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数学建模论文格式

2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

C

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

重庆信息技术职业学院

参赛队员（打印并签名）：

1.杨肖肖

2.邓亭

3.杨海觉

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

肖文

日期：

2016年9月12日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2016高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评阅人

通过上表中我们可以看出随着电流的增大，平均相对误差也在不断的增大。

电流强度2030

（A）90100

表5-1电压样本点个数（个）18511183

0.1082440.137281

评分

40506070

808593454365

备注

80放电时间（

min

291）

20A

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

电池剩余放电时间预测

摘要

铅酸电池（VRLA）作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。

在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压（Um）9V。

电池在当前负荷下还能供电多长时间是实际使用中必须回答的问题。

电池通过较长时间使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减。

针对问题一，首先，本文使用Matlab软件进行一元多项式回归拟合作出电池放电时间分别与各电流的一元多项式回归曲线，并根据Matlab程序结果得出各放电曲线一[2]。

其次，采用系统抽样方法在附件1中从元多项式回归模型Um开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点，在Excel软件中，算出各电流中相邻电压之差，在这些差中用统计中的countif函数找出0.005的所有样本点在各电流中的分布将其清?

?

0.005的所有样本点分布为对象：

（各电流中的样晰的标出，此时各电流中的样本点以本点/总样本点）*231得出231个样本点在各电流中的分布，接着各电流中的样本点以231个样本点分布为对象：

用231个样本点在各电流中分布的样本点找出其样本点所放电时间，并利用（各电流中的总放电时间-各电流中样本的放电时间）/各电流中的总放电时间/各电流中的样本点得出平均相对误差。

最后，将电压9.8V作为因变量带入已得[1]。

出的多项式回归模型，分别测出其电池的剩余放电时间针对问题二，首先，选取附件1中以20A为恒定电流强度中从放电时间0-20min的样本点，采用Matlab软件进行多项式回归拟合的方法得出多项式回归曲线以及多项式[3]，接着需要用问题中所解决的平均相对误差（即MRE）乘以恒定电流有用功回归模型下所释放的电压计算出该多项式回归模型的精度。

然后，在Excel软件中，在放电时间0-20min，取电流强度50A和60A在同一放电时间下两者的电压样本的中位数作为电流强度为55A时从放电时间0-20min的样本点，将其样本点在Matlab软件中进行多项式回归拟合得出多项式回归曲线图，并用Excel软件用表格作出电流强度为55A时的放电曲线。

针对问题三，首先，利用Excel软件，将衰减状态2与衰减状态3的差值做出，并利用折线图作出趋势线找到趋势方程，通过趋势方程预测出衰减状态2与衰减状态3的差值，在用衰减状态2的放电时间减去衰减状态2与衰减状态3的差值从而预测出衰减状态3的总放电时间，然后用衰减状态3的总放电时间减去已放电时间得出衰减状态3的剩余放电时间。

关键词：

Matlab软件；一元多项式回归；Excel软件；系统抽样；MRE1

一问题的重述

铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。

在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压（Um，本题中为9V）。

从充满电开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线。

电池在当前负荷下还能供电多长时间（即以当前电流强度放电到Um的剩余放电时间）是使用中必须回答的问题。

电池通过较长时间使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减。

问题1附件1是同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据。

请根据附件1用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相对误差（MRE，定义见附件1）。

如果在新电池使用中，分别以30A、40A、50A、60A和70A电流强度放电，测得电压都为9.8伏时，根据你获得的模型，电池的剩余放电时间分别是多少？

问题2试建立以20A到100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度。

用表格和图形给出电流强度为55A时的放电曲线。

问题3附件2是同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据。

试预测附件2中电池衰减状态3的剩余放电时间。

二符号说明

u：

各电流的总放电时间ju：

各电流抽取样本的放电时间ix：

电流为20A时放电时间1Y：

电流为20A时的电压1x：

电流为30A时的放电时间2Y：

电流为30A时的电压2x：

电流为40A时的放电时间3Y：

电流为40A时的电压3x：

电流为50A时的放电时间4Y：

电流为50A时的电压4x：

电流为60A时的放电时间5Y：

电流为60A时的电压5x：

电流为70A时的放电时间6Y：

电流为70A时的电压6x：

电流为80A时的放电时间7Y：

电流为80A时的电压7x：

电流为90A时的放电时间8Y：

电流为90A时的电压8x：

电流为100A时的放电时间9Y：

电流为100A时的电压9x：

问题二中电流为20A时的放电时间101

Y：

问题二中电流为20A时的电压10三问题的分析

本题要求我们建立关于电压随着放电时间的变化作出放电曲线图，并得出相对应的各个多项式回归模型，并用回归模型进行预测，进行平均相对误差和剩余放电时间的计算，其中平均相对误差（即MRE）是本题中的一个重点，利用放电曲线预测电池剩余容量/放电时间的精度取决于放电曲线在低电压段的质量。

然而放电曲线等时间间隔采样在低电压段的采样点相对稀疏。

基于这个事实，定义MRE如下：

在左侧表中从Um开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点。

对于问题一，根据附件1同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相对误差（MRE）；如果在新电池使用中，分别以30A、40A、50A、60A和70A电流强度放电，测得电压都为9.8伏时，根据获得的数学模型，测出电池的剩余放电时间分别是多少。

首先，就是采用Matlab软件对附件一中放电时间及其电压样本进行一元多项式回归拟合表示出电压随着时间变化的放电曲线，得到了一元多项式回归模型。

其次，需要利用系统抽样法将其附件1中从Um开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点，对这231个样本点进行在各电流强度中的分配样本，并对其进行平均相对误差的计算。

u?

uij。

最后，将问题中的电压9.8V其中相对误差的公式为：

作为因变量带入100%?

uj已得出的多项式回归模型，分别测出其电池的剩余放电时间。

对于问题二，建立以20A到100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度；用表格和图形给出电流强度为55A时的放电曲线。

在此问题上，以20A到100A之间任一恒定电流强度中选取20A为恒定电流强度，在其电流强度下，选取放电时间0-20min的样本点，用Matlab进行多项式回归拟合得出其放电曲线及多项式回归模型的建立。

接着，采用Excel软件，在放电时间0-20min，取电流强度50A和60A在同一放电时间下两者的电压样本的中位数作为电流强度为55A时从放电时间0-20min的样本点，将其样本点在Matlab软件中进行多项式回归拟合得出多项式回归曲线图，并用Excel软件用表格作出电流强度为55A时的放电曲线。

对于问题三，附件2是同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据；试预测附件2中电池衰减状态3的剩余放电时间。

利用Excel软件，将衰减状态2与衰减状态3的差值做出，作出趋势线找到趋势方程，通过趋势方程预测出衰减状态2与衰减状态3的差值，在（衰减状态2的放电时间-（衰减状态2-衰减状态3））中从而预测出衰减状态3的总放电时间，最后用衰减状态3的总放电时间减去已放电时间得出衰减状态3的剩余放电时间。

四模型假设

1.假设电池在放电过程中不会受到外界因素的影响；

2.在一定时间范围内，电荷不会出现大幅度的下降；

2

3.不考虑内阻随电荷状态变化；

4.假设本模型使用的数据均真实有效，具有统计的分析价值；

5.假设电池在放电之前电功一定，电量相同；

五模型的建立与求解

5.1问题一模型的建立及求解

5.1.1问题一模型的分析

首先，本文使用Matlab软件进行一元多项式回归拟合作出电池放电时间分别与各电流的一元多项式回归曲线，并根据Matlab程序结果得出各放电曲线一元多项式回归模型。

其次，采用系统抽样方法在附件1中从Um开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点，在Excel软件中，算出各电流中相邻电压之差，在这些差中用统计?

0.005的所有样本点在各电流中的分布将其清晰的标出，此时countif函数找出中的?

0.005的所有样本点分布为对象：

（各电流中的样本点/各电流中的样本点以总样本点）*231得出231个样本点在各电流中的分布，接着各电流中的样本点以231个样本点分布为对象：

用231个样本点在各电流中分布的样本点找出其样本点所放电时间，并利用（各电流中的总放电时间-各电流中样本的放电时间）/各电流中的总放电时间/各电流中的样本点得出平均相对误差。

最后，将电压9.8V作为因变量带入已得出的多项式回归模型，分别测出其电池的剩余放电时间。

5.1.2问题一模型的建立

最小二乘法是建立趋势方程、分析长期趋势较为常用的方法。

一般来说回归模型中都包含了最小二乘法的运算。

一元多项式回归模型

设变量X、Y的回归模型：

2p?

?

axax?

?

...xY?

a?

a?

p0122?

）,（0N?

）2,...,p（i?

1,a服从正态分布是已知的，是未知参数，。

其中pi2pxa...?

xax?

?

?

Y?

aap120上面的回归模型称为多项式回归。

5.1.3问题一模型的求解

5.1.3.1初等函数模型求解

使用Matlab软件进行一元多项式回归拟合作出电池放电时间分别与各恒定电流的

一元多项式回归曲线，并根据Matlab程序结果得出各个电流的放电曲线与对应一元多项式回归模型。

当恒定的电流强度为20A时，用Matlab软件编程得到如图5-1关系曲线和图5-2所示模型求解过程。

3

图5-120A电压与放电时间的放电曲线

图5-220A多项式回归编程图

通过编程图可得出相对应的多项式回归模型：

?

82?

5?

x?

?

?

x?

8.13761010.567?

?

?

Y7.132810

（1）

111当恒定的电流强度为30A时，用Matlab软件编程得到如图5-3关系曲线和图5-4所示模型求解过程。

4

图5-330A电压与放电时间的放电曲线

图5-430A多项式回归编程图

通过编程图可得出相对应的多项式回归曲线模型：

?

72?

0.00017595x?

?

Y?

1.449?

1010.583?

x

（2）

222当恒定的电流强度为40A时，用Matlab软件编程得到如图5-5关系曲线和图5-6所示模型求解过程。

5

图5-540A电压与放电时间的放电曲线

图5-640A多项式回归编程图

通过编程图可得出相对应的多项式回归模型：

?

72?

0.00018034x10?

3.2688?

?

x?

10.537?

Y（3）

333当恒定的电流强度为50A时，用Matlab软件编程得到如图5-7关系曲线和图5-8所示模型求解过程。

6

图5-750A电压与放电时间的放电曲线

图5-850A多项式回归编程图

通过编程图可得出相对应的多项式回归模型：

?

72?

0.0002048x10?

5.544?

?

?

x10.492?

Y（4）

444当恒定的电流强度为60A时，用Matlab软件编程得到如图5-9关系曲线和图5-10所示模型求解过程。

7

电压与放电时间的放电曲线图5-960A

图5-1060A多项式回归编程图

通过编程图可得出相对应的多项式回归模型：

?

72?

0.00024295x?

?

Y?

8.6298?

1010.457?

x（5）

555当恒定的电流强度为70A时，用Matlab软件编程得到如图5-11关系曲线和图5-12所示模型求解过程。

8

图5-1170A电压与放电时间的放电曲线

图5-1270A多项式回归编程图

通过编程图可得出相对应的多项式回归模型：

?

62?

0.00022779x?

?

Y?

1.328?

1010.397?

x（6）

666当恒定的电流强度为80A时，用Matlab软件编程得到如图5-13关系曲线和图5-14所示模型求解过程。

9

图5-1380A电压与放电时间的放电曲线

图5-1480A多项式回归编程图

通过编程图可得出相对应的多项式回归模型：

?

62?

0.00028628x?

?

Y?

1.7977?

1010.364?

x（7）

777当恒定的电流强度为90A时，用Matlab软件编程得到如图5-15关系曲线和图5-16所示模型求解过程。

10

图5-1590A电压与放电时间的放电曲线

图5-1690A多项式回归编程图

通过编程图可得出相对应的多项式回归模型：

?

62?

0.00032746x?

?

Y?

2.468?

1010.334?

x（8）

888当恒定的电流强度为100A时，用Matlab软件编程得到如图5-17关系曲线和图5-18所示模型求解过程。

11

图5-17100A电压与放电时间的放电曲线

多项式回归编程图图5-18100A

通过编程图可得出相对应的多项式回归模型：

26?

10.311x?

?

x10Y?

?

3.0117?

0.00048779?

（9）

999以上建立的

（1）、

（2）、（3）……（9）个模型则是9个不同的电流强度下所得到。

5.1.3.2平均相对误差的计算

分别计算出个放电曲线的平均相对误差MRE（在左侧表中从Um开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点，这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差）。

在Excle软件中将附件1中所给出的数据进行一定的技术处理，在采用系统抽样的方法抽取样本点并且利用了比例分配的得到了各个电路强度下的样本点个数。

选取样本点的步骤如下：

a．计算出同一点流强度相邻电压之间的间隔。

b．利用countif函数找出了附件1中所有间隔不超过0.005V的电压样本点如图5-19所示过程。

12

、

图5-19

即通过函数可得到总的电压样本点个数为5965。

c．同上利用countif函数分别在同一电流强度下找出间隔不超过0.005V的电压样本点如图5-20所示过程。

图5-20

通过计算过程可分别到电压样本点个数如表5-1所示。

90230

100189

d．利用公式：

231个样本点*（各电流强度的电压样本点/总的样本点）

该公式所指样本点为电压不超过0.005V时的电压样本点，通过公式得到抽取样本点的个数为如表5-2所示。

表5-2

电流强度（A）抽取的电压样本点（个）

2072

3046

4031

5023

6018

7014

8011

909

13

7

100

，结合以上步骤中我们抽取了各电流中的电压样本点，根据题中定义出的MRE

uu?

ij相对误差公式5-3所示。

可分别得到个放电曲线下的平均型对误差如表100%?

uj5-3

表

平均相对误差电流强度（A）0.013420

0.020930

0.031140

0.042050

0.053760

0.069370

0.088480

剩余放电时间的计算5.1.3.3

作为因变量带入已得出的多项式回归模型，分别测出其电池的剩余放9.8V将电压电时间。

:

的放电模型中9.8V分别代入电流强度为30A将电压9V和27?

10.583?

0.00017595?

xx?

Y?

1.449?

10?

222时所放电的时间进行做差得到电流强度为9.8V然后将饱和时所放电的时间与电压为分钟。

时的剩余的放电时间为98530A的放电模型中：

40A9.8V分别代入电流强度为将电压9V和2?

710.537xx?

?

?

3.2688?

10?

0.00018034?

Y333时所放电的时间进行做差得到电流强度为然后将饱和时所放电的时间与电压为9.8V660分钟。

40A时的剩余的放电时间为的放电模型中：

50A9.8V9V和分别代入电流强度为同理把电压27?

10.492?

0.0002048x?

x?

5.544Y?

?

?

10444时所放电的时间进行做差得到电流强度为9.8V然后将饱和时所放电的时间与电压为分钟。

时的剩余的放电时间为52050A的放电模型中：

代入电流强度为60A把电压9V和9.8V2?

710.457?

?

8.6298?

100.00024295?

xx?

Y?

555时所放电的时间进行做差得到电流强度为9.8V然后将饱和时所放电的时间与电压为426时的剩余的放电时间为分钟。

60A的放电模型中：

70A和9.8V代入电流强度为9V把电压2?

610.397?

x?

?

?

?

Y1.32810?

x0.0002277966614

然后将饱和时所放电的时间与电压为9.8V时所放电的时间进行做差得到电流强度为70A时的剩余的放电时间为352分钟。

注：

上述意为（电池达到饱和状态时的放电时间）—（电池在电压为9.8V时的放电时间）=（电池出输出电压为9.8V时所剩余的放电时间）

5.2问题二的模型建立及求解

5.2.1问题二模型分析

首先，选取附件1中以20A为恒定电流强度中从放电时间0-20min的样本点，采用Matlab软件进行多项式回归拟合的方法得出多项式回归曲线以及多项式回归模型，接着需要用问题一中所解决的平均相对误差（即MRE）乘以恒定电流有用功下所释放的电压计算出该多项式回归模型的精度。

其次，在Excel软件中，在放电时间0-20min，取电流强度50A和60A在同一放电时间下两者的电压样本的中位数作为电流强度为55A时从放电时间0-20min的样本点，将其样本点在Matlab软件中进行多项式回归拟合得出多项式回归曲线图，并用Excel软件用表格作出电流强度为55A时的放电曲线。

5.2.2问题二的模型建立

一元多项式回归模型

设变量X、Y的回归模型：

2p?

?

...?

b?

bx?

bxx?

Y?

bp2102?

）0,N（?

b（i?

1,2,...,p）其中p是已知的，。

是未知参数，服从正态分布i2pb?

xx?

...?

Y?

b?

bxbp021上面的回归模型称为多项式回归。

5.2.3问题二的模型求解

5.2.3.1放电曲线模型的求解

附件1中以20A为恒定电流强度中从放电时间0-20min的样本点，如表5-4所示。

表5-4放电时间0-20min的样本点

011.1781

210.8913

410.7419

610.6288

810.5581

1010.5181

1210.4956

1410.4850

1610.4819

1810.4850

2010.4919

采用Matlab软件对其放电时间0-20min的样本点用多项式回归拟合作出多项式回归曲线和模型。

15

电压与放电时间的放电曲线图5-19

多项式回归编程图图5-20

可得出其相对应的多项式回归模型：

）10（245?

536?

711.177xx?

0.003622x0.030635?

x?

10?

Y1.5398?

?

x?

1.017?

?

100.18973?

x?

0.0002657610101010101010评估模型的精度5.2.3.2用MRE。

采用物理知识在电功率相同的原理下，有W=UIT1W变形得到电压与时间的关系?

U

It利用在电流为20A时所得到的电压*对应的平均相对误差，即可能得到精度。

由附件1可整理出如表所示的数据：

额定最低电压下对应的的放电时间

I（A）140.39.635656.9

140.7661.89.630

141.1

9.625

663.6150.99.425739.9

151.09.420740.0

151.1

9.415

740.9150.89.215794.7

150.79.210795.1

150.6

9.205

796.4140.29.005836.9

139.8

9.000

839.2

20

30Matlab

40软件中进行多项式回归拟合得出多项式回归曲线图，如图9.6509.4409.2309.020

50653.7734.4792.7833.1

60

70139.2150.5151.2141.3

80

90

100

t（min）

3764

2454

17249.6459.6409.4359.4309.2259.2209.0159.010

1308653.4656.3734.5736.5793.0794.4