掌控中考中考数学四川专版 中考总复习专项复习资料专题36 方程组的应用.docx

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掌控中考中考数学四川专版中考总复习专项复习资料专题36方程组的应用

考点三十六：

方程（组）的应用

聚焦考点☆温习理解

1．列方程（组）解应用题的一般步骤

（1）审题；

（2）设未知数；

（3）找出包含未知数的等量关系式；

（4）列出方程（组；

（5）求出方程（组）的解；

（6）检验并作答．

2．各类应用题的等量关系

（1）行程问题：

路程＝速度×时间；

相遇问题：

两者路程之和＝全程；

追及问题：

快者路程＝慢者先走路程（或相距路程）＋慢者后走路程．

（2）工程问题：

工作量＝工作效率×工作时间．

（3）几何图形问题

面积问题：

体积问题还有其他几何图形问题：

如线段、周长等

（4）增长率问题：

如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系表示为：

a（1±x）n=A

（5）利润问题

利润=销售价-进货价

利润率=

销售价=（1+利润率）×进货价

（6）利息问题

利息=本金×利率×期数

本息和=本金+利息

名师点睛☆典例分类

考点典例一、一元一次方程的应用

【例1】（2015.天津市，第23题，10分）（本小题10分）

1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都匀速上升了50min.设气球上升时间为xmin（0≤x≤50）.

（Ⅰ）根据题意，填写下表

上升时间/min

10

30

…

x

1号探测气球所在位置的海拔/m

15

…

2号探测气球所在位置的海拔/m

30

…

（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？

如果能，这时气球上升了多长时间？

位于什么高度？

如果不能，请说明理由；

（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？

【答案】（Ⅰ）35,x+5；20,0.5x+15.

（Ⅱ）两个气球能位于同一高度，理由见解析，此时，气球上升了20min，都位于海拔25m的高度.

（Ⅲ）两个气球所在位置的海拔最多相差15米.

试题解析：

（Ⅰ）35,x+5；20,0.5x+15.

（Ⅱ）两个气球能位于同一高度.

根据题意，x+5=0.5x+15，解得x=20.

有x+5=25.

答：

此时，气球上升了20min，都位于海拔25m的高度.

（Ⅲ））当30≤x≤50时，

由题意，可知1号气球所在位置的海拔始终高于2号气球，

设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差有y米，

则y=（x+5）—（0.5x+15）=0.5x—10.

∵0.5＞0，

∴y随x的增大而增大.

∴当x=50时，y取得最大值15.

答：

两个气球所在位置的海拔最多相差15米.

考点：

列代数式；一元一次方程的应用；一次函数的应用.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量（不等量）关系，列方程（不等式）求解．

（1）列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，顺着题意来理清等量关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．

（2）当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后，再代入求出另一个未知量的值．

【举一反三】

（2015·黑龙江哈尔滨）美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品数量是国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有___________幅.

【答案】69

【解析】

试题分析：

设国画为x幅，则油画为（2x+7）幅，根据题意可得：

x+2x+7=100，解得：

x=31，则2x+7=69，即油画作品的数量为69幅.

考点：

一元一次方程的应用.

考点典例二、二元一次方程组的应用

【例2】（2015·湖北黄冈，16题，分）（6分）已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？

【答案】300，200．

考点：

二元一次方程组的应用．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．

【举一反三】

（2015·湖北孝感）（本题满分9分）

某服装公司招工广告承诺：

熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件

型服装计酬16元，加工1件

型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件

型服装和2件

型服装需4小时，加工3件

型服装和1件

型服装需7小时．（工人月工资＝底薪＋计件工资）

（1）一名熟练工加工1件

型服装和1件

型服装各需要多少小时？

（4分）

（2）一段时间后，公司规定：

“每名工人每月必须加工

，

两种型号的服装，且加工

型服装数量不少于

型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工

型服装

件，工资总额为

元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？

（5分）

【答案】

（1）

；

（2）违背.

【解析】

试题分析：

（1）根据题目中2个等量关系列出

，求出结果

；

（2）通过一次函数的增减性求出最大值为2800，小于开始的承诺3000，故可以判断违背了广告承诺。

试题解析：

解：

（1）设熟练工加工1件

型服装需要x小时，加工1件

型服装需要y小时．

由题意得：

，

解得：

答：

熟练工加工1件

型服装需要2小时，加工1件

型服装需要1小时．……4分

.

考点：

方程组，函数应用

考点典例三、分式方程的应用

【例3】（2015•聊城，第23题）在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的

，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？

K]

【答案】150元

【解析】

试题分析：

可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：

第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的

，列出方程求解即可．

试题解析：

解：

设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有

，

解得x=150，

经检验：

x=150是原方程的解．

故第二批鲜花每盒的进价是150元．

考点：

分式方程的应用

【点睛】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出方程，分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．

【举一反三】

（2015·辽宁沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．

【答案】300km/h．

考点：

分式方程的应用．

考点典例四、一元二次方程的应用

【例4】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；

（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

【答案】

（1）每件衬衫应降价20元．

（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．

【解析】

试题分析：

此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40-x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40-x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．

试题解析：

（1）设每件衬衫应降价x元，

根据题意得（40-x）（20+2x）=1200，

整理得2x2-60x+400=0

解得x1=20，x2=10．

因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，

故每件衬衫应降20元．

答：

每件衬衫应降价20元．

（2）设商场平均每天赢利y元，则

y=（20+2x）（40-x）

=-2x2+60x+800

=-2（x2-30x-400）=-2[（x-15）2-625]

=-2（x-15）2+1250．

∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．

答：

每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．

考点：

一元二次方程的应用．

【点睛】

（1）现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．

（2）解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件．

【举一反三】

（2015·湖北襄阳,21题）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

【答案】10，8．

【解析】

考点：

1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．

课时作业☆能力提升

一．选择题

1.（2015.山东泰安，第7题）（3分）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？

设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：

设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得

．故选A．

考点：

由实际问题抽象出二元一次方程组．

2.（2015遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？

设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：

设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：

，故选A．

考点：

由实际问题抽象出分式方程．

3.（2015巴中）某种品牌运动服经过两次降价，每件件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】B．

【解析】

试题分析：

设每次降价的百分率为x，由题意得：

，故选B．

考点：

1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．

4．（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（　　）

A．1种B．2种C．3种D．4种

【答案】B．

考点：

二元一次方程的应用．

5..（2015·湖北衡阳，11题，3分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为

米，根据题意，可列方程为（）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

试题分析：

根据题意长比宽多10米．设绿地的宽为

米，则长为（x+10）米，

由矩形绿地的面积为900平方米，面积=长×宽，可列方程

.

考点：

一元二次方程的应用

6.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米，若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（）

A．x（5＋x）＝6B．x（5－x）＝6

C．x（10－x）＝6D．x（10－2x）＝6

【答案】B．

【解析】

试题分析：

一边长为x米，则另外一边长为：

5-x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．

试题解析：

一边长为x米，则另外一边长为：

5-x，

由题意得：

x（5-x）=6，

故选B．

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

7.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）

A．144（1－x）2＝100B．100（1－x）2＝144

C．144（1＋x）2＝100D．100（1＋x）2＝144

【答案】D．

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

8.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A．

B．

C．

D

【答案】A．

【解析】

试题分析：

根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：

现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．

试题解析：

设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．依题意得：

故选：

A．

考点：

由实际问题抽象出分式方程．

9.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）

A．144（1－x）2＝100B．100（1－x）2＝144

C．144（1＋x）2＝100D．100（1＋x）2＝144

【答案】D．

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．

二、填空题

10.（2015达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？

设每件童裝应降价x元，可列方程为．

【答案】（40﹣x）（20+2x）=1200．

【解析】

试题分析：

设每件童裝应降价x元，可列方程为：

（40﹣x）（20+2x）=1200．故答案为：

（40﹣x）（20+2x）=1200．

考点：

1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．销售问题．

11．（2015宜宾）某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为．

【答案】

．

【解析】

试题分析：

设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得：

，故答案为：

．

考点：

1．由实际问题抽象出一元二次方程；2．增长率问题．

12.（2015.山东莱芜第15题，3分）某公司在

年的盈利额为

万元，预计

年的盈利额将达到

万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在

年的盈利额为________万元．

【答案】220

考点：

一元二次方程的应用（增长率问题）

13.（2015.山东滨州第18题，4分）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.

【答案】120

【解析】

试题分析：

根据题意可设x缝制衣袖，y人缝制衣身，z人缝制衣领，则x+y+z=210，

，解由它们构成的方程组可求得x=120人.

考点：

三元一次方程组的应用

14.某公园“六一”期间举行特优读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣．张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动．王斌也想去，就去打听张凯、李利买门票花了多少钱．张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备____元钱买门票．

【答案】34.

【解析】

试题分析：

设大人门票为x，小孩门票为y，根据题目给出的等量关系建立方程组，然后解出x、y的值，再代入计算即可．

考点：

二元一次方程组的应用．

三、解答题

15.某“爱心义卖”活动中，购进甲乙两种文具共100个，甲文具的个数比乙文具的2倍多10个，甲文具每个的进货价比乙文具高10元，将甲、乙两种文具的进价都提高20%进行销售，两种文具共销售2040元．

（1）求购进甲文具多少个．

（2）求乙文具的进货单价为多少．

【答案】

（1）购进甲文具70个．

（2）乙文具的进货单价为10元．

【解析】

试题分析：

（1）设购进甲文具x个，根据购进甲乙两种文具共100个，可以表示购进乙文具的个数，然后根据甲文具的个数比乙文具的2倍多10个，列出方程即可；

（2）设乙文具的进货单价为y元，根据甲文具每个的进货价比乙文具高10元，可以表示甲文具的进货单价，然后根据将甲、乙两种文具的进价都提高20%进行销售，表示出甲、乙两种文具的售价，最后根据两种文具共销售2040元，列出方程即可．

试题解析：

（1）设购进甲文具x个，则购进乙文具的个数为（100-x）个，

根据题意得：

x=2（100-x）+10，

解得：

x=70，

则100-x=30，

答：

购进甲文具70个．

（2）设乙文具的进货单价为y元，则甲文具的进货单价（y+10）元，

根据题意得：

30×（1+20%）y+70×（1+20%）（y+10）=2040，

解得：

y=10，

答：

乙文具的进货单价为10元．

考点：

一元一次方程的应用．

16.食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输，某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少瓶？

【答案】A饮料生产了30瓶，则B饮料生产了70瓶.

考点：

一元一次方程的应用

17.（2015·湖南长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件。

现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同：

（1）、求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；

（2）、如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？

如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

【答案】10%；不能，至少增加2名业务员.

【解析】

试题分析：

首先设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值，得出增长率；首先分别求出6月份的快递数量和能送达的快递数量，然后进行比较得出答案，应总的快件数除以每名快递员能送的数量得出总人数，求出增加的人数.

试题解析：

（1）、设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：

10

=12.1解得：

=0.1

=－2.1（舍去）即月平均增长率为10%

（2）、6月份的快递数量为：

12.1×1.1=13.31（万件）

快递员能送的快递数量为：

21×0.6=12.6万件＜13.31万件∴不能完成快递投递任务

22＜

＜23∴23－21=2（名）即至少需要增加2名业务员.

考点：

一元二次方程的实际应用.

18.．（2015·辽宁葫芦岛）（12分）某中学要进行理、化实验加试，需用九年级两个班级的学生整理实验器材．已知一班单独整理需要30分钟完成．

（1）如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成任务，求二班单独整理这批实验器材需要多少分钟？

（2）如果一、二的工作效率不变，先由二班单独整理，时间不超过20分钟，剩余工作再由一班独立完成，那么整理完这批器材一班至少还需要多少分钟？

【答案】

（1）60；

（2）20．

考点：

1．分式方程的应用；2．一元一次不等式的应用；3．应用题．

19.（2015·湖南益阳）（12分）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．

（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；

（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？

【答案】初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨；最多再生产10天.

考点：

一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用

20.（2015.北京市，第21题，5分）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计2015年底，全市将租赁点多少个?

【答案】1000

【解析】

试题分析：

设2015年底全市租赁点有x个.根据“2013年成平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.”列方程，解方程即可得出答案.

试题解析：

设2015年底全市租赁点有x个.

，x＝1000

经检验：

x＝1000是原方程的解，且符合实际情况.

答：

预计到2015年底，全市将有租赁点1000个.

考点：

分式方程的应用