
本章主要内容：
函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结．在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系．求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间．让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情．
在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣．“数学建模”也是高考考查的重点．
本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”，从而提高自己的数学能力．
因此应从三个方面把握本章：
（1）知识间的联系；
（2）数学思想方法；（3）认知规律．
本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：
3.1 函数与方程
约2课时
3.2 函数模型及其应用
约4课时
实习作业
约1课时
本章复习
约1课时
作者：
陈美珠，泉州第九中学教师．本教学设计获福建省教学设计大赛一等奖．
教学内容分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的零点．
函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带．在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位．
就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展．之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系，渗透“方程与函数”思想．
总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”、“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好的基础，因此教好本节是至关重要的.
学生学习情况分析
程度差异性：
中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数．
知识、心理、能力储备：
学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的．再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础，对于它的根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题．这也为我们归纳函数的零点与方程的根的联系提供了知识基础．但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点．加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂．因此在教学中应加强师生互动，尽多地给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系．
设计思想
教学理念：
培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣．
教学原则：
注重各个层面的学生．
教学方法：
启发诱导式．
教学目标
以二次函数的图象与对应的一元二次方程的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系，发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法；学会在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法．让学生在探究过程中体验发现的乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生的辩证思维以及分析问题解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：
函数零点与方程根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法．
难点：
发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的判定方法．
1 方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索
1．1 方程的根与函数的零点
导入新课
问题1：
解方程（比赛）：
①6x－1＝0；②3x2＋6x－1＝0.
再比赛解3x5＋6x－1＝0.
设计意图
问题1（产生疑问，引起兴趣，引出课题）
比赛模式引入，调动积极性，可根据学分评定中进行过程性评定加分奖励，充分调动学生的积极性和主动性．
第三题学生无法解答，产生疑惑引入课题：
教师介绍说一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如3x5＋6x－1＝0.紧接着介绍阿贝尔（挪威）定理（五次及高于五次的代数方程没有一般的代数解法），伽罗瓦（法国）的近世代数理论，提出早在十三世纪的中国，秦九韶等数学家就提出了高次方程数值解的解法，振奋学生的民族自豪感，最后引出人们一直在研究方程的近似解方法二分法．
问题2：
先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
如图1.
①方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；
②方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；
③方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.
图1
[师生互动]
师：
教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数，引出零点概念．
零点概念：
对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．
师：
填表格：
函数
y＝x2－2x－3
y＝x2－2x＋1
y＝x2－2x＋3
函数的零点
方程的根
生：
经过独立思考，填完表格．
师提示：
根据零点概念，提出问题，零点是点吗？
零点与方程的根有何关系？
生：
经过观察表格，得出第一个结论．
师再问：
根据概念，函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴的交点有什么关系？
生：
经过观察图象与x轴的交点完成解答，得出第二个结论．
师：
概括总结前两个结论（请学生总结）．
（1）概念：
函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现，而是实数．例如函数y＝x2－2x－3的零点为x＝－1,3.
（2）函数零点的意义：
函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，亦即函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标．
（3）方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．
师：
引导学生仔细体会上述结论．
再提出问题：
如何根据函数零点的意义求零点？
生：
可以解方程f（x）＝0而得到（代数法）；
可以利用函数y＝f（x）的图象找出零点．（几何法）
问题2：
一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变得更自然、更易懂．通过对比教学揭示知识点之间的密切关系．
问题3：
是不是所有的二次函数都有零点？
师：
仅提出问题，不须做任何提示．
生：
根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点：
看Δ.
（1）Δ>0，方程ax2＋bx＋c＝0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）Δ＝0，方程ax2＋bx＋c＝0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个零点．
（3）Δ<0，方程ax2＋bx＋c＝0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
第一阶段设计意图：
本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数的零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结的能力．
1．2 零点存在性的探索
[师生互动]
师：
要求学生用连续不断的几条曲线连接如图2所示的A、B两点，观察所画曲线与直线l的相交情况，由两个学生上台板书：
图2
生：
两个学生画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交．
师：
再用连续不断的几条函数曲线连接如图A、B两点，引导学生观察所画曲线与直线l的相交情况，说明连接A、B两点的函数曲线交点必在区间（a，b）内．
生：
观察下面函数f（x）＝0的图象（如图3）并回答：
图3
（1）区间[a，b]上________（有/无）零点；f（a）·f（b）________0（<或>）．
（2）区间[b，c]上________（有/无）零点；f（b）·f（c）________0（<或>）．
（3）区间[c，d]上________（有或无）零点；f（c）·f（d）________0（<或>）．
答案：
略
师：
教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在着一定的关系．
生：
根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析，总结概括形成结论：
一般地，我们有：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
第二阶段设计意图：
教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养学生的归纳总结能力和逻辑思维能力．
例1已知函数f（x）＝－3x5－6x＋1有如下对应值表：
x
－2
－1.5
0
1
2
F（x）
109
44.17
1
－8
－107
函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？
为什么？
设计意图
通过本例引导探索，师生互动．
探求1：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）>0时，函数在区间（a，b）内没有零点吗？
探求2：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f（a）·f（b）<0时，函数在区间（a，b）内有零点，但是否只一个零点？
探求3：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0吗？
探求4：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象不是一条连续不断的曲线，函数在区间（a，b）内有零点时一定有f（a）·f（b）<0吗？
师：
总结两个条件：
（1）函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；
（2）在区间[a，b]上有f（a）·f（b）<0.
一个结论：
函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点．
补充：
什么时候只有一个零点？
（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点．
例2求函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点个数．问题：
（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
（2）判断函数的单调性，由单调性你能得到该函数具有什么特性？
第三阶段设计意图：
教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用，应用例1，例2加深对定理的理解．
（可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整）
1．求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的大致图象．
2．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）x2－x－2＝0；
（2）f（x）＝ex－4x.
3．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f（x）＝－x3－3x＋3；
（2）f（x）＝2xln（x－2）－3.
[师生互动]
师：
多媒体演示；结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．
生：
建议学生使用计算器求出函数的大致区间，培养学生的估算能力，也为下一节的用二分法求方程的近似解作准备．
第四阶段设计意图：
利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方程的近似解作准备．
（可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整）
讨论：
请大家给出方程x2·ex－3＝0的一个解的大约范围，看谁找的范围更小？
[师生互动]
师：
把学生分成小组共同探究，给学生足够的自主学习时间，让学生充分研究，发挥其主观能动性．也可以让各组把这几个题做为小课题来研究，激发学生的学习潜能和热情．老师用多媒体演示，直观地演示根的存在性及根存在的区间的大小情况．
生：
分组讨论，各抒己见．在探究学习中得到数学能力的提高．
第五阶段设计意图：
一是为用二分法求方程的近似解作准备，
二是小组探究合作学习，培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，此组题目具有较强的开放性，探究性，基本上可以达到上述目的．
零点的概念；
零点存在性的判断；
零点存在性定理的应用注意点：
零点个数判断以及方程根所在区间．
教材习题3.1（A组）第1、2题．
思考
总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？
教学程序设计框图：
——
↓
——结合实际问题诱发兴趣，结合二次函数引入课题．
↓
——二次函数的零点及零点存在性的探究．
↓
——零点存在性为练习重点．
↓
——进一步探索函数零点存在性的判定．
↓
——重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．
↓
——研究二次函数在零点、零点范围之内及零点范围之外的函数值符号，并尝试进行系统的总结．
本设计遵循了由浅入深、循序渐进的原则，分三步来展开这部分的内容．第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系．第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．本节只是函数与方程的关系建立的第一步，教学中忌面面俱到，延展太深．
恰当使用信息技术：
本节的教学中应恰当使用信息技术．实际上，一些内容因为涉及大数字运算、大量的数据处理、超越方程求解以及复杂的函数作图，因此如果没有信息技术的支持，教学是不容易展开的．因此，教学中会加强信息技术的使用力度，合理使用多媒体和计算器．
2019-2020年高中数学第三章函数的应用第1节函数与方程（3）教案新人教A版必修1
教学内容分析
本节选自《普通高中课程标准实验教科书·数学1》人教A版第三单元第一节第二课，主要是分析函数与方程的关系．教材分三步来进行：
第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应函数的零点的联系．然后推广为一般方程与相应函数的情形；第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质来研究方程的解，体现方程和函数的关系；第三步，在函数模型的应用过程中，通过函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．
本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解．它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算学方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念．求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法，其关键是逼近的依据．
学生学习情况分析
同学们有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生“跳跳”才能摘到的“桃子”．
设计理念
本节课倡导积极主动、勇于探索的学习方式，应用从生活实际——理论——实际应用的过程，应用数形结合、图表、信息技术，采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程．
教学目标
1．理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；
2．体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；
3．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法使问题得到解决的快乐．
教学重点与难点
教学重点：
能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解，根所在区间的确定及逼近的思想．
教学难点：
对二分法的理论支撑的理解，区间长度的缩小．
1．教学基本流程图
2.教学情境设计
教学设计
学情预设
设计意图
知识链接
创
设
情
境
，
引
出
课
题
1．大家都看过李咏主持的〈幸运52〉吧，今天咱也试一回（出示游戏）．
2．竞猜中，“高了”、“低了”的含义是什么？
如何确定价格的最可能的范围？
3．如何才能更快地猜中商品的预定价格？
4．“二分”的思路是什么？
1.教师从学生熟悉的电视节目，引导学生体会、分析、归纳迅速猜价的方法．
2．学生能够主动参与游戏，并且参与游戏的同学可以比较并总结经验．学生会有很多种方案．
3．对于“问题2”学生能够顺利地得出“主持人的“高了，低了”的回答是判断价格所在区间的依据”这个结论．
4．此时教师通过“问题3”引导学生进行比较哪种方法更快更好．从中学生可以得到用二分法解决问题的思路——二分指的是将解所在区间平均地分为两个区间.
1.利用视屏与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法会很多样，可以进行竞赛．
2．通过问题2，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解”的时候埋下伏笔．
3．通过游戏，让学生经历游戏过程，感受数学来自生活，激发学生的学习兴趣；引导学生善于发现身边的数学，培养学生的归纳演绎的能力；学会将实际情境转化为数学模型．
4．通过比较不同的方法得出最快的竞猜的方法——二分法．
师
生
探
究
，
构
建
新
知
1.上节课我们学了什么定理，它的作用是什么？
还有什么问题没有解决？
2．已知函数f（x）＝lnx＋2x－6在区间（2,3）内存在一个零点；如何求出方程lnx＋2x－6＝0在区间（2,3）的近似解（精确度为0.01）？
与刚才的游戏是否有类似之处？
3．精确度的含义是什么？
怎样的区间才算满足设定的精确度？
4．区间（2,3）的精确度为多少？
5．如何将零点所在的范围缩小（即如何将精确度缩小）？
缩小的依据是什么？
1.教师通过“问题1”对上节课的内容进行复习引入，点出今天的课题．并且有前面游戏作为伏笔，学生能够得出“连续函数零点存在定理”是判断方程的根所在区间的依据．
2．通过“问题2”应用具体的题目引导学生进行思考．学生通过引导将方程的解与商品的价格联系到一起，运用刚才的游戏的经验，得到缩小区间的想法．
3．学生对精确度的概念可能有所遗忘．教师可以借助数轴解释说明精确度的含义，引导学生思考什么时候停止操作．
4．教师通过“问题4～6”引导学生将“二分法”与“零点存在定理”相结合得到正确的新的零点所在的区间．并确定结束的时间.
[设计意图]
1．开门见山，延续上一节课的内容继续深入的研究，使得知识有一个链接，让学生能够很容易地将新知识建构到旧的知识体系中．
2．运用问题1，将学生的思路与前面已解决的问题联系起来，引导学生层层深入，抽丝拨茧，学习如何分析问题、如何利用新的知识解决问题；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运用知识、驾驭知识的能力．
3．师生的互动有利于一边引导一边总结．将二分法应用于解决实际问题，即将新的知识应用于解决新的问题．培养学生实际应用的能力，加强解决问题的严谨性，总结知识的逻辑性．使得最后方法的总结能够顺利进行．
4．有了前面的商品竞猜过程的经历，学生比较容易入手，分析比较容易到位，从而降低思维的难度．
续表
教学设计
学情预设
设计意图
知识链接
师
生
探
究
，
构
建
新
知
6．如何利用今天“猜价格”——“二分法”的逼近思想来缩小区间？
7．近似解是多少？
5.学生按照游戏的方法也就是按照“二分法”的思路，不断缩小零点存在的区间，进行具体操作，填出（附录1）中的表格．表格刚开始的前几行学生可能会比较慢，也有可能会出错；通过多次的重复以及经验的总结，后面的表格可以正确的、快速地回答出来；使得最后的“应用二分法求函数的零点”的方法的总结更加顺利．
6．对于“问题7”学生不太容易得到比较简洁的结论．教师可以进行解释说明：
“由于整个区间内的数均满足精确度的条件，因此区间内的所有数均可以作为近似解，但区间端点a，b是已知的值，所以可以取a或b作为近似解．”，最后得到方程的近似解（附录1的表格后面的内容）.
[知识链接]
1．函数零点存在定理：
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
2．精确度是对同一个量的不同近似数的精确程度的度量．一般是：
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
形
成
概
念
，
深
化
提
高
1.我们刚才的求解过程中有哪些过程是一直重复出现的？
2．我们取其一段，大家看如何用数学语言来描述？
3．点明求方程的近似解的“二分法”：
对于在区间（a，b）上连续不断、且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把方程的解所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近近似解，进而得到近似解的方法叫二分法.
4.进一步提出问题：
运用二分法求方程的近似解的步骤是什么？
5．运用二分法的前提是什么（游戏开始时要先做什么工作）？
引例条件的内涵是什么？
6．二分法的实质是什么？
它有什么作用？
学生经过老师“问题1～2”的提示与引导，
升级会员 