令切点A(x0,lnx0),
故
又
,
故
解得,x0=e,
故
,
则的取值范围为
.
本题选择A选项.
第Ⅱ卷(共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题~23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.曲线
在
处的切线平行于直线
则点
坐标为_______.
【答案】
【解析】设切点横坐标为,函数的导函数为:
,
由切线与导函数的关系可得:
,
而:
,
即点
坐标为
.
14.已知
则
展开式中的系数为____________.
【答案】
【解析】由题意可得:
则
展开式的通项公式为:
,
令
可得:
则的系数为:
.
15.甲射击命中目标的概率是,乙射击命中目标的概率是,丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为____________.
【答案】
【解析】由题意可得,目标不被击中的概率为:
,
则目标被击中的概率为
.
点睛:
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算.
二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”,“至少”型题目,用间接求法就显得较简便.
16.袋中有
个大小相同的球,其中标号为的有
个,标号为
的有个.现从袋中任取一球,表示所取球的标号.若
则
的值为_____.
【答案】
【解析】根据题意得出随机变量ξ的分布列:
0
1
2
3
4
P
,
∵
,
∴
,
即a=2,
∴
,
,
∵
.
故答案为:
11.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知函数
用反证法证明方程
没有负数根.
【答案】见解析.
【解析】试题分析:
假设命题的结论不成立,即反面成立,即f(x)=0,有负实数根,再推出方程两边不可能相等,矛盾。
所以假设不成立,原命题成立。
试题解析:
证明:
设存在
,满足f()=0,
则
.
又0<
<1,所以0<
<1,0
解之得:
,
与x0<0(x0≠-1)假设矛盾.
故f(x)=0没有负实数根.
18.用
这六个数字,可以组成多少个满足下列条件的整数?
(Ⅰ)可以组成多少个无重复数字的四位数?
(Ⅱ)可以组成多少个恰有两个相同数字的四位数?
【答案】(Ⅰ)
个;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由乘法原理可得可以组成300个无重复数字的四位数
(Ⅱ)分类讨论,数字0重复和其他数字重复可得可以组成600个恰有两个相同数字的四位数.
试题解析:
(Ⅰ)首位不能为,有种选法;再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置,
有
种方法;
由分步乘法计数原理得可以组成的四位数有
个.
(Ⅱ)分两种情况进行讨论;
第一种:
数字重复:
第二种:
其它数字重复:
①有时:
个,②无时:
个,
所以,共有
(个).
19.(本小题满分12分)某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益(单位:
万元)绘制成如图所示的频率分布直方图.由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从开始计数的.
(Ⅰ)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(Ⅱ)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到上表:
表中的数据显示与之间存在线性相关关系,求关于的回归方程;
(Ⅲ)若广告投入万元时,实际销售收益为.万元,求残差.
附:
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)利用面积和为1可得宽度为2;
(Ⅱ)利用回归分析的方法可求得回归方程为
;
(Ⅲ)利用(II)中的结论求得,据此可得残差值为
.
试题解析:
(Ⅰ)设各小长方形的宽度为,由频率直方图各小长方形的面积总和为,可知
故
.
(Ⅱ)由题意,可知
根据公式,可求得
所以关于的回归方程为
.
(Ⅲ)当
时,销售收益预测值
(万元),又实际销售收益为
万元,
所以残差
.
点睛:
解决频率分布直方图的问题,关键在于找出图中数据之间的联系.这些数据中,比较明显的有组距、,间接的有频率、小长方形的面积,合理使用这些数据,再结合两个等量关系:
小长方形面积=组距×=频率,小长方形面积之和等于1,即频率之和等于1,就可以解决直方图的有关问题.
20.社会公众人物的言行一定程度上影响着年轻人的人生观、价值观.某媒体机构为了解大学生对影视、歌星以及著名主持人方面的新闻(简称:
“星闻”)的关注情况,随机调查了某大学的
位大学生,得到信息如下表:
(Ⅰ)从所抽取的
人内关注“星闻”的大学生中,再抽取三人做进一步调查,求这三人性别不全相同的概率;
(Ⅱ)是否有
以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”,并说明理由;
(Ⅲ)把以上的频率视为概率,若从该大学随机抽取位男大学生,设这人中关注“星闻”的人数为,求的分布列及数学期望.
附:
.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)利用对立事件可得这三人性别不全相同的概率为;
(Ⅱ)利用公式求得
,则有
以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”.
(Ⅲ)利用题意结合二项分布的公式求得分布列,然后计算可得数学期望为.
试题解析:
(Ⅰ)由已知,知所求概率
.
(Ⅱ)由于
.
故有
以上的把握认为“关注‘星闻’与性别有关”.
(Ⅲ)由题意,可得任意一名男大学生关注“星闻”的概率为
不关注“星闻”的概率为.
所有可能取值为
.
;
;
;
;
.
的分布列为
因为
所以
.
21.已知
.
(Ⅰ)求函数
的最小值;
(Ⅱ)求证:
对一切
都有
成立.
【答案】(I)
.(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由导函数与原函数的关系可得函数
的最小值为
.
(Ⅱ)利用题意构造新函数
结合新函数的性质证明题中的不等式即可.
试题解析:
(I)函数
的定义域为
.
当
时,
为增函数;当
时,
为减函数
所以函数
的最小值为
.
(Ⅱ)问题等价于证明
由(I)可知,
的最小值为
当且仅当
时取到.
令
则
易知
当且仅当
取到,所以
.
从而对一切
都有
成立.
点睛:
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出,本专题在高考中的命题方向及命题角度,从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:
(1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系.
(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时,请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
已知曲线
曲线
.
(Ⅰ)求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知直线
求曲线
上的点到直线的最短距离.
【答案】(Ⅰ)
;
(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可得曲线
的普通方程为
,曲线
的直角坐标