商品房还贷方案设计.docx
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商品房还贷方案设计
商品房还贷方案设计
1、问题重述
近些年来，我国商品房销售火爆。
由于升值潜力大，不少人愿意投资于房产。
但是，高位的房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。
然后，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额。
注意：
向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3年.…等。
第一问：
2007年9月1号，武汉市某高校教师王先生到武汉某商品房去看房，销售小姐向他推荐等额本息还款方式，并给他一个银行还贷明细表。
这个明细表给出了若向银行借了1万元钱、不同年限的等额房贷还款额。
王先生不知还款公式怎样写，请你给出等额本息房贷还款公式，帮王先生解惑。
如果向银行借1万元，借10年。
请详细计算逐月还完1万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被银行拿走的利息钱。
资料：
等额房贷
特点：
住房商业贷款中最基础、最普遍的品种。
顾名思义，等额房贷即“每个月所偿还的金额相同”，直到付清所有的本金和利息；适合人群：
等额房贷比较适合收入稳定的工薪阶层。
表1借银行1万元为例每月等额房贷还款明细表
年限
实际还款年利率%
月利率%
月还款（元）
1
2
3
4
5
10
15
20
第二问：
王先生看中了一套135m2、单价为3230/m2的房子，准备9月10号前成交。
他们家每月收入5600元，每月家庭开销在1500-3000元之间服从均匀分布，每年还有3万元的年终奖金。
这时候王先生手头有15万元的可支配的现金，现在请你建立一套详细的购房与商贷快速计算还贷数学模型，并为王先生设计还贷方案而且要指出每月的家庭开销上限（注：
首付不得低于20%）。
第三问：
但事情有变：
2008年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥A此时在本地购买了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%，但外甥A手头只有可支配现金5万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分布。
她来向王先生借钱买房，王先生很为难，但此时，聪明的王夫人给出了一套新方案，使两家人购房均欢欣鼓舞，你能给出这个新方案吗
第四问：
但这事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了，均想加入这一方案，并准备在3月份都购买房子，他们购买房子的总价以及他们的经济情况见表2。
那么，王夫人怎样设计这7套房子的购房还贷及每个家庭的每月开销上限呢请你帮她拿出详细的方案。
即每套房子向银行贷款多少年、多少钱、是否提前还款及还款多少、总共向银行交了多少利息钱、这种方案总共节约了多少钱等等。
表1：
借银行1万元为例每月等额房贷还款明细表
购买房子的
总价
手头可支配的现金
每月开销（均匀分布）
每月家庭
总收入
首付最低比例
年终奖
外甥B
35万
15万
1500-2000元
5000元
30%
2万元
外甥C
30万
20万
1200-1800元
4000元
30%
0万元
外甥D
15万
10万
1000-1500元
3500元
40%
3万元
外甥E
25万
8万
1200-1500元
4500元
30%
0万元
外甥F
20万
9万
800-1200元
3000元
40%
5万元
第五问：
王先生拿到方案后，觉得应该多向银行借钱，想把尽量多的钱拿出来投资三个项目，但遭到其他人的反对，你支持王先生的观点吗请说明理由。
如果你支持王先生的观点，问最多可拿多少钱投资这三个项目，各投资多少
表3三种项目（甲、乙、丙）12年中后一年相对于前一年资产每年的增长情况
年份
项目甲
项目乙
项目丙
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
注：
例如1996年项目甲的意思是：
1996年项目甲的最后资产是1995年最后资产的倍，其他类推。
2、基本假设
1、王先生及其外甥都是风险厌恶者；
2、王先生的所有闲置资金全部用于投资该房，不做其他投资;
3、银行年利率及月利率保持不变；
4、不考虑货币的时间价值，在此只考虑支付利息最小即为最优解。
5、提前还贷不需要交纳违约金;
6、所有人都能够如愿的买到自己所要的房子;
7、每个人更加趋向于追求整体利益的最大化，而不是个人利益最大化;
3、模型符号说明
符号
符号说明
W
t
x
a
b
c
d1d2
e
f
K
L
X’
E（R）
X（i）
σ（R）
Cov（r（i）,r（j））
总共向银行借款数额
贷款期数（一年12期，t为12的整数倍）
每月向银行还款的数额
月收入
贷款月利率
房屋总金额
家庭月消费的上下界
持有的现金
首付金额占房屋总金额百分比
第n个月时还欠银行的本金
提前还款数额
提前还款后每月还款数额
预期收益
第i种项目投资权重
投资风险
第i种投资与第j种投资之间的关联程度
4、模型描述:
还贷模型：
Min=W*b*（1+b）^t/[（1+b）^t-1]*t-W
:
X<=a+（w+e-c）/12-d1
X>=a+（w+e-c）/12-d2
W<=c*（1-f）
W的下限可以根据题目的条件给定或不给定，默认为0
提前还贷模型:
第n个月提前还款还剩余本金：
K=W（1+b）^n–X[（1+b）^n-1]/b
提前还款L后每月还款：
X’=（K-L）*b*（1+b）^t/[（1+b）^t-1]
总少付利息=（X-X’）*（t-n）-L
有效投资组合模型：
（X-（W*（1+b）^n–X*（1+b）^n-1）*b-L）*b*（1+b）^t/（1+b）^t-1）*（t-n）-L
MaxE（R）=∑X（i）*E（r）
σ（R）=[∑∑x（i）x（j）Cov（r（i）,r（j））]^=常数
∑x（i）=1
其他约束
预测模型:
通过对以知一定量数据进行分析，建立拟合函数，通过拟合函数来预测未来某一年的数据值,
5、模型的建立和求解:
5．1第一问:
设贷款总额为W，银行月利率为b，总期数为t（个月），月还款额设为X，则各个月所欠银行贷款为：
第一个月W
第二个月W（1＋b）-X
第三个月（W（1＋b）-X）（1＋b）-X＝W（1＋b）^2-X[1+（1+b）]
…
由此可得第n个月后所欠银行贷款为
W（1+b）^n–X[1+（1+b）+（1+b）^2+…+（1+b）^（n-1）]=W（1+b）^n–X[（1+b）^n-1]/b
（1）
由于还款总期数为t，也即第t月刚好还完银行所有贷款，因此有
W（1+b）^t–X[（1+b）^t-1]/b=0
由此求得
X=W*b*（1+b）^t/[（1+b）^t-1]（*）
例如：
向银行借10000元，借10年，月利率为%,一年算作12期.
则有（*）带入计算得每月向银行还款：
X=10000*%*（1+%）^120/[（1+%）^120-1]
计算得：
X=（元）
总共向银行还款120*=103008（元）
总共支付利息3008（元）
由上述公式
（1）知逐月被拿走的利息不等：
{W（1+b）^n–X[（1+b）^n-1]/b}b
5、2第二问:
在合理假设下我们在对此问题进行模型建立：
根据提供信息我们可以算出购买该房需要支付135*3232=436050元。
假设王先生向银行贷款w元：
目标函数既是：
Min=W*b*（1+b）^t/[（1+b）^t-1]*t-W
可以知道影响该函数取值的变量有贷款数额，以及还贷的期数（贷款越多,利息越多，期数越多，利息也越多，我们只需考虑它们互相博奕下利息支付最少）
根据首付不得低于20%的规定，我们可以确定贷款上限为436050*（1-20%）=348840
由于王先生每年有年终奖金30000元，为了使第一年跟以后每年情况相同便于讨论，因此我们将其手头上的150000元看成：
150000=30000+120000
其中30000一部分用于首付，一部分用于还月贷,这样就又得到了一个贷款上限使得可以找出使得支付的利息的最小值
由此我们可以得出贷款的范围286050〈=W〈=316050
由于每月家庭开销是1500-3000之间的均匀分布，得到约束条件:
5600+（w+）/12-3000<=X<=5600+（w+）/12-1500
有题已知t取｛１，２，３，４，５，１０，１５，２０｝
由于利率的分段，我们将问题进行分段讨论：
（1）而且当t={1,2,3,4,5}时，b=;
所以可得最优解：
t=54,由于t只能是12的整数倍，可对t=48和t=60分别进行验证t=48时x=w=min=
此时月收入低于最低限制，所以舍去
t=60时x=w=min=
（2）t={10,15,20}时，b=;
所以可得最优解：
t=120,此时共向银行借款x=min=
此时家庭开销上限既为
综上可知应当选择第二个方案：
向银行提出5年期贷款元，此时则需要将家庭开支控制在1500.
（程序段见附录1）
5、3第三问：
2008年3月1日有20万无息款项，此时还欠银行的金额为：
*（1+^6–*[（1+^6-1]/
=
1、若此时王先生将20万元全部用于提前还贷，则每月应还款为：
X’=**（1+^54）/（（1+^54-1）=
这时王先生少付利息：
（）*54-200000=
在王先生的外甥A不向他借钱的情况下则他会因为无法支付首付的40%而无法购房；
2、当他仅向王先生借款30000元使得能够支付首付时，这时他必须向银行贷款120000元，这时王先生少付利息=*54-170000=
（x2=
套用第二问中的还贷模型求解外甥A的还贷方案为:
向银行申请120000元的10年期贷款，每月还贷款元，无须限制家庭开销，但是总共向银行支付利息*120-120000=元
则考虑王先生和其外甥一共支付利息为（）+=
3、现在我们考虑当王先生借给外甥AZ元时的情况（30000<=z<=170000其中3万是年终奖金，在第二问中知被安排于还月贷）：
Min=（W*（1+b）^t–X*（（1+b）^t-1）/b）*t-W-（*54-（200000-z））
X2=（200000-z））**（1+^54）/（（1+^54-1）
外甥A向银行提出期限为t月（t为12的整数倍）贷款W元
w>200000-（z+50000）;
X<=3500+（z+w+50000-200000）/t-1500;
X>=3500+（z+w+50000-200000）/t-2000;
X=W*b*（1+b）^t/（（1+b）^t-1）;
Z∈[30000,170000]
所以得出一个能够使得两家都能够欢欣鼓舞的方案为：
王先生借给外甥A元剩余的200000-=95352用于提前还贷,他总共少支付的利息为12522元
其外甥A在借到王先生的元后再向银行提出2年期贷款，每月向银行还款2000元，则需要外甥A将家庭开销控制在1500元.他向银行支付的利息为（2000*=
则王先生和其外甥A总共少支付利息为=元
相对于上诉情况，王先生和其外甥都能从这个方案中获得一定的利益
（程序见附录2）
5、4第四问:
考虑到整体利益的最大，因此我们可以将外甥看作一个整体套用上一问中建好的模型求解即可，我们对表格进行分析就可以得到外甥总体的情况：
房子
总价
可支配的现金
每月开销
每月家庭
总收入
首付金额
年终奖
外甥整体
145万
67万
7000-10000元
23500元
49万
10万元
现在我们考虑当王先生借给外甥Z元时的情况（0<=z<=170000其中3万是年终奖金，在第二问中知被安排于还月贷）：
Min=（W*（1+b）^t–X*（（1+b）^t-1）/b）*t-W-（*54-（200000-z））
X2=（200000-z））**（1+^54）/（（1+^54-1）
外甥向银行提出期限为t月（t为12的整数倍）贷款W元
w>1490000-（z+670000）;
X=W*b*（1+b）^t/（（1+b）^t-1）;
0<=z<=170000;
880000<=w<=960000）;t是12的整数倍
（程序见附件）B
VariableValueReducedCost
B
W
T
X
X2
Z
N
得到的方案是：
他们一起向银行提出960000元的5年期贷款，每月向银行还贷元，王先生则将20万元全部用于提前还款使得以后每个月还款数额为元
下面给出外甥合理的还贷方案：
六个外甥每人均将家庭月开销控制在最小值7000
首付金额元，则从第二年开始，每年新流入100000元用来提前还款
第一年六个外甥均将自己的家庭开销控制在最小7000元，同时将670000里面提取元用于弥补每月不足支付的月贷，将剩余的用于首付，则在第二年开始每月的奖金100000全部用于提前还款，从第二年开始六个外甥不再需要控制月开销了
5、5第五问：
按照王先生的提议应该尽量多的向银行贷款拿出来投资下面三个项目，我们可以知道，在第四问已知的贷款方式下每多向银行贷款10000元，则多向银行付出的利息可以计算出来.。
已知他们初定的贷款方案是向银行提出5年期贷款，则他们每多贷款10000元，则每个月要多向银行支付元，相应的总共多支付利息为：
*60-10000=1463
所以我们只要比较将这10000元用于投资项目赚取的利益是否大于1463元即可。
这里我们采用两种方法对是否进行该项投资进行决策比较：
一、我们通过对以往几年数据的分析，使用每个项目的均值来表示他的增长率，以求得预期的最大收益
首先我们将表中数据加以处理：
（程序见附件4）
项目
数据个数预期增长风险MinimumMaximum
甲
乙
丙
12
12
12
为了便于对给出的方案进行风险性分析我们给出三组数据间的相关系数：
项目
甲乙丙
甲
乙
丙
则我们可以建立这样的模型求解:
（程序见附件5）
MaxE（R）=∑X（i）*E（r）
σ（R）=[∑∑x（i）x（j）Cov（r（i）,r（j））]^=常数
∑x（i）=1
其他约束
在对以往数据进行分析时即使承受较大风险以期望获得最高利益从而赚取收益差价的情况下最大能收获差价*463>0
现在只用考虑王先生所能够承担的风险程度决定一个投资组合即可:
例如：
假设王先生能够承受的风险为（即σ（R）=）:
他通过对甲乙丙的投资组合购买甲%，乙%丙%可以获得
的增长率，这样他每10000元就可以赚取的利润为2050-1463=587元
二、以上是通过对历史数据均值做出的预期投资，我们将他与用曲线拟合作出的预期投资作比较看是否一致：
首先我们描出各投资项目年增长变化图:
通过图形的观察我们建立三个函数来模拟：
再通过分析比较选出其中拟合程度高的来预测下一年的增长率预测：
对于预测年增长率我们同样做定风险最大收益分析可以得到该种情况下获益情况：
6、模型的改进与政策建议:
关于快速还贷款模型：
这个模型能够很好的建立出支付利息最少的借贷方法，但是本例模型忽略了家庭每月开销的影响，将月开销控制在了最低。
及对实际问题的有效分析，将一个难以讨论的多变量的模型通过忽略，分段讨论等方式大量的减少了变量的数目，例如将离散的月贷利率分段讨论从而消去了利率影响。
6.2关于有效组合模型：
本模型很好的衡量了不同风险忍受程度下的最大收益问题，
6.3关于预测模型建议及改进:
对于预测模型本文用的是非线性回归预测，这种模型预测结果对于拟合的函数接近程度关系非常大.对与此种预测还可以采用灰色系统、神经网络等预测方法进行预测.灰色系统对于少数数据预测短期变化拟合程度非常好.
附录：
附件1：
当b=:
Model1:
min=W*b*（1+b）^t/（（1+b）^t-1）*t-W;
b=;
X<=5600+（w+）/12-1500;
X>=5600+（w+）/12-3000;
X=W*b*（1+b）^t/（（1+b）^t-1）;
@bnd（286050,w,316050）;@bnd（12,t,60）;
当b=:
Model2:
model:
min=W*b*（1+b）^t/（（1+b）^t-1）*t-W;
b=;
X<=5600+（w+）/12-1500;
X>=5600+（w+）/12-3000;
X=W*b*（1+b）^t/（（1+b）^t-1）;
@bnd（286050,w,316050）;@bnd（120,t,240）;
附件2：
model:
min=x*t-w-（（*54）-（200000-z））;
b=;
X2=（200000-z））**（1+^54）/（（1+^54-1）;
w>200000-（z+50000）;
X<=3500+（z+w+50000-200000）/t-1500;
X>=3500+（z+w+50000-200000）/t-2000;
X=W*b*（1+b）^t/（（1+b）^t-1）;
n=t/12;
@bnd（30000,z,170000）;@gin（n）;@bnd（1,n,5）;
model:
min=x*t-w-（*54）-（200000-z）;
b=;
X2=（200000-z））**（1+^54）/（（1+^54-1）;
w>200000-（z+50000）;
X<=3500+（z+w+50000-200000）/t-1500;
X>=3500+（z+w+50000-200000）/t-2000;
X=W*b*（1+b）^t/（（1+b）^t-1）;
n=t/12;
@bnd（30000,z,170000）;@gin（n）;@bnd（10,n,20）;
附件3：
model:
b=;
Min=（W*（1+b）^t-X*（（1+b）^t-1）/b）*t-W-（*54-（200000-z））;
X2=（200000-z））**（1+^54）/（（1+^54-1）;
w>1490000-（z+670000）;
X=W*b*（1+b）^t/（（1+b）^t-1）;
n=t/12;
@bnd（30000,z,170000）;
@bnd（880000,w,960000）;@gin（t）;@bnd（1,n,5）;
附件4
dataa;
inputabc@@;
cards;
;
procCORRdata=A;
run;
附件5：
给定风险下的预期收益最大化
model:
sets:
dem/1,2,3/:
x,e,o;
corr（dem,dem）:
cor;
endsets
data:
o=;
e=;
cor=
;
enddata
max=@sum（dem（i）:
e（i）*x（i））;
@sum（corr（i,j）:
x（i）*o（i）*cor（i,j）*o（j）*x（j））<常数（能够忍受的风险大小）;
@sum（dem（i）:
x（i））=1;
附件3:
曲线拟合
x=[199619971998199920002001200220032004200520062007]';
y=[]';
plot（x,y,'o'）;[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,[ones（12,1）,x,x.^2]）
参考文献
[1]《数学软件与数学实验》汪晓银邹庭荣华中农业大学教务处印
[2]《数学实验指导书》刘承平华中农业大学教务处印
[3]《证券投资学》胡昌生熊和平蔡基栋武汉大学出版社
[4]《数学建模方法》刘承平高等教育出版社
[5]肖申提前还款怎样少还利息如何贷款购房最划算
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