北师大版七下 第五章三角形 教材分析.docx
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北师大版七下第五章三角形教材分析
第五章三角形
一、知识结构与特点：
1．本章主要内容是研究三角形的基本概念和属性。
主要内容包括：
三角形的一些概念和性质；三角形三条边、三个内角之间的关系；全等图形与性质；全等三角形的判定和性质；直角三角形全等的特别判定方法；能根据不同的条件用尺规作图画出三角形，利用三角形全等的知识，探索生活实际中两点之间距离测量的问题，引导学生把所学的数学知识应用于解决生活实际中所遇到的问题。
通过本章的教学，要使学生学会适应日常生活和进一步学习所需的必要知识和基本技能，进一步培养学生的思维能力，促进学生运用所学知识解决简单的实际问题的意识的养成，培养学生创新意识。
2．本章除了容量和深度有了一定的增加外，在内容和方法上也有了较大的变化。
在语言训练上，从前面几个单元以训练文字语言为主，逐步过渡到以符号语言和作图语言为主；在图形的识别上开始识别经过平移旋转、翻折等变换的图形；在画图上，开始从工具画图为主转向以尺规作图为主；尤其在证明训练上，初步开始进行简单的逻辑论证的训练。
特别是本章对图形全等的研究是几何研究图形相等和不等的主要工具。
本章对图形性质的探索是以直观操作和简单推理相结合的的方法进行的，对有关结论的证明将在八年级（下）和九年级（上）进行。
3．新旧教材对比
（1）小节的安排上
一
三角形
1
认识三角形
二
全等三角形
2
图形的全等
3
图案设计
4
全等三角形
5
探索三角形全等的条件
三
尺规作图
6
作三角形
四
等腰三角形
7
利用三角形全等测距离
五
勾股定理
8
探索直角三角形全等的条件
注：
从表格中可以看出，图形的全等和图案设计在旧教材中没有，旧教材中等腰三角形、勾股定理，还有尺规作图中的作一个角等于已知角，作图题举例在新教材第6节中都没有。
（2）两点不同
1．推理方面：
本章是课程标准中第三学段“空间与图形”内容中发展推理和论证能力的第一阶段，注重的是学生推理意识的建立和对推理的理解，严格的推理论证没有，推理形式多样化。
教学中，对于学生的口头表达、书写格式不作统一要求。
本章中可以是利用箭头、图中标示和自然语言等（课本P155）；推理的步骤主要为一步，对于两步的在书写上只要求学生能指出每一步的理由即可。
2．趣味性、应用性方面：
教材提供了很多比原教材更丰富、有趣和贴近学生熟悉的现实生活中的情境（P150、P155），体现了数学与人和现实生活的联系，有益于学生理解数学、热爱数学，体会到数学在现实生活中是有用的，从而把数学当成自己发展的重要动力源泉。
在学习过程中，为发展学生的空间观念、个性的发展提供了可能。
学习内容充分体现了可操作性、趣味性、现实性和挑战性。
二、本章教学目标
1.通过观察、操作（折、拼、画、图案设计）、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，积累数学活动经验。
2．在探索图形性质的过程中，发展推理能力和有条理地表达能力。
3．进一步认识三角形的有关概念，了解三边之间的关系以及三角形的内角和，了解三角形的稳定性。
4.了解图形的全等，能利用全等图形进行简单的图案设计。
5.经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题。
6.在分别给出两角夹边、两边夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形（会写已知、求作和作法，不要求证明）。
7．激发学生学习图形知识的兴趣并能使学生从学习中感受到几何的美感。
三、教学建议
1、注重使学生经历探索知识的过程
空间观念的发展需要学生亲自经历观察、操作、想象、推理与交流等数学活动。
在本章内容的教学中，教师应充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等过程，使学生自我发现，获取知识。
如，三角形全等的获取过程应是让学生通过画图、观察、比较、推理、交流等活动，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论。
在这个过程中，学生不仅得到了结论，同时也学会了分析、思考、解决问题的方法。
在探索过程中，教师要注意给学生留有充分的探索空间，在独立思考后，让学生进行交流，用自己的语言表达，发展推理能力。
例如，在探索三角形全等的条件时，不宜采用旧教材“直接给出SAS，ASA，SSS等条件，让学生分别作出符合条件的三角形后，经过比较确认这几个条件”来进行，可以按照新教材来进行（P138），提出“已知两个三角形的哪些边或角的条件，就能保证这两个三角形全等”“知道的条件能尽可能少吗”等问题，鼓励学生通过画图、观察、比较、推理、交流，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论。
当然，也可以在提出问题“要画一个三角形与小明画的三角形全等，需要几个与边或角的大小有关的条件”后放手让学生采取各自解决问题的方案，再全班进行交流，可用有公共端点的、可旋转并且可伸缩的两条木条从直观上来引导学生思考。
总之，必须让学生充分地经历实践，探索和交流的活动，通过这个过程，让学生不仅得到了两个三角形全等的条件的有关知识，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动的经验，教会学生学习知识的方法比单纯的知识点的教学更重要。
2．注重创设具有现实性，趣味性和挑战性的情境，体现三角形的广泛应用。
三角形在日常生活中随处可见，应用也很广泛，是体现数学与现实联系的良好素材。
教科书除了专门设置了利用三角形全等测距离的内容，生动地展现了三角形全等在生活中的应用外，在其他学习内容中也注意选取适当的现实问题，体现三角形的广泛应用，将数学知识的学习和应用紧密结合起来。
教师在教学中，除了充分利用教科书中的素材外，还可以结合本地区的实际和学生的特点，创设更多学生更感兴趣素材，以增强学生对数学的兴趣，体会数学与现实的密切联系。
注重数学与生活的联系，让学生学会用数学的思维方式去观察、分析与解决，从中体会数学与自然及人类社会的密切联系，增进对数学的理解，了解数学的价值．
例如，
（1）利用好P116的章前图，通过展示图片等方式，让学生体会数学与现实世界的联系，激发学生学习的兴趣；
（2）
议一议也可以用“从甲村庄到乙村庄，走哪条路最近”这样一个生活中显而易见的问题进行教学。
（3）P150可在操场上进行，采用讲故事的方式，让学生充分思考、发表自己的见解与同伴进行合作交流，并让学生亲自实践，然后回到教室继续学习。
教师要为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验
3．注意直观操作与说理的结合，逐步培养学生有条理的思考和表达。
在探索图形性质的过程中，教师要有意识地培养学生有条理的思考、表达和交流，引导学生在活动中自觉地进行思考，自觉地用语言说明操作的过程，并尝试解释其中的理由，养成说理有据的习惯。
需要注意的是，教师不要苛求“说理”的统一格式，不应要求用形式化的语言代替学生的语言，而应让学生真正理解推理的过程。
同时，对于“说理”的学习，应循序渐进，注意控制难度。
例如，探索“三角形内角和为1800”。
学生很容易用以前的知识通过操作获得这个结论，这时教师应引导学生在操作中进行思考，能否利用平行线的有关事实说明这个结论，将直观和说理结合起来。
4．及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学生需要。
学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异．教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要．教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平．问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思维水平．例如，在图形的全等和设计图案的教学时，可进行课题学习。
组织学生搜集邮票、火花、窗花等，或教师从有关书籍、网络上选取适当的图案呈现给学生，并鼓励他们自己设计美丽的图案。
四、评价建议
1、注重学生对观察、操作、探索等过程的评价，包括学生在活动中积极参与的程度与解决问题能力的评价。
对活动过程的考察应当成为评价的首要方面。
对它们的评价可以从以下两个方面进行：
一是学生在具体活动中的参与程度以及与同伴之间交流的情况；二是学生在探索图形性质、有条理的进行思考和表达思考过程、提出独特想法等方面的表现。
本章有较多的让学生进行探索活动的内容，包括图案设计、折纸（折三角形的高线、中线和角平分线）、尺规作图、探索三角形全等条件等。
因此，应关注学生在这些活动中的表现情况。
例如，在探索三角形全等地条件时，我们首先要看学生是否能在教师的引导下，积极主动地安所给条件画出三角形，并与他人交流各自的结果，能否得到正确的结论，能否在条件由少到多的过程中探索出三角形全等的条件。
2、恰当评价学生的“说理”过程和水平。
考察学生对知识技能的理解时，除通常所用的提问、笔试、作业分析等方式外，也可以采取动手操作和语言表达相结合的方法。
如当考察学生对三角形中特殊线段（高、角平分线、中线）的理解时，不应让学生死记硬背这些概念，而可以让学生自己拿一个三角形纸片，画出或折出有关线段，再用自己的语言对所作的线段和制作的过程进行刻画。
又如P130做一做对学生来说有难度，可在课前布置预习，课堂上分组活动，每组可发给10张左右复印好的纸片，给学生充足的活动时间。
3、关注学生直观推理的同时也要关注学生的推理意识和能力。
本章对图形性质的探索，将直观操作和简单推理相结合。
因此评价时，也要关注学生“说理”的过程和水平。
例如，学生在利用尺规画出三角形后，教师要关注评价学生是否有意识地考虑作图步骤的合理性；能否想到运用三角形全等来说明作图的合理性；说明的过程是否正确、有条理等。
值得注意的是，在评价学生的“说理”过程和水平时，不应要求形式化的推理格式，应鼓励学生运用自己的方式说明理由，只要清楚、正确即可。
同时，要注意控制难度，应与教科书中的要求一致。
5．创设情境展示丰富多彩的几何世界，关注评价学生对知识技能的理解和应用的能力。
对知识技能的评价应重视学生的理解和在新情境中的应用。
例如，可以考察学生能否识别现实生活中大量存在的三角形；能否借助具体情境理解有关三角形的几何事实；能否利用三角形的有关事实，解释现实世界中的一些现象或解决一些实际问题；能否根据需要进行恰当的操作，并用自己的语言说明操作过程和理由。
第一节 认识三角形 （4课时）
[内容分析]三角形是学生熟悉的图形，本节以学生观察房子的屋架所包含的三角形出发，让学生体会用字母表示三角形的意义，认识三角形的基本要素（边。
角和顶点）及其表示法，进一步展开对三角形性质的讨论。
学生会在交流中感受到用字母表示三角形的必要性，教师还应鼓励学生用自己的语言概括出三角形的特点。
关于“三角形两边之和大于第三边”的结论的获得，教材安排了一个情景，通过让学生思考所提出的问题，可以引导学生通过测量，并引导学生用“两点之间线段最短”的结论。
这样就将直观操作与简单推理结合在一起。
提醒学生“任意”两字的含义。
对于“三角形任意两边之差小于第三边”的性质，只需通过测量得到结论即可。
例一是用了反证法的思想推出矛盾，教学时，只须渗透这种思想，而不必提“反证法”的词语。
关于“三角形内角和等于180度”的问题，在小学已经通过撕、拼的方法得到结论。
此处要求将操作与推理相结合，使学生经历一下三个过程：
完全的操作――操作与说理结合――证明。
教师不苛求“说理”的统一格式，不能要求学生用格式化的语言来代替学生的语言，而重点是让学生真正理解说理的过程。
对于说理的学习要循序渐进，控制难度。
三角形的中线、高和角平分线，是三角形中的特殊线段，教学中要充分的活动、思考和交流。
本节主要研究三角形的有关概念和基本性质。
在基本概念和基础知识方面，主要包括三角形的概念及有关元素；三角形中三边之间的关系及三角形的内角和等基本性质；按角的大小对三角形进行分类和三角形的角平分线、中线及高线及其画法。
本节主要教学目标：
1、通过观察、操作、想像、推理、交流等，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力。
2、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三条边、三个角之间的关系，会按角的大小将三角形分类。
3、了解三角形的内角平分线、高线、中线，并能在具体的三角形中作出它们。
第一课时认识三角形
（1）
[教学目标] 1、认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。
2、经历度量三角形边长的实践活动，理解三角形三边不等的关系。
3、懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，并能用于解决有关的问题。
4、帮助学生树立几何知识源于客观实际、用于实际的观念，激发学生学习的兴趣。
[重点] 对三角形概念的了解，能用符号语言表示三角形，理解三角形三边的不等关系。
[难点] 在具体图形中不重复、不遗漏的识别出所有所有的三角形；利用三角形三边的不等关系判断三条线段是否能构成一个三角形.
[教学建议]
1、教学中可以从日常生活和生产实践中的实际例子引入三角形概念，关于三角形及有关概念主要是要弄清它们的含义，对三角形的定义中“不在同一直线上”的条件作出合理的解释，如图，
线段AC，CB，BA虽然首尾顺次连结，但由于它们同在一直线上，不能组成三角形。
2、利用学生已有的三角形知识和生活经验，在交流中学会用符号语言表述。
用符号Δ表示三角形时,Δ这一符号常会漏写,教学中应予强调.
3.要使学生能从若干个三角形相邻或重叠的图形中,熟练地找出三角形及有关元素,进行一定量的练习是必要的,习题5.1的1.可以穿插在教学过程中.
4.在探索三角形三边关系时，可以发给各小组长短不同的三根木棒，让学生在实验中进行思考，能拼成三角形的小组与不能拼的小组进行交流，通过数据的整理得到三角形三条边的关系。
这里要强调的是任何两字及意义.
第二课时认识三角形
（2）
[教学目标] 1、经历实验活动的过程，得出三角形内角和定理。
2、能从三角形内角和定理中探索出直角三角形两锐角互余的性质。
3、能应用三角形内角和定理来解决一些简单的求三角形内角和问题。
4、会按角的大小关系对三角形分类；能从所给出的已知角中，判断出三角形的形状。
[重点]1、三角形内角和与直角三角形两锐角互余得性质
2、 按角的大小关系对三角形分类
[难点] 由已知条件去判断出三角形的形状。
[教学建议]
1．本课时中，由于小学已经学过三角形的内角和等于
所以可以让学生通过把分散在同一个三角形的三个内角拼成有公共顶点的角而构成一个平角的实践过程中探索出三角形这一性质。
并要求学生对这种操作进行思考：
能否用平行线的有关性质说明这个结论，为以后证明此性质积累经验。
P120的“做一做”可以让学生思考图形还能怎样拼，仍旧能得出三角形的内角和是180度。
目的是在原有感性认识的基础是，通过只撕下一个角，然后利用前面学过的平行线的结论，得出三角形的内角和，因此可以说是将直观操作与说理结合起来，注意只要求口头说明理由，不要求书面的证明。
2．过游戏方式探索按角进行分类，教师应注意学生在活动过程中思考，鼓励学生有条理表达自己的思考过程，当露出一个角是直角、钝角、锐角时，引导学生尝试着另两个角的可能情况列出来，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，从而让学生再下定义，再做结论。
这里让学生逐步了解分类的思想方法。
3．在学生了解了直角三角形的概念后，要引导学生从三角形内角和的定理中去发现直角三角形两内角互余的性质。
4．本节注意数形结合思想在解题中应用。
第三课时认识三角形（3）
[教学目标] 1、经历折纸、画图等实践活动，认识三角形的中线和角平分线。
2、会画出任意三角形的角平分线和中线。
通过画图了解三角形三条角平分线、三条中线会交于一点。
[重点] 了解三角形的角平分线，中线的概念，会画出三角形的角平分线、中线。
[难点]理解三角形的三条角平分线、中线交于一点。
[教学建议]
1．本节主要是学习三角形的角平分线和中线概念。
要让学生从观察、思考、动手做中，积累足够的感性认识后，再下定义，再做结论。
因此，课前应充分准备好三角形材料，让学生充分地进行操作、思考和交流。
这里注意学生可以利用量角器、尺进行测量后画出三条角平分线、中线，也可以利用折纸方法得到它们。
教学中还应注意三角形角平分线与一般角平分线的区别，
2．教学中应使学生明确：
如果线段AD是ΔABC的角平分线，则AD是∠A的平分线，
∠BAD=∠CAD。
如果AD是ΔABC的中线，则D是BC的中点，BD=DC。
第四课时认识三角形（4）
[教学目标]
1、经历折纸和画图等实践过程，认识三角形的高。
2、会画出任意三角形的高。
通过画图了解三角形的三条高的位置随着三角形的形状不同而不同。
三角形三条高（或所在的直线）交于一点。
[重点] 本节课的重点是三角形高的概念，会画出一个三角形的三条高，了解三角形的三条高（或所在的直线）交于一点。
了解三角形的三条高的位置随着三角形的形状不同而不同。
[难点]钝角三角形高的画法及三角形三条高的位置关系与三角形的形状关系的理解。
[教学建议]
1．这里可以让学生先回忆过一点如何作一条直线的垂线，然后再引出三角形高的定义，画钝角三角形的高是个难点。
为了克服这个难点，教材先安排了作锐角三角形的三条高线，并观察它们的位置关系。
有了前面一节角平分线和中线的结论，通过类比的方法，学生比较容易接受这个结论，但教学时还是应让学生充分地画或折叠，并相互交流。
然后过渡到直角三角形和钝角三角形的三条高的认识和理解。
教学时应让学生很好地把握三角形高的定义，教师要设计好有关问题，引导学生得出结论，并提供一些变式图形供学生练习，对习题5.4中的第3题可作进一步的拓展。
[评价建议]
过程性：
关注学生参与操作、探索的积极性，关注学生通过观察与操作发现有关结论的过程及语言交流的能力。
知识性：
关注学生能否结合实例，掌握三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三个角、三条边之间的关系。
了解三角形的内角平分线、高、中线，并能在图中作出。
第二节图形的全等（1课时）
[内容分析]
生活中存在着大量的全等图形，本节一开始就给出两组图形，其中一组是实物图形，另一组是抽象的几何图形，目的是让学生通过观察或叠合，使学生对重合有一个感性的认识，为给出全等图形的一般概念做准备。
除教材给出的例子外，教师也可以再选择其他素材，丰富学生对全等图形的感性认识，为了使学生体会全等图形的特征，教材中给出两组图形，分别满足形状和大小相同，望教师能使学生进行比较和交流。
[教学目标]
1.借助具体情境和图案，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，了解图形全等的意义，了解全等图形的特征。
2.能从所给出的图形中识别出全等图形。
[重点]
了解全等与全等图形的特征。
[难点]
识别全等图形及通过实践活动得出全等图形。
[教学建议]
1.通过大量生活中的全等图形的观察，让学生思考，鼓励学生能用自己的语言表述全等图形的概念，并发现全等图形的特征。
2.在“做一做”中，应指导学生划分的两个图形应当重合（作为验证是否全等的方法）
通过数小正方形的个数可以知道划分出的小正方形的个数应当是6个。
3.学生在“做一做”中可能会得到各种不同的结果，应鼓励学生相互交流，充分表达自己发现的结果及对结果合理性的解释。
[评价建议]
过程性：
关注学生是否操作重叠图形等过程，并进行思考，能否将自己的发现与同伴进行交流，并从中获益。
知识性：
关注学生能否通过活动归纳出全等图形的概念和全等图形的性质。
第三节 图案设计（1课时）
[内容分析]
教材通过展示由全等的图形拼成的美丽图案，激发学生学习本节知识的欲望。
由感知图案到动手制作，使学生一步步获得图案设计的技能。
教材内容安排符合学生认知规律，层次分明。
注重学生动脑、动手能力的培养，使学生在思考、动手的过程中，完成学习任务。
这是一节很有意义并能够最大限度体现学生主动参与的课。
教师如能认真准备，一定会上得生动。
这也是学生比较感兴趣的课，对调动学生的学习兴趣很有帮助。
[教学目标]
1.经历对生活中全等图形拼成的图案进行观察、分析、欣赏等过程，感受几何构图的优美，增强审美的意识。
2.认识全等图形在现实生活中的应用，能利用全等图形进行一定的图案设计。
3、培养学生的创新精神，展示个性，体验成功。
[重点]
实际操作的能力与设计拼摆图案意识的养成。
[难点]
对设计出美丽图案的能力的培养。
[教学建议]
1、教师应多收集一些由全等图形拼成的美丽图案，以提高学生学习这一课的兴趣。
在组织学生欣赏这些图案时，最好让学生发现这些图案都是由全等图形拼成的，从而激发学生动手操作的欲望。
2、观察“议一议”两个图形图5－17和图5－18的形成过程，鼓励学生用自己的语言描述这一过程。
这两个图案都是从一个简单的图形出发，将其中一部分割掉补在相对的位置上，形成了一个与原来图形等面积的新图形，然后在新的图形上绘制出富有个性的图案，再将若干个这样的全等图案拼摆起来。
特别是图5－18，它是由两种图案拼成的，这两个图案仅有一点点不同，可以让学生观察它们的区别，以培养学生的观察能力。
在学生认真观察图案5－17和5－18的制作过程的基础上，鼓励学生做出这两个图案。
图5－18的制作是按六边形相对的两边分别割补而成的。
3、通过“做一做”让学生体验简单的图案设计。
根据教材中给的步骤做出一个箭头，并拼成一个美丽的图案。
学生在这一创造中体验成功的喜悦。
4、让学生选择一个简单的图形，如正方形、菱形，三角形等进行适当地割补，创造性的作一个新图形，并拼摆成一个美丽的图案。
发展学生个性，让学生利用已有的全等知识和尺规作图的技能，发挥学生的动手能力。
5、教学中要引导学生积极动手作图、及尝试设计图案，认真与同伴交流。
能欣赏他人的设计图案或自己利用全等图形进行简单设计。
培养学生合作精神。
第四节全等三角形（1课时）
[内容分析]
在学习了全等图形以后，学习全等图形的特殊图形——三角形。
教材首先安排了一个拼图的情景，给学生一个直观的体验，为学习全等三角形扫除了障碍。
通过全等三角形概念的介绍，结合实践得到“全等三角形的对应边相等，对应角相等”。
教材上力求学生通过实验操作来使学生获得对全等三角形的理解和认识。
在“议一议”中，给学生留有广阔的思维空间，对培养学生分析问题和解决问题的能力很有启发意义。
在“全等三角形的对应边相等，对应角相等”的应用上给予了足够的重视。
[教学目标]
1.感知全等三角形，体会生活中的实际例子；
2.掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能简单的推理和计算，解决一些实际问题。
[重点]
全等三角形的概念和性质。
[难点]
全等三角形对应元素的确定。
[教学建议]
1.给出生活中的例子。
如：
建筑工地上的脚手架是由许多三角形组成的；铁路钢桥上由许多三角形。
教师可展示一些三角形构件的图片，让学生直观的感知生活中的全等三角形；
2.在图5－19中，应多添加一些不等的三角形，然后让学生拿一个三角形进行比较，找到能够重合的一个来。
3．在学生直观认识全等三角形的基础上，给出全等三角形的概念。
并通过5-19的拼图情境，让学生感知全等三角形对应顶点、对应边、对应角等概念。
此时，教师要引导学生将对应顶点、对应边、对应角的观念搞清楚。
引导学生把对应元素的定义引出来，这对以后的学习有帮助。
注意：
在拼接三角形中，要区分三角形和三角形片的概念，有时学生会误认两个
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