离散数学第三版屈婉玲课后习题答案.docx
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离散数学第三版屈婉玲课后习题答案
离散数学习题答案
习题一及答案:
(P14-15)
14、将下列命题符号化:
(5)李辛与李末是兄弟
解:
设p:
李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p
(6)王强与刘威都学过法语
pq
解:
设p:
王强学过法语;q:
刘威学过法语;则命题符号化的结果是
(9)只有天下大雨,他才乘班车上班
qp
解:
设p:
天下大雨;q:
他乘班车上班;则命题符号化的结果是
(11)下雪路滑,他迟到了
解:
设p:
下雪;q:
路滑;r:
他迟到了;则命题符号化的结果是
(pq)r
15、设p:
2+3=5.
q:
大熊猫产在中国.
r:
太阳从西方升起.
求下列复合命题的真值:
(pqr)((pq)r)
(4)
解:
p=1,q=1,r=0,
(pqr)(110)1
,
((pq)r)((11)0)(00)1
(pqr)((pq)r)111
19、用真值表判断下列公式的类型:
(pp)q
(2)
解:
列出公式的真值表,如下所示:
ppq
q
(pp)(pp)q
001111
011010
100101
110001
由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值:
(4)
(pq)q
解:
因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:
p0
(pq)1
q0
q0
成真赋值有:
01,10,11。
所以公式的
习题二及答案:
(P38)
5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(2)
(pq)(qr)
解:
原式
(pq)qr(pp)qr
qr
,此即公式的主析取范式,
mm
(pqr)(pqr)
37
所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值:
(2)
(pq)(pr)
解:
原式,此即公式的主合取范式,
M
(ppr)(pqr)(pqr)
4
所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式:
(1)
(pq)r
解:
原式
pq(rr)((pp)(qq)r)
(pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)r(pqr
(pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pqr
,此即主析取范式。
mmmmm
13567
主析取范式中没出现的极小项为,,,所以主合取范式中含有三个极大项,,
MM
mmm
02
024
,故原式的主合取范式。
MMMM
4024
9、用真值表法求下面公式的主析取范式:
(1)
(pq)(pr)
解:
公式的真值表如下:
pppqpr
q
r
(pq)(pr)
0001000
0011011
0101101
0111111
1000101
1010101
1100101
1110101
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析
取范式,故主析取范式
mmmmmmm
1234567
习题三及答案:
(P52-54)
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提:
pq,qr,rs,p
结论:
s
证明:
①p前提引入
②前提引入
pq
③q①②析取三段论
④前提引入
qr
⑤r③④析取三段论
rs
⑥前提引入
⑦s⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理:
(2)前提:
(pq)(rs),(st)u
结论:
pu
证明:
用附加前提证明法。
①p附加前提引入
②①附加
pq
③前提引入
(pq)(rs)
rs
④②③假言推理
⑤s④化简
⑥⑤附加
st
⑦前提引入
(st)u
⑧u⑥⑦假言推理
故推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:
rs
(1)前提:
,,
pqrq
结论:
p
证明:
用归谬法
①p结论的否定引入
②前提引入
pq
③①②假言推理
q
④前提引入
rq
⑤③④析取三段论
r
rs
⑥前提引入
⑦r⑥化简
⑧⑤⑦合取
rr
由于,所以推理正确。
rr0
17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A就是谋杀嫌犯。
A曾到过受害者房间。
如果A在11点以前离开,看门人会看见他。
看门人没有看见他。
所以,A是谋杀嫌犯。
解:
设p:
A到过受害者房间,q:
A在11点以前离开,r:
A是谋杀嫌犯,s:
看门人看见
过A。
s
则前提:
,,,
pqs
(pq)r
结论:
r
证明:
①前提引入
qs
s
②前提引入
③①②拒取式
q
④前提引入
p
⑤③④合取引入
pq
⑥前提引入
(pq)r
⑦⑤⑥假言推理
r
习题四及答案:
(P65-67)
5、在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(2)有的火车比有的汽车快。
解:
设F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y快;则命题符号化的结果是:
xy(F(x)G(y)H(x,y))
(3)不存在比所有火车都快的汽车。
解:
方法一:
设F(x):
x是汽车,G(y):
y是火车,H(x,y):
x比y快;则命题符号化的结果是:
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
或
方法二:
设F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y快;则命题符号化的结果是:
x(G(x)y(F(y)H(x,y)))
xy(G(x)(F(y)H(x,y)))
或
9、给定解释I如下:
(a)个体域为实数集合R。
a0
(b)特定元素。
f(x,y)xy,x,yR
(c)函数。
F(x,y):
xy,G(x,y):
xy,x,yR
(d)谓词。
给出以下公式在I下的解释,并指出它们的真值:
xy(F(f(x,y),a)G(x,y))
(2)
xy(xy0xy)
解:
解释是:
,含义是:
对于任意的实数x,y,若x-y=0则x该公式在I解释下的真值为假。
14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式:
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
(1)
I
解:
取解释如下:
个体域为全总个体域,
F(x)H(x,y)
G(y)
:
x是兔子,:
y是乌龟,:
x比y跑得快,则该公式在解释I下真值是1;
''
II
H(x,y)
取解释如下:
:
x比y跑得慢,其它同上,则该公式在解释下真值是0;
故公式
(1)既不是永真式也不是矛盾式。
此题答案不唯一,只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。
习题五及答案:
(P79-81)
5、给定解释I如下:
(a)个体域D={3,4}
f(x):
f(3)4,f(4)3
(b)
F(x,y):
F(3,3)F(4,4)0,F(3,4)F(4,3)1
(c)
试求下列公式在I下的真值:
xyF(x,y)
(1)
解:
方法一:
先消去存在量词
xyF(x,y)x(F(x,3)F(x,4))
(F(3,3)F(3,4)F)((4F,3)
(01)(10)
1
15、在自然推理系统中,构造下面推理的证明:
N
(3)前提:
,
x(F(x)G(x))xG(x)
结论:
xF(x)
证明:
①前提引入
xG(x)
②①置换
xG(x)
③②UI规则
G(c)
④前提引入
x(F(x)G(x))
⑤④UI规则
F(c)G(c)
⑥③⑤析取三段论
F(c)
⑦⑥EG规则
xF(x)
*22、在自然推理系统中,构造下面推理的证明:
N
(2)凡大学生都是勤奋的。
王晓山不勤奋。
所以王晓山不是大学生。
解:
设F(x):
x为大学生,G(x):
x是勤奋的,c:
王晓山
则前提:
,
x(F(x)G(x))G(c)
结论:
F(c)
证明:
①前提引入
x(F(x)G(x))
②①UI规则
F(c)G(c)
③前提引入
G(c)
④②③拒取式
F(c)
25、在自然推理系统中,构造下面推理的证明:
N
每个科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。
王大海是科学工作者,并且是聪明的。
所以,王大海在他的事业中将获得成功。
(个体域为人
类集合)
解:
设F(x):
x是科学工作者,G(x):
x是刻苦钻研的,H(x):
x是聪明的,I(x):
x在他的事
业中获得成功,c:
王大海
则前提:
,,
x(F(x)G(x))x(G(x)H(x)I(x))F(c)H(c)
结论:
I(c)
证明:
①前提引入
F(c)H(c)
②①化简
F(c)
③①化简
H(c)
④前提引入
x(F(x)G(x))
⑤④UI规则
F(c)G(c)
⑥②⑤假言推理
G(c)
⑦③⑥合取引入
G(c)H(c)
⑧前提引入
x(G(x)H(x)I(x))
⑨⑧UI规则
G(c)H(c)I(c)
⑩⑦⑨假言推理
I(c)
习题六及答案(P99-100)
28、化简下述集合公式:
((AB)C)((AB)C)((AB)C)((AB)C)
(3)
((AB)C)((AB)C)((AB)C)((AB)C)
解:
(AB)(AB)
A
30、设A,B,C代表任意集合,试判断下面命题的真假。
如果为真,给出证明;如果为假,给
出反例。
(AB)AB
(6)
(AB)ABA
BAB
BA
,如果,则解:
该命题为假,,否则
BAB
BAB
,故为假。
(AB)A{3}B
A{1,2},B{1,3},
举反例如下:
则
。
ABACBC
(8)
ABAC
一定成立,解:
该命题为假,举反例如下:
如果B,C都是A的子集,则
B{1}
C{2}
1,2}A{
ABACA
BC
但不一定成立,例如:
,则
,,,
BC
但
。
33、证明集合恒等式:
A(BA)BA
(1)
A(BA)
证明:
(AB)(AA)
(AB)
BA
AB
习题七及答案:
(P132-135)
A1,2,3,4,5,6
26设,R为A上的关系,R的关系图如图7.13所示:
23
(1)求的集合表达式;
R,R
(2)求r(R),s(R),t(R)的集合表达式。
解:
(1)由R的关系图可得
R1,5,2,5,3,1,3,3,4,5
232
所以,,
RRR3,1,3,3,3,5RRR3,1,3,3,3,5
n
可得;
R3,1,3,3,3,5,当n>=2
(2),
r(R)=RI1,5,2,5,3,1,3,3,4,5,1,1,2,2,4,4,5,5,6,6
A
1
s(R)RR1,5,5,1,2,5,5,2,3,1,1,3,3,3,4,5,5,4
232
t(R)RRR...RR1,5,2,5,3,1,3,3,3,5,4,5
41、设A={1,2,3,4},R为
AA
a,b,c,dAA
上的二元关系,,
a,bRc,dabcd
(1)证明R为等价关系;
(2)求R导出的划分。
(1)只需证明R具有自反性、对称性和传递性即可,证明过程如下:
a,bAAa,bRa,b
abab
(a)任取,有,,所以R具有自反性;
a,b,c,dAAa,bRc,d
(b)任取,若,
c,dRa,b
abcdcdab
则有,,,所以R具有对称性;
a,b,c,d,e,fAAa,bRc,dc,dRe,f
(c)任取,若且,
cdefabefa,bRe,f
abcd
则有且,,,所以R具有传递性,
AA
综合(a)(b)(c)可知:
R为集合上的等价关系;
AA
(2)先求出集合的结果:
AA{1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4}
AA
再分别求集合各元素的等价类,结果如下:
[1,1]{1,1},
R
[1,2][2,1]{1,2,2,1},
RR
[1,3][2,2][3,1]{1,3,2,2,3,1},
RRR
[1,4][2,3][3,2][4,1]{1,4,2,3,3,2,4,1},
RRRR
[2,4][3,3][4,2]{2,4,3,3,4,2},
RRR
[3,4][4,3]{3,4,4,3},
RR
[4,4]{4,4}
。
R
A/RA/R
等价关系R导出的划分就是集合A关于R的商集,而集合A关于R的商集是由R的所有等
价类作为元素构成的集合,所以等价关系R导出的划分是:
{{1,1},{1,2,2,1},{1,3,2,2,3,1},{1,4,2,3,3,2,4,1},{2,4,3,3,4,2},{3,4,4,3},{4,4}}
A,R
46、分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。
(1)
Ra,d,a,c,a,b,a,e,b,e,c,e,d,eI
A
解:
哈斯图如下:
e
bcd
f
a
A的极大元为e、f,极小元为a、f;
A的最大元和最小元都不存在。
A1,2,3,4
*22、给定,A上的关系,试
R1,3,1,4,2,3,2,4,3,4
(1)画出R的关系图;
(2)说明R的性质。
解:
(1)
12
●●
●●
34
(2)R的关系图中每个顶点都没有自环,所以R是反自反的,不是自反的;
R的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边,故R是反对称的,不是对
称的;
R的关系图中没有发生顶点x到顶点y有边、顶点y到顶点z有边,但顶点x
到顶点z没有边的情况,故R是传递的。
A,R和B,S
*48、设为偏序集,在集合上定义关系T如下:
AB
a,b,a,bAB,
1122
a,bTa,baRabSb
11221212
证明T为上的偏序关系。
AB
证明:
(1)自反性:
任取a,bAB,则:
11
R为偏序关系,具有自反性,aRa
11
S为偏序关系,具有自反性,bSb
11
aRabSb
1111
又a,bTa,baRabSb,
11221212
a,bTa,b,故T具有自反性
1111
(2)反对称性:
任取a,b,a,bAB,若a,bTa,b且a,bTa,b,则有:
112211222211
aRabSb
(1)
1212
aRabSb
(2)
2121
aRaaRa,又R为偏序关系,具有反对称性,所以aa
122112
bSbbSb,又S为偏序关系,具有反对称性,所以bb
122112
a,ba,b,故T具有反对称性
1122
(3)传递性:
任取a,b,a,b,a,bAB,若a,bTa,b且a,bTa,b,则有:
11223311222233
a,bTa,baRabSb
11221212
a,bTa,baRabSb
22332323
aRaaRa,又R为偏序关系,具有传递性,所以aRa
122313
bSbbSb,又S为偏序关系,具有传递性,所以bSb
122313
aRabSba,bTa,b,故T具有传递性。
13131133
综合
(1)
(2)(3)知T具有自反性、反对称性和传递性,故T为上的偏序关系。
AB
习题九及答案:
(P179-180)
8、
S=QQ,Q为有理数集,为S上的二元运算,a,b,x,yS有
a,bx,yax,ay+b
(1)
运算在S上是否可交换、可结合?
是否为幂等的?
(2)。
运算是否有单位元、零元?
如果有,请指出,并求出S中所有可逆元素的逆元
解:
(1)
x,ya,bxa,xb+y
ax,bx+ya,bx,y
运算不具有交换律
x,ya,bc,d
ax,bx+yc,d
acx,adx+bx+y
而x,ya,bc,d
x,y*ac,ad+b
xac,xad+xb+yacx,adx+bx+y
x,ya,bc,d
运算有结合律
任取a,bs,则有:
2
a,ba,ba,abba,b
运算无幂等律
(2)
令a,b*x,ya,b对a,bs均成立
则有:
ax,ay+ba,b对a,bs均成立
axa
ax10
对a,b成立
aybb
ay0
x10x1
必定有
y0y0
运算的右单位元为1,0,可验证1,0也为运算的左单位元,
运算的单位元为1,0
令a,b*x,yx,y,若存在x,y使得对a,bs上述等式均成立,
则存在零元,否则不存在零元。
由a,b*x,yx,y
ax,ay+bx,y
a1x0
axx
a1y+b0
ayby
由于a1y+b0不可能对a,bs均成立,
故a,b*x,yx,y不可能对a,bs均成立,故不存在零元;
设元素a,b的逆元为x,y,则令a,b*x,ye1,0
1
x
ax1
a
(当a0)
ayb0b
y
a
当a0时,a,b的逆元不存在;
1b
当a0时,a,b的逆元是,
aa
11、
设S12,,...,10,问下面的运算能否与S构成代数系统S,?
如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律,并求运算的单位元和零元。
(3);
xy=大于等于x和y的最小整数
解:
(3)由*运算的定义可知:
,
xy=max(x,y)
x,yS,有xyS,故运算在S上满足封闭性,所以运算与非空集合S能构成代数系统;
任取x,yS,有xy=max(x,y)=max(y,x)=yx,所以运算满足交换律;
任取x,y,zS,有(xy)z=max(max(x,y),z)=max(x,y,z)=max(x,max(y,z))=x(yz),所以运算满足结合律;
任取xS,有x1=max(x,1)=x=max(1,x)=1x,所以运算的单位元是1;
任取xS,有x10=max(x,10)=10=max(10,x)=10x,所以运算的零元是1