中考 全等三角形之截长补短法.docx
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中考全等三角形之截长补短法
例题1
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC,AD平分∠BAC交BC于D,求证:
AB=AC+CD.
考点:
全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
利用已知条件,求得∠B=∠E,∠2=∠1,AD=AD,得出△ABD≌△AED(AAS),∴AE=AB.∵AE=AC+CE=AC+CD,∴AB=AC+CD.
解答:
证法一:
如答图所示,延长AC,到E使CE=CD,连接DE.
∵∠ACB=90°,AC=BC,CE=CD,
∴∠B=∠CAB=45°,∠E=∠CDE=45°,
∴∠B=∠E.
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2
在△ABD和△AED中,
∠B=∠E,∠2=∠1,AD=AD,
∴△ABD≌△AED(AAS).
∴AE=AB.
∵AE=AC+CE=AC+CD,
∴AB=AC+CD.
证法二:
如答图所示,在AB上
截取AE=AC,连接DE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
在△ACD和△AED中,
AC=AE,∠1=∠2,AD=AD,
∴△ACD≌△AED(SAS).
∴∠AED=∠C=90,CD=ED,
又∵AC=BC,
∴∠B=45°.
∴∠EDB=∠B=45°.
∴DE=BE,
∴CD=BE.
∵AB=AE+BE,
∴AB=AC+CD.
点评:
本题考查了全等三角形的判定和性质;通过SAS的条件证明三角形全等,利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系.
例题2
图,AD是△ABC中BC边上的中线,求证:
AD<(AB+AC).
考点:
全等三角形的判定与性质;三角形三边关系.
专题:
计算题.
分析:
可延长AD到E,使AD=DE,连BE,则△ACD≌△EBD得BE=AC,进而在△ABE中利用三角形三边关系,证之.
解答:
证明:
如图延长AD至E,使AD=DE,连接BE.
∵BD=DC,AD=DE,∠ADC=∠EDB
∴△ACD≌△EBD∴AC=BE
在△ABE中,AE<AB+BE,即2AD<AB+AC∴AD<(AB+AC)
点评:
本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题,能够熟练掌握.
在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请直接写出这个等量关系.
考点:
旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
专题:
证明题.
分析:
(1)由已知AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°,利用互余关系可证∠DAC=∠ECB,可证△ACD≌△CBE,得AD=CE,CD=BE,故AD+BE=CE+CD=DE;
(2)此时,仍有△ACD≌△CBE,AD=CE,CD=BE,利用线段的和差关系得DE=AD-BE.
解答:
证明:
(1)∵∠DAC+∠ACD=90°,∠ACD+∠ECB=90°,
∴∠DAC=∠ECB,
又∵AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°,
∴△ACD≌△CBE,
∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CE+CD=AD+BE;
(2)DE=BE-AD.
仿照
(1)可证△ACD≌△CBE,
∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CD-CE=BE-AD.
点评:
本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件,关键是利用全等三角形对应线段相等,将有关线段进
如图,点P在∠AOB的内部,点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点,线段MN交OA、OB于点E、F,若△PEF的周长是20cm,则线段MN的长是
20
cm.
考点:
轴对称的性质.
分析:
根据轴对称的性质可知:
EP=EM,PF=FN,所以线段MN的长=△PEF的周长.
解答:
解:
根据题意,EP=EM,PF=FN,
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长,
∴MN=20cm.
点评:
主要考查了轴对称的性质:
对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等.
(1)如图所示,已知△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O.试说明∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A;
(2)如图所示,在△ABC中,BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线.试说明∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A;
(3)如图所示,已知BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC外角∠ACE的平分线,且与BD交于点D,试说明∠A=2∠D.
考点:
三角形的外角性质;角平分线的定义;三角形内角和定理.
分析:
(1)根据三角形角平分线的性质可得,∠BOC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A,根据三角形内角和定理可得∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A;
(2)根据三角形外角平分线的性质可得∠BCD=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)、∠DBC=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB);根据三角形内角和定理可得∠BDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A;
(3)根据BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC外角∠ACE的平分线,可知,∠A=180°-∠1-∠3,∠D=180°-∠4=∠5=180°-∠3-$\frac{1}{2}$(∠A+2∠1),两式联立可得2∠D=∠A.
解答:
解:
(1)∵在△ABC中,OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线,∠A为x°
∴∠BOC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°-x°)=90°-$\frac{1}{2}$∠A
故∠BOC=180°-(90°-$\frac{1}{2}$∠A)=90°+$\frac{1}{2}$∠A;
(2)∵BD、CD为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线∠A为x°
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ABC)、∠DBC=$\frac{1}{2}$(∠A+∠ACB)
由三角形内角和定理得,∠BDC=180°-∠BCD-∠DBC=180°-$\frac{1}{2}$[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180°-$\frac{1}{2}$(∠A+180°)=90°-$\frac{1}{2}$∠A;
(3)如图:
∵BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC外角∠ACE的平分线
∴∠1=∠2,∠5=$\frac{1}{2}$(∠A+2∠1),∠3=∠4,在△ABE中,∠A=180°-∠1-∠3----①
在△CDE中,∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3-$\frac{1}{2}$(∠A+2∠1),即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠A-----②,
把①代入②得2∠D=∠A.
点评:
此类题目比较简单,考查的是三角形内角与外角的关系,角平分线的性质,三角形内角和定理,属中学阶段的常规题.
如图,直线a、b、c表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站.要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有
4
处.
考点:
三角形的内切圆与内心;直线与圆的位置关系.
专题:
应用题.
分析:
依题意可作四个圆分别与三条直线相切,其中三个在三角形外部,一个在三角形内部,其圆心就是可供选择的地址.
解答:
解:
可作四个圆分别与三条直线相切,其中三个在三角形外部,一个在三角形内部.
故填4.
点评:
本题涉及圆的相关知识,难度中等.
如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系?
写出你的猜想并加以证明.
考点:
等腰三角形的性质;三角形的面积.
专题:
证明题.
分析:
猜想:
PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF.根据∵S△PAB=AB•PD,S△PAC=AC•PE,S△CAB=AB•CF,S△PAC=AB•PE,AB•PD=AB•CF+AB•PE,即可求证.
解答:
猜想:
PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF.
证明:
连接AP,则S△PAC+S△CAB=S△PAB,
∵S△PAB=AB•PD,S△PAC=AC•PE,S△CAB=AB•CF,
又∵AB=AC,
∴S△PAC=AB•PE,
∴AB•PD=AB•CF+AB•PE,
即AB(PE+CF)=AB•PD,
∴PD=PE+PF.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积,难度适中,关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明.
如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的中线,延长BC到E使CE=CD,试判断△BDE的形状.
考点:
等腰三角形的判定;等边三角形的性质.
分析:
因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°,BD是AC边上的中线,则∠DBC=30°,再由题中条件求出∠E=30°,即可判断△BDE的形状.
解答:
证明:
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵AD=CD
∴∠DBC=∠ABC=30°
∵CE=CD
∴∠CDE=∠E
∵∠ACB=∠CDE+∠E
∴∠E=30°
∴∠DBE=∠E
∴BD=DE
∴△BDE是等腰三角形.
点评:
本题考查了等腰三角形的判定与性质及等边三角形的性质;此题把等边三角形的性质和等腰三角形的判定结合求解.考查了学生综合运用数学知识的能力,得到∠E=30°是正确解答本题的关键.
(2007•吉林)某家电商场经销A,B,C三种品牌的彩电,五月份共获利48000元.已知A种品牌彩电每台可获利100元,B种品牌彩电每台可获利144元,C种品牌彩电每台可获利360元.请你根据相关信息,补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图.
考点:
扇形统计图;条形统计图.
专题:
图表型.
分析:
根据获利总数与扇形图,可计算出B型彩电的获利,进而求出B型彩电的数目;接着可求出C型彩电的获利和台数;利用A、C型的获利和获利总数分别求出它们所获利润的百分数,进而补全彩电销售台数的条形图和所获利润的百分数的扇形图即可.
解答:
解:
根据题意可得:
五月份共获利48000元,B种品牌彩电获利占30%,即获利48000×30%=14400元,故B种品牌彩电的台数为14400÷144=100台,则C种品牌彩的台数为(48000-120×100-14400)÷360=60台;据此可补全条形图.
(4分)
五月份共卖出(120+100+60)=280台,其中A种品牌彩电120台,占获利的25%,B种品牌彩100台占获利的30%,C种品牌彩电60台,占获利的45%,据此可补全扇形图.
(6分)
说明:
条形图中每画对1个条形图得(2分).扇形图中每填对1个扇形得(1分).
扇形图中若标成表示A,C计算的百分数正确,填图不正确,扣
(1).如另画扇形图正确也得分.
点评:
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1,能直接反映部分占总体的百分比大小.
如图所示,已知EA⊥AB于点A,CD⊥DF于点D,AB∥CD,请判断EA与DF的位置关系,并说明理由.
考点:
平行线的判定;垂线;平行线的性质.
专题:
探究型.
分析:
首先由AB∥CD,根据两直线平行,内错角相等,得到∠BAD=∠ADC,再根据垂直的定义得到∠EAB=∠CDF=90°,则∠EAB+∠BAD=∠CDF+∠ADC,即∠EAD=∠ADF,满足关于EA∥DF的条件:
内错角相等,两直线平行.