高三数学 34复合函数的导数第二课时大纲人教版选修.docx
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高三数学34复合函数的导数第二课时大纲人教版选修
2019-2020年高三数学3.4复合函数的导数（第二课时）大纲人教版选修
课 题
3.4.2 复合函数的导数
（二）
教学目标
一,教学知识点
复合函数的求导法则.
二,能力训练要求
能够利用复合函数的求导法则，求解一些复杂的函数的导数.
三,德育渗透目标
1.培养学生灵活运用知识的能力.
2.培养学生综合运用知识的能力.
教学重点
利用复合函数的求导法则求函数的导数.
教学难点
如何设中间变量，弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成，把哪一部分看成一个整体.求导的次序是由外向内.通过练习，能够熟练地掌握复合函数的求导法则.
教学方法
讲练结合，以练为主.
教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］复合函数的求导法则是什么？
［生］复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数.
［师］用公式如何表示？
要注意什么？
［生］y′x=y′u·ux′.利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.
［师］这节课我们还是来看一下利用复合函数的求导法则如何求一些复合函数的导数.
Ⅱ.讲授新课
（一）课本例题
［例2］求y=的导数.
［师生共析］这道题如何设中间变量呢？
可以设u=（1-3x）4,这时u仍是复合函数，再设v=1-3x.或者可以把y看成y=（1-3x）-4，这时只要设u=1-3x就可以了.
解法一：
令y=,u=（1-3x）4.
再令u=v4，v=1-3x.
∴y′x=y′u·u′x=y′u·u′v·v′x=（）′u·（v4）′v·（1-3x）′x
=·4v3·（-3）
=-·4·（1-3x）3（-3）
=.
解法二：
令y=u-4,u=1-3x.
y′x=y′u·u′x=（u-4）′u（1-3x）′x
=-4u-5·（-3）=12（1-3x）-5.
［师］上述两种方法都求得正确结论，但是选取的中间变量不同，求导过程就有难易之分.所以求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.如果你们已经熟练掌握了复合函数的求导法则，那么中间步骤可以省略不写.
［板书］解:
y′x=［（1-3x）-4］′=-4（1-3x）-5（-3）=12（1-3x）-5.
［例3］求y=的导数.
解：
y=（）,
y′=（）·（）′=（）·
=
·
=x（1-x）.
（二）精选例题
［例1］求y=（ax-bsin2ωx）3对x的导数.
［学生板演］解：
y′=3（ax-bsin2ωx）2·（ax-bsin2ωx）′
=3（ax-bsin2ωx）2［a-（bsin2ωx）′］
=3（ax-bsin2ωx）2［a-2bsinωx·（sinωx）′］
=3（ax-bsin2ωx）2［a-2bsinωx·cosωx·ω］
=3（ax-bsin2ωx）2（a-bω·sin2ωx）.
［例2］求y=sinnxcosnx的导数.
［学生板演］解：
y′=（sinnx）′cosnx+sinnx（cosnx）′
=nsinn-1x·cosnx+sinnx·（-sinnx）
=nsinn-1xcosnx-sinnxsinnx.
［学生点评］做得不正确.在第二步时还要对sinx求导，以及对nx也求导.
［学生改正］解：
y′=（sinnx）′cosnx+sinnx（cosnx）′
=nsinn-1x·（sinx）′cosnx+sinnx·（-sinnx）（nx）′
=nsinn-1xcosxcosnx-nsinnxsinnx
=nsinn-1x（cosxcosnx-sinxsinnx）
=nsinn-1xcos（n+1）x.
［师］不要忘了对中间变量还要进行求导.
［例3］求函数y=-x2（3x-2）（3-2x）的导数.
［学生分析］这是求三个函数乘积的导数，只要根据公式
（uvω）′=u′vω+uv′ω+uvω′就可以求了.
［学生板演］解：
y′=（-x2）′（3x-2）（3-2x）+（-x2）（3x-2）′（3-2x）+（-x2）·（3x-2）（3-2x）′
=-2x（3x-2）（3-2x）-x2·3（3-2x）-x2（3x-2）（-2）
=24x3-39x2+12x.
［例4］某质点的运动方程是s=t3-（2t-1）2,求在t=1s时的瞬时速度.
解:
∵s′=3t2-2（2t-1）=3t2-4t+2,
∴t=1时,s′=3-2=1,即在t=1s时的瞬间速度为1.
［例5］
已知函数f（x）=（+x）n（n∈N*）.
（1）求f′（x）；
（2）判断f（n）-f（n-）与的大小，并且证明.
分析：
（1）利用定义或复合函数的求导的方法求解.
（2）利用二项式定理展开，分别求展开式中各项的极限.
（1）解法一：
∵f（x）=（+x）n，
∴令u=+x,f=un.
∴f′（x）=f′u·u′x=（un）′·（+x）′=nun-1·1=nun-1=n（+x）n-1.
解法二：
也可以先用二项式定理展开，再求导数.
∵f（x）=（+x）n，
∴f（x）=C0n·（）n+C1n·（）n-1x+C2n·（）n-2·x2+…+Cnn·xn.
∴f′（x）=0+C1n·（）n-1+2C2n·（）n-2·x+…+nCnn·xn-1.
又kCkn=n·C,k=0,1,2,…,n,
∴f′（x）=nC（）n-1+nC（）n-2x+…+nCxn-1
=n［C（）n-1+C（）n-2x+…+Cxn-1］
=n（+x）n-1.
（2）证f（n）-f（n-）≤,
∵f（n）-f（n-）=（+n）n-nn,
=（+n）n-1,
故只需证（+n）n-nn≤（+n）n-1,
即证C0n（）n+C1n（）n-1·n+…+C（）·nn-1≤C·（）n-1+C（）n-2·n+…+C·nn-1.（*）
∵0≤k≤n-1,
∴≤1.
∵
，
∴Ckn（）n-k·nk≤C（）n-k-1·nk.
∴（*）式成立，即
f（n）-f（n-）≤,
当且仅当n=1时取“=”.
Ⅲ.课堂练习
1.求下列函数的导数.
（1）y=;
（2）y=;
（3）y=sin（3x-）;
（4）y=cos（1+x2）.
（1）解：
y==（2x2-1）-3,
y′=［（2x2-1）-3］′
=-3（2x2-1）-4（2x2-1）′
=-3（2x2-1）-4（4x）
=-12x（2x2-1）-4.
（2）解：
y==（）=（3x+1）,
y′=［（3x+1）］′
=-（3x+1）（3x+1）′
=-（3x+1）·3=-（3x+1）.
［师］有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便.
（3）解：
y′=［sin（3x-）］′
=cos（3x-）（3x-）′
=cos（3x-）·3=3cos（3x-）.
（4）解：
y′=［cos（1+x2）］′
=-sin（1+x2）（1+x2）′
=-sin（1+x2）·2x=-2xsin（1+x2）.
2.下列函数中，导数不等于sin2x的是（D）
A.2-cos2x
B.2+sin2x
C.sin2x
D.x-cos2x
解析：
A：
（2-cos2x）′=0-（-sin2x）（2x）′
=sin2x·2=sin2x.
B:
（2+sin2x）′=0+·2sinx·（sinx）′=·2·sinx·cosx=sin2x.
C:
（sin2x）′=·2sinx（sinx）′
=·2sinxcosx=sin2x.
D:
（x-cos2x）′=1-·2cosx（cosx）′=1-·2cosx（-sinx）=1+sin2x.
3.设函数f（x）=（x-a）3,曲线y=f（x）在点P（x1,f（x1））与点Q（x2,f（x2））处的切线互相平行,且两切线斜率的取值范围是［3,6］,则弦PQ在x轴上的射影长的取值范围为（D）
A.［1,2］
B.［2,3］
C.［1,］
D.［2,2］
解析：
∵f′（x）=3（x-a）2,
f（x）在P（x1,f（x1））,Q（x2,f（x2））处的切线平行,
∴f′（x1）=f′（x2）.
∴3（x1-a）2=3（x2-a）2.
∴x12-2ax1+a2=x22-2ax2+a2.
∴（x1+x2）（x1-x2）-2a（x1-x2）=0.
∴（x1-x2）（x1+x2-2a）=0.
又∵x1≠x2,∴x1+x2=2a.
设P,Q在x轴上的射影为P1,Q1,
∴P1,Q1关于点（a,0）对称.
∴|P1Q1|=|x1-x2|
=|x1-a+a-x2|=|x1-a|+|a-x2|
=|x1-a|+|x2-a|.
又∵f′（x1）=f′（x2）∈［3,6］,
∴1≤（x1-a）2≤2,1≤（x2-a）2≤2.
∴1≤|x1-a|≤,1≤|x2-a|≤.
∴|P1Q1|=|x1-a|+|x2-a|∈［2,2］.故选D.
4.求y=的导数.
解：
y′=（）′
=
=
=
=
=
=（1-x2）.
Ⅳ.课时小结
这节课主要复习巩固了如何运用复合函数的求导法则进行求导.求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量.一些根式函数或分母上是幂函数分子为常数的分式函数，通常经过变形，转化成幂函数，这样求导起来会比较方便.利用幂函数的求导公式.
Ⅴ.课后作业
一,课本P123习题3.4 1（3）（4）,2（3）（4）,3
（1）.
二,1.预习内容：
课本P123～124对数函数的导数.
2.预习提纲：
（1）（lnx）′=考虑证明过程，可用结论（1+x）=e.
（2）（logax）′=logae.
板书设计
3.4.2 复合函数的导数
（二）
课本例题
例2.求y=的导数.（两种方法）
例3.求y=的导数.
精选例题
例1.求y=（ax-bsin2ωx）3对x的导数.
例2.求y=sinnxcosnx的导数.
例3.求y=-x2（3x-2）（3-2x）的导数.
例4.
例5.
课堂练习
1.求下列函数的导数.
（1）y=；
（2）y=；
（3）y=sin（3x-）；
（4）y=cos（1+x2）.
2.下列函数中，导数不等于sin2x的是（ ）
A.2-cos2x
B.2+sin2x
C.sin2x
D.x-cos2x
3.
4.求y=的导数.
课时小结
课后作业
2019-2020年高三数学3.5对数函数与指数函数的导数（第一课时）大纲人教版选修
课时安排
2课时
从容说课
本节知识重点是：
结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，灵活运用对数函数与指数函数的求导公式，以及前四个常用公式，培养学生转化的思想与综合解题能力.
（1）在给出对数函数、指数函数的求导公式之后，分别要安排两个例题.其中例1、例2是求对数函数的复合函数的导数.第二个层次，再安排两个例题，一个是求指数函数，三角函数的复合函数的积的导数；另一个是求指数函数的复合函数的导数.第三个层次，给出xx年全国高考题的求导数问题.
（2）具备导函数是函数本身这一特性的函数有y=ex和y=0.而y=ax的导函数是它本身的lna倍.这些常见的函数的导数问题，编拟成试题：
请举出导函数是其本身的一个函数__________；请举出导函数是其k倍的一个函数__________.这样不仅巩固了常见的函数的导数，也改变了单一的教学方式，丰富了题目的类型，调动了学生的积极性，培养了学生的探索和创新精神.
（3）由于对数运算有如下性质：
logaMn=nlogaM,logaMN=logaM+logaN,loga=logaM-
logaN，所以利用对数特有性质求导函数可能会使某些难题变得简单.
（4）自然对数的导函数很简单，是真数的倒数，即（lnx）′=.而（logax）′=logae，右边不能写成logea=lna,要让学生注意.
第十课时
课 题
3.5.1 对数函数与指数函数的导数
（一）——对数函数的导数
教学目标
一,教学知识点
对数函数的导数的两个求导公式：
（lnx）′=、（logax）′=logae.
二,能力训练要求
1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.
2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数.
三,德育渗透目标
1.培养学生的推理论证能力.
2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.
3.培养学生的个性品质.
教学重点
结合函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则，应用对数函数的求导公式.
教学难点
对数函数的导公式的记忆，以及对数函数的求导公式的应用.
教学方法
讲、练结合
教具准备
幻灯片两张
第一张：
（lnx）′=的证明（记作3.5.1A）
（lnx）′=（用定义证明）.
证明：
∵y=f（x）=lnx，
Δy=ln（x+Δx）-lnx=ln=ln（1+），
∴=ln（1+）=·ln（1+）
=ln（1+）.
∵（1+x）=e,
∴y′=ln（1+）=lne=.
第二张：
（logax）′=logae的证明（记作3.5.1B）
（logax）′=logae.
证法一：
（logax）′=（）′=（lnx）′=·=·=logae.
证法二：
∵y=logax,
loga（1+）=loga（1+）,
∴=loga（1+）=logae.
∴（logax）′=logae.
教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:
常数函数，幂函数，三角函数的导数.这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数，对数函数的导数.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们先给出以e为底的自然对数函数的导数，然后介绍一下它的证明过程，不过要用到一个结论（1+x）=e.
［板书］
（一）对数函数的导数
1.（lnx）′=.
（打出幻灯片3.5.1A，给学生讲解）
［师］下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式logax=（b＞0,b≠1）.证明过程只作了解.
2.（logax）′=logae.
（打出幻灯片3.5.1B，给学生讲解）
［师］我们运用学过的函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则，来看一下有关含有对数的一些函数的导数.
（二）课本例题
［例1］求y=ln（2x2+3x+1）的导数.
分析：
要用到对数函数的求导公式和复合函数的求导法则，以及函数四则运算的求导法则.
解：
y′=［ln（2x2+3x+1）］′
=（2x2+3x+1）′
=.
［例2］求y=lg的导数.
解法一：
y′=（lg）′=lge·（）′
=··（1-x2）（1-x2）′
=··（-2x）
=.
分析：
对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导.
解法二：
y=lg=lg（1-x2）,
∴y′=［lg（1-x2）］′
=··lge·（1-x2）′
=·（-2x）=.
（三）精选例题
［例1］求函数y=ln（-x）的导数.
分析：
由复合函数求导法则y′x=y′u·u′x对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数.
［学生板演］解：
y′=·（-x）′
=［（x2+1）·2x-1）
=（-1）
=·=-.
［例2］若f（x）=ln（lnx）,那么f′（x）|x=e=__________.（B）
A.e B.C.1D.以上都不对
解：
f′（x）=［ln（lnx）］′=·（lnx）′=,
f′（x）|x=e==.
［例3］y=ln［ln（lnx）］的导数是（C）
A.B.
C.D.
解：
y′=［ln（lnx）］′
=·（lnx）′
=··=.
［师生共议］所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.
［例4］求y=ln|x|的导数.
［生甲］y′=（ln|x|）′=.
［生乙］当x＞0时，y=lnx,y′=（lnx）′=.
当x＜0时，y=ln（-x），y′=［ln（-x）］′
=·（-1）=.
∴y′=.
［师生共评］学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候，|x|可以看成ln|x|的中间变量，对|x|还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.
［例5］求y=x（lnx）n的导数.
［师析］这类函数是指数上也含有x的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如［u（x）］v（x）的函数的求导，它的方法可以是两边取自然对数，然后再对x求导.
解：
y=x（lnx）n两边取自然对数,
lny=lnx（lnx）n=（lnx）n·lnx=（lnx）n+1.
两边对x求导,·y′=（n+1）（lnx）n·（lnx）′=（n+1）.
∴y′=·y
=·x（lnx）n
=（n+1）（lnx）n·x（lnx）n-1.
［例6］求y=loga的导数.
［学生板演］解：
y′=（loga）′
=logae·（）′
=·（1+x2）·2x
=.
Ⅲ.课堂练习
求下列函数的导数.
1.y=xlnx.
解：
y′=（xlnx）′=x′lnx+x（lnx）′
=lnx+x·=lnx+1.
2.y=ln.
解：
y′=（ln）′=
·（）′
=x·（-1）·x-2=-x-1=-.
3.y=loga（x2-2）.
解：
y′=［loga（x2-2）］′
=（x2-2）′=.
4.y=lg（sinx）.
解：
y′=［lg（sinx）］′=（sinx）′
=cosx=cotxlge.
5.y=ln.
解：
y′=（ln）′
=（）′=··（1-x）（-1）
=-=.
6.y=ln.
解：
y′=（ln）′
=（）′
=·（x2+1）·2x
=.
7.y=-ln（x+1）.
解：
y′=（）′-［ln（x+1）］′
=
=
=
=.
8.y=+ln.
解：
y′=（）′+（ln）′
=+·（x2+a2）·2x+··（x+）′
=++［1+（x2+a2）·2x］
=++·（1+）
=+·
==.
Ⅳ.课时小结（学生总结）
本节课主要学习了对数函数的两个公式（lnx）′=,（logax）′=logae,以及运用函数的四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，求一些含有对数的函数的导数.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P125习题3.5 1.
（二）预习内容:
课本P124～125指数函数的导数.
2.预习提纲:
（1）预习（ex）′=ex及它的应用.
（2）预习（ax）′=axlna及它的应用.
板书设计
3.5.1 对数函数与指数函数的导数
（一）——对数函数的导数
1.（lnx）′=.
2.（logax）′=logae.
课本例题
［例1］求y=ln（2x2+3x+1）的导数.
［例2］求y=lg的导数.
精选例题
［例1］求y=ln（-x）的导数.
［例2］若f（x）=ln（lnx）,那么
f′（x）|x=e=__________.（B）
A.e B.C.1D.都不对
［例3］y=ln［ln（lnx）］的导数是（C）
A.B.
C.D.
［例4］求y=ln|x|的导数.
［例5］求y=x（lnx）n的导数.
［例6］求y=loga的导数.
课堂练习
求下列函数的导数.
1.y=xlnx.
2.y=ln.
3.y=loga（x2-2）.
4.y=lg（sinx）.
5.y=ln.
6.y=ln.
7.y=-ln（x+1）.
8.y=+ln.
课后作业
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