24函数的零点的教学设计.docx

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24函数的零点的教学设计

2.4函数的零点

【学情分析】

本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．

初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．如果带着这样的疑问学习，必然会激发其求知欲，从而提高学习的效率．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。

而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。

【学习内容分析】

本节课是在学生学习了《一次函数和二次函数》的基础上，学习函数与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念及存在个数问题，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求函数零点的近似值》做准备．

本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、探究函数零点存在性。

函数零点是研究当函数

的值为零时，相应的自变量

的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与

轴的交点横坐标。

由于函数

的值为零亦即

，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程

有解，则函数

存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与

轴的交点横坐标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。

这是函数与方程关系认识的第一步。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。

如果函数

在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，并且满足f（a）·f（b）<0，则函数

在区间（a,b）内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还体现了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。

【课程目标】

一.知识与技能目标

通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，

二.过程与方法目标

体现从特殊到一般的认识规律,通过合作探究理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断．培养学生观察、思考、分析、猜想，验证的能力,体现数型结合的思想。

三.情感、态度和价值观目标

在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神.

【教学重点和难点】

一.教学重点

1.了解函数零点的概念

2．准确掌握函数零点与相应方程的根的关系

3．了解函数零点的个数及存在性原理

二．教学难点

1．了解函数与方程的根关系的应用。

2．探究函数零点的个数及存在性原理

【教学方法】

以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。

【教学过程】

一、课前延伸

1、知识链接，温故知新

求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象

通过学生熟悉一元二次方程入手，让学生建立数型结合的思想。

观察函数图像与x轴的交点与相应方程根的关系。

2、情景导引，体验概念

探究一元二次方程

的根与相应二次函数

图象与x轴交点的关系？

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函数的图像

图像与x轴交点个数

方程根的个数

说明：

通过完成以上两个题目,让学生从具体到一般函数图像与x轴交点与相应方程根的关系。

这一环节是为学生课内探究学习作好铺垫，使用方法是课前发下去，学生自己解答，上课后教师根据学生的反馈情况给予讲解。

3、自主学习，了解概念

自学课本第70页，通过二次函数

的图像与x轴的交点与相应方程根的关系了解函数的零点的概念。

4、收集问题，把握学情

通过预习，引导学生通过自学，找出那些问题已经掌握，那些问题还有疑惑，有待教师解答。

教师通过收集学生的预习学案，批阅之后发现学生存在的问题，以便准确的把握学情，作为课堂教学的重要依据。

二、课内探究

1、创设情境，导入新课

实际问题情境：

在体育测试时，高一的一名男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最

高处B点的坐标为（6，5）

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）该男同学把铅球推出去多远？

说明：

学生经过思考，得到结论：

要求二次函数与x

轴的交点坐标，只要令y=0,解出相应方程的根即可。

2、合作探究，形成概念

问题1：

课本第70页，通过画二次函数

的图像,了解当y=0,y>0,y<0相应x的取值，初步了解函数零点的概念。

问题2：

通过预习案中二次函数图像表格中，让学生说出对应二次函数零点。

进一步了解零点概念。

小组合作探究,由学生回答做法，教师作一下点拨,结合二次函数的图像,推广到一般函数零点的定义：

一般的，如果函数y=f（x）在实数α处的值等于零，即f（α）=0,则α叫做这个函数的零点。

在坐标系中表示图像与x轴的公共点（α,0）点。

3、点拨指导，理解概念

通过对以上函数的零点的求解，可以得到结论：

函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0实数根，亦即函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．函数零点的个数即相应方程实数根的个数，也就是函数图像与x轴的交点个数。

它们之间存在以下关系：

有了上述的等价关系，我们就可用函数的观点看待方程，方程

的根即函数

的零点，可以把解方程的问题互化为思考函数图象与x轴的交点问题。

这正是函数与方程思想的基础。

问题3：

观察右面一段函数图象思考下列问题：

①零点是一个点的坐标吗？

②任意函数都有零点吗？

③如何求函数的零点？

④通过观察二次函数的图像，函数零点附近函数值是否发生了变化？

⑤函数零点有那些性质?

说明：

通过对以上问题的思考与探究，让学生了解函数零点的概念及性质，但要注意图像在经过零点时，有时穿过x轴，有时不穿过。

教师要及时给于总结。

点明二重零点的定义。

教材仅作了解，不深处研究，但它们都是相应方程的根。

4、典例剖析，应用概念

问题4：

求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。

①

②

③

④

说明：

求函数零点，体现函数与方程互相转化的思想。

求②的零点时，学生在解方程时发现有两个相等的根，那对于函数的零点是一个是两个那？

学生出现疑惑。

这是教师要声音洪亮，中速提出：

“方程的根与函数零点个数是相同的。

大家看前面二次函数的图像表格中间一列。

”对于三次方程的求法，要注意能否因式分解。

可以利用计算器或计算机准确地作出其图象，理解函数零点的概念。

也可以通过画简图，了解图像的变化形式。

要注意体现零点性质的应用。

为以后学习高次不等式穿根法奠定基础。

5、变式拓展，深化概念

问题5：

一元二次方程

有没有实根?

学生小组合作探讨，3分钟后举手抢答。

说明:

通过小组合作探究，体现集体的智慧。

对回答积极的小组及时表扬鼓励。

对本节课重要知识点---函数零点概念与相应方程根的关系进行更深层的理解。

体现“数型结合”,“函数与方程”思想.

问题6：

如图，请观察，这是某地在12月份

几天内的一张气温变化模拟函数图（即一个

连续函数图象），由于图象中有一段被墨水

污染了，现在有人想了解一下在4日到8日之间可能有几个时刻温度会达到0摄氏度，你能帮助他吗？

（1）在4日——8日（区间[4，8]）之间温度会不会达到0摄氏度呢？

为什么？

（2）图中，区间（4，8）内肯定会有零点，那么会有几个零点呢？

在什么条件下有且只有一个呢？

思考:

若一个函数图像在区间[a，b]上是连续的，在什么情况下，图像在区间（a，b）内肯定与x轴有交点呢？

让学生自己任意画几个函数图象验证自己的猜想.小组讨论后，派代表发言得到的结论，教师整理后得到函数零点的存在性定理：

如果函数

在区间

上的图像是不间断的一条曲线，并且有在它的两端点处的函数值异号，即

，那么函数

在区间

内有零点，即存在

使得

这个c也就是方程

的根。

教师给出这个定理，课后学生还需多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用。

6、自主整理，归纳总结

说明:

这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理，为后面的函数零点的应用奠定基础.

7、当堂检测，诊断反馈

（1）已知函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？

x

-2

-1

0

1

2

f（x）

-1

1

-1

1

-1

（2）判断下列命题的真假：

①只要函数与x轴相交，则相应方程一定有实数根。

（）

②只要方程有实数根，则相对应的函数一定与x轴相交。

且根的个数与交点个数相同。

（）

*③若函数f（x）在区间[a，b]上是连续的，且满足f（a）f（b）<0,则函数f（x）在[a,b]上恰有一个零点。

（）

*④若连续函数f（x）在[a,b]上有一个零点,则一定有f（a）f（b）<0。

（）（带*表示选做）

（3）.在二次函数

中，ac<0,则其零点的个数为（）

A.1B.2C.3　D.不存在

（5）.若f（x）=（x-1）2+1，则y=f（x）-1的零点个数（）

A.0B.1C.0或1D.不确定

（6）.求函数

的零点。

并作出它的简图。

说明:

本环节用时10分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固.

教师鼓励表扬:

根据各小组的课堂表现颁奖-----满分卷奖、主动提问奖、问题探讨全面奖。

三、课后提升

作业反馈，训练巩固

作业：

课本72页练习A、1.（3）（6）。

练习B1.

（2）、（3）

自主选择，深化提高

课本75页习题2-4A4、5导学练B组

【教后拓展】

1、已知函数f（x）是定义域为Ｒ的奇函数，且f（x）在（0，+∞）上有一个零点，则f（x）的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.不确定

2、二次函数y=x2-2与一次函数y=x+1的图像有无交点，若有，那是什么？

3、三次方程x3+2x-6=0有无实根？

【课后反思】

这节课上的比较成功，满分率高达95%。

这一堂课通过学生熟悉的一元二次函数入手，体现函数零点与相应方程根的关系，并进行了推广。

通过学生的自主探讨，解决了函数零点的存在性问题，激发学生的学习兴趣，提高了课堂效率。

同时又培养了学生的自学能力、协作互助能力，以及分析问题、解决问题的能力。