学年高中数学 第三章 统计案例单元测评B 新人教A版选修23.docx

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学年高中数学第三章统计案例单元测评B新人教A版选修23

2015-2016学年高中数学第三章统计案例单元测评B新人教A版选修2-3

（高考体验卷）

（时间:

90分钟　满分:

100分）

一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1.（2014重庆高

考）已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（　　）

A.=0.4x+2.3　　　　　　

B.=2x-2.4

C.=-2x+9.5

D.=-0.3x+4.4

解析:

由变量x与y正相关,可知x的系数为正,排除C,D.而所有的回归直线必经过点（）,由此排除B,故选A.

答案:

A

2.（2015福建高考）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:

收入x（万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出y（万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程x+,其中=0.76,.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为（　　）

A.11.4万元B.11.8万元

C.12.0万元D.12.2万元

解析:

∵=10,

=8,

∴-0.76=8-0.76×10=0.4.

∴=0.76x+0.4.

当x=15时,

=0.76×15+0.4=11.8.

答案:

B

3.（2015湖北武汉调考）根据如下样本数据:

x

3

4

5

6

7

y

4.0

2.5

-0.5

0.5

-2.0

得到的回归直线方程为x+.若=7.9,则x每增加1个单位,y就（　　）

A.增加1.4个单位B.减少1.4个单位

C.增加1.2个单位D.减少1.2个单位

解析:

（3+4+5+6+7）=5,（4.0+2.5-0.5+0.5-2.0）=0.9,所以样本中心为（5,0.9）,代入回归直线方程可得0.9=×5+7.9⇒=-1.4,所以x每增加1个单位,y就减少1.4个单位,故选B.

答案:

B

4.（2012新课标全国高考改编）在一组样本数据（x1,y1）,（x2,y2）,…,（xn,yn）（n≥2,x1,x2,…,xn不全相等）的散点图中,若所有样本点（xi,yi）（i=1,2,…,n）都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关指数为（　　）

A.B.0

C.D.1

解析:

因为所有的点都在直线上,所以就是确定的函数关系

所以相关指数为1.

答案:

D

5.（20

14陕西咸阳模拟）某产品在某零售摊位上的零售价x（元）与每天的销售量y（个）的统计如下表:

x

16

17

18

19

y

50

34

41

31

据上表可得回归直线方程x+中的=-4,则据此模型预测零售价为15元时,销售量为（　　）

A.48B.49

C.50D.51

解析:

=39.

∵回归直线方程为x+,且=-4,

∴39=-4×+a,解得a=109.

∴=-4x+109,当x=15时,y=49.

答案:

B

6.（2014河南开封模拟）在一次独立性检验中,得到2×2列联表如下:

y1

y2

总计

x1

200

800

1000

x2

180

m

180+m

总计

380

800+m

1180+m

且最后发现,两个分类变量X和Y没有任何关系,则m的可能值是（　　）

A.200B.720

C.100D.180

解析:

∵两个变量没有任何关系,∴200m≈180×800,解得m≈720.

答案:

B

7.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:

①y与x负相关,且=2.347x-6.423;

②y与x负相关,且=-3.476x+5.648;

③y与x正相关,且=5.437x+8.493;

④y与x正相关,且=-4.326x-4.578.

其中一定不正确的结论的序号是（　　）

A.①②B.②③

C.③④D.①④

解析:

正相关指的是y随x的增大而增大,负相关指的是y随x的增大而减小,故不正确的为①④,故选D.

答案:

D

8.（2014湖北高考）根据如下样本数据:

x

3

4

5

6

7

8

y

4.0

2.5

-0.5

0.5

-2.0

-3.0

得到的回归方程为x+,则（　　）

A.>0,>0

B.>0,<0

C.<0,>0

D.<0,<0

解析:

由样本数据可知y值总体上是随x值的增大而减少的,故<0.又回归直线过第一象限,故纵截距>0.故选B.

答案:

B

9.（2013福建高考改编）已知

x与y之间的几组数据如下表:

x

1

2

3

4

5

6

y

0

2

1

3

3

4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为x+.若某同学根据上表中的前两组数据（1,0）和（2,2）求得的直线方程为'x+',则以下结论正确的是（　　）

A.','B.','

C.','D.','

解析:

=-,

'==2>'=-2<.

答案:

C

10.（2014江西高考）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随

机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是（　　）

表1

　　　成绩

性别　　　

不及格

及格

总计

男

6

14

20

女

10

22

32

总计

16

36

52

表2

　　　视力

性别　　　

好

差

总计

男

4

16

20

女

12

20

32

总计

16

36

52

表3

　　　智商

性别　　　

偏高

正常

总计

男

8

12

20

女

8

24

32

总计

16

36

52

表4

　　　阅读量

性别　　　

丰富

不丰富

总计

男

14

6

20

女

2

30

32

总计

16

36

52

A.成绩B.视力

C.智商D.阅读量

解析:

根据K2=,代入题中数据计算得D选项K2最大.故选D.

答案:

D

二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上）

11.（2015河北唐山一模）为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律,得如下实验数据,计算得回归直线方程为=0.85x-0.25.由以上信息,得到下表中c的值为　　　. 

天数x/天

3

4

5

6

7

繁殖个数y/千个

2.5

3

4

4.5

c

解析:

∵=5,,∴这组数据的样本中心点是.把样本中心点代入回归直线方程中得=0.85×5-0.25,解得c=6.

答案:

6

12.（2015辽宁大连双基）已知x,y的取值如下表所示:

x

2

3

4

y

6

4

5

如果y与x线性相关,且线性回归方程

为x+,则的值为　　　. 

解析:

将=3,=5代入到x+中,得=-.

答案:

-

13.（2011辽宁高考）调查了某地若干户家庭的年收入x（单位:

万元）和年饮食支出y（单位:

万元）.调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加　　　　万元. 

解析:

家庭收入每增加1万元,对应回归直线方程中的x增加1,相应的的值增加0.254,即年饮食支出平均增加0.254万元.

答案:

0.254

14.（2014山东青岛高三月考试题）已知y与x之间具有很强的线性相关关系,现观测得到（x,y）的四组观测值并制作了如下的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为x+60,其中的值没有写上.当x不小于-5时,预测y的最大值为　　　　. 

x

18

13

10

-1

y

24

34

38

64

解析:

由已知,得=10,

=40,

所以40=10+60,=-2,=-2x+60.当x≥-5时,≤70.

答案:

70

15.（2011广东高考）某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为　　　　cm. 

解析:

由题意父亲身高xcm与儿子身高ycm对应关系如下表:

x

173

170

176

y

170

176

182

则=173,

=176,

（xi-）（yi-）=（173-173）×（170-176）+（170-173）×（176-176）+（176-173）（182-176）=18,

（xi-）2=（173-173）2+（170-173）2+（176-173）2=18

.

∴=1.∴=176-173=3.

∴线性回归直线方程x+=x+3.

∴可估计孙子身高为182+3=185（cm）.

答案:

185

三、解答题（本大题共4小题,共25分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16.（6分）（2014课标全国Ⅱ高考）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位:

千元）的数据如下表:

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代号t

1

2

3

4

5

6

7

人均纯收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y关于t的线性回归方程;

（2）利用

（1）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.

附:

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

解:

（1）由所给数据计算得

（1+2+3+4+5+6+7）=4,

（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3,

（ti-）2=9+4+1+0+1+4+9=28,

（ti-）（yi-）

=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,

=0.5,

=4.3-0.5×4=2.3,

所求回归方程为=0.5t+2.3.

（2）由

（1）知,=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.

将2015年的年份代号t=9代入

（1）中的

回归方程,得=0.5×9+2.3=6

.8,

故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.

17.（6分）（2014安徽高考改编）某高校共有学生15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法.收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:

小时）.

（1）应收集多少位女生的样本数据?

（2）根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示）,其中样本数据的分组区间为[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率;

（3）在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小

时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

附K2=.

解:

（1）300×=90,

所以应收集90位女生的样本数据.

（2）由频率分布直方图得1-2×（0.100+0.025）=0.75,

所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

（3）由

（2）知

300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:

每周平均体育运动时间与性别列联表

男生

女生

总计

每周平均体育运动时间

不超过4小时

45

30

75

每周平均体育运动时间

超过4小时

165

60

225

总计

210

90

300

结合列联表可算得K2的观测值为k=≈4.762>3.841.

所以,能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.

18.（6分）（2013福建高考改编）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

25周岁以上组

25周岁以下组

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率;

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

附:

χ2=

P（χ2≥k）

0.100

0.050

0.010

k

2.706

3.841

6.635

（注:

此公式也可以写成K2=）

解:

（1）由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名.

所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有60×0.05=3（人）,记为A1,A2,A3;25周岁以下组工人有40×0.05=2（人）,记为B1,B2.

从中随机抽取2名工人,所有的可能结果共有10种,它们是:

（A1,A2）,（A1,A3）,（A2,A3）,（A1,B1）,（A1,B2）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A3,B1）,（A3,B2）,（B1,B2）.

其中,至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:

（A1,B1）,（A1,B2）,（A2,B1）,（A2,B2）,（A3,B1）,（A3,B2）,（B1,B2）.故所求的概率P=.

（2）由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25=15（人）,“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375=15（人）,据此可得2×2列联表如下:

生产能手

非生产能手

合计

25周岁以上组

15

45

60

25周岁以下组

15

25

40

合计

30

70

100

所以得K2的观测值为

k=

=

=≈1.79.

因为1.79<2.706,

所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

19.（7分）（2015课标全国Ⅰ高考）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x（单位:

千元）对年销售量y（单位:

t）和年利润z（单位:

千元）的影响.对近8

年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2,…,8）数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

（xi-）2

（wi-）2

（xi-）（yi-）

（wi-）（yi-）

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中wi=wi.

（1）根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?

（给出判断即可,不必说明理由）

（2）根据

（1）的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;

（3）已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据

（2）的结果回答下列问题:

①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?

②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?

附:

对于一组数据（u1,v1）,（u2,v2）,…,（un,vn）,其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为.

解:

（1）由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.

（2）令w=,先建立y关于w的线性回归方程.

由于=68,

=563-68×6.8=100.6,

所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68.

（3）①由

（2）知,当x=49时,年销售量y的预报值

=100.6+68=576.6,

年利润z的预报值=576.6×0.2-49=66.32.

②根据

（2）的结果知,年利润z的预报值

=0.2（100.6+68）-x=-x+13.6+20.12.

所以当=6.8,即x=46.24时,取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.