第五章相交线与平行线.docx

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第五章相交线与平行线

§5.1相交线

第一课时：

对顶角

【教学目标】

1、认识认识对顶角的概念,理解互对顶角反映了角的一种位置关系。

掌握对顶角的性质。

学会简单的说理。

2、结合教学培养初步的推理能力。

3、体验事物之间是普遍联系的。

【教学重点、难点】

对顶角的概念、性质。

【教学准备】

课件

【教学过程】

一、创设问题情境

1、对顶角的概念：

（1）请同学们在作业本上画两条相交直线。

找一找图中互为补角的角有几对？

相等的角有几对？

互补的角有4对：

∠1与∠2、∠3与∠2、∠1与∠4、∠3与∠4

相等的角有2对：

∠1与∠3、∠2与∠4

（2）对顶角定义：

两条直线相交形成∠1、∠2、∠3、∠4，其中∠1与∠3、∠2与∠4叫做对顶角。

注意：

两对对顶角。

（3）结论：

对顶角相等。

二、典例解析：

1、例1.已知∠α=50°17′，求∠α的余角和补角。

解：

∠α的余角=90°—50°17′=39°43′

∠α的补角=180°—50°17′=129°43′

2、例2.已知∠1的补角为127°29′，那么∠1的余角的度数是_______

解：

根据互余、互补的关系：

∠1=180°—∠1的补角

∠1的余角=90°—∠1

结论：

∠1的补角—∠1的余角=90°

同一个角的补角与余角相差90°。

3、例3.如图，∠1=30°，则∠2、∠3、∠4各多少度？

四、课堂小结：

回忆对顶角的概念及其性质.

5.1相交线

第二课时：

垂线

【教学目标】

1、认知目标

（1）通过实例感知垂线的有关概念及垂线的性质。

（2）对学生进行数学语言的训练，使学生能用一些简单的数学语言叙述图形的某些位置关系。

2、能力目标

通过动手操作体会垂线的性质，培养学生发现问题的能力；会利用有关知识解决实际问题。

3、情感目标

通过创设的丰富背景，激发学生的学习兴趣和探求欲望，引导学生积极参与和主动探索。

【教学重点】

垂线的概念、性质

【教学难点】

　垂线的画法、点到直线的距离的概念

【教学准备】

课件、题卡、课堂反馈卡

【教学方法】

学生自主探索、小组合作、发现结论、

【教学过程设计】

一、创设问题情境

你能在平面上画出两条直线的位置关系吗?

并说一说几种关系。

（学生动手画，并让一位学生演示---平行和相交，教师打出两个图）（如图

（1），

（2））

2、在相交直线形成的四个角中，按照两个角的关系分类，有哪两种类型的角?

（学生回答：

对顶角和邻补角）

3、两条直线所夹的角中，如果按照角的大小来分类，又有哪几种?

（这时老师将直线CD继续运动得到（3）和（4））

（学生回答：

锐角、直角、钝角）

在此基础上，教师指出：

图（3）是两条直线相交的一种特殊情况，它在生活、生产实际中应用比较广，例如：

书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边、红十字等，因此今天我们就来研究这种特殊情况（板书课题垂线）

二、垂线的有关概念

动画演示①，让学生在感性认识的基础上，引导学生得到关于垂线的一些概念

1定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足

2符号：

“⊥”读作“垂直于”如AB⊥CD于O，含义：

直线AB与直线CD垂直，垂足是O

3对定义的理解：

（1）在垂直的定义中要强调只有一个角是直角就可以了，不必说四个角都是直角，因为其它三个直角都可推出来

（2）两条直线互相垂直，是指两条直线而言因此，说到垂线,一定是两条直线的位置关系

（3）定义具有双重性，既是判定垂直的定理，也是垂直的性质定理，在具体应用时要注意书写格式，

1、∵AB⊥CD（已知）2、∵∠1=90°（已知）

∴∠1=90°（垂线的定义）∴AB⊥CD（垂线的定义）

三、通过实践活动，引导学生发现垂线的性质

1、教师先向学生提出一个实际问题：

立定跳远中，体育老师是如何测量运动员的成绩的？

2、引导学生将实际问题转化为数学问题，对做得比较好的学生，让他到黑板上画图，教师纠正并给出动画演示②，师生共同指出，起跳线，跳远时脚落的地点。

3、教师指出：

这个实际问题实质上就是转化为“从直线外一点画出已知直线的垂线问题”那么，怎样用你手中的三角板画出这条垂线呢?

4、在学生画出垂线的基础上，教师总结出用三角板画垂线的基本方法

画垂线的方法画垂线的方法可归纳为“一落、二过、三画”

①.一落：

把三角尺的一条直角边落在已知直线上；

②.二过：

让三角尺的另一条直角边经过已知的点

③.三画：

沿着直角边经过已知点画直线。

并引导学生思考：

这样画出的为什么是已知直线的垂线?

5、线段、射线的垂线应怎么画呢？

6、请用三角尺和量角器过点P画直线AB的垂线

7、引导学生在作垂线的实践活动中，发现垂线的性质

（1） 如图5中，过点A作直线BD的垂线，在图6中，过A点分别作BD和DE的垂线

（2）发现垂线的性质

在学生熟练地做出各条垂线之后，教师继续提问：

（或以其它形式）过A点还能做出别的垂线吗?

在学生回答的基础上，教师引导学生发现以下两个结论：

①过A点作BD或DE的垂线有没有？

（有）

②过A点作BD或DE的垂线有几条？

（只有一条）

在此基础上，又引导学生概括出：

垂线的性质：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

注：

①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以

四、从线段的比较中得到点到直线的距离的概念和性质

如图，AB与直线BC垂直，点A与直线BC上各点的距离长短不一，我们可以发现其中最短的应该是线段AB，线段AB叫做点A到直线BC的垂线段，它的长度就是点A到直线BC的距离。

由此得到：

直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离。

通过动画演示③使学生了解：

直线外一点与直线上各点而得到的线段中，与直线垂直的那条线段最短。

也可以简称为“垂线段最短”。

五、练习

1、做一做，小海龟位于图中点A处，按下述口令移动：

向前前进3格；向右转90度，前进5格；向左转90度，前进3格；向左转90度，前进6格；向右转90度，后退6格；最后向左转90度，前进1格，用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形。

通过小海龟的运动渗透变换思想：

一条直线绕着一点旋转90度后所得到的位置与原来位置是垂直的，因此两直线垂直可以看成其中的一条直线是另一条直线绕过交点旋转90度后产生的。

2、P163练习

讲完练习之后，对过已知点作已知线段的垂线的问题加以总结，重点是：

有时需要对线段加以延长，作延长的垂线

六、小结和评价

师生共同总结出本节课学到的内容

1.理解了垂线的概念，会用三角尺、量角器过一点画一条直线的垂线；

2.理解了点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。

3.掌握了垂线的两个性质

选作题：

（1）随意画钝角∠MON和∠M1O1N1；

（2）画∠MON的平分线OP，∠M1O1N1的平分线O1Q；

（3）在OP上取点A，画AB⊥OM，AC⊥ON，B，C是垂足；

（4）在O1Q上取点D，画DE⊥O1M1，OF⊥O1N1，E，F是垂足；

（5）通过度量发现AB＿＿＿＿AC，DE＿＿＿＿DF　　　　（填“＝”或“≠”）；

（6）通过上面画图与度量，你有什么猜想，请用文字叙述出来。

§5.1相交线

第三课时：

相交线中的角

【教学目标】

1、知识目标：

（1）通过三个过三个“观察”,掌握同位角、内错角、同旁内角的位置特征。

（2）能在有多条（超过三条）直线相交的图形中，找出同位角、内错角、同旁内角。

2、能力目标

（1）训练识图的能力

（2）培养观察、分析、类比、探索、概括、综合能力。

3、情感目标：

初步体会类比的思想方法，通过独立思考与小组讨论、师生交流、培养学生的自主意识和合作精神，树立创新意识，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。

【教学重点】

同位角、内错角、同旁内角的位置特征。

【教学难点】

能在有多条（超过三条）直线相交的图形中，找出同位角、内错角、同旁内角。

【教学准备】

课件、题卡、课堂反馈卡

【教学方法】

学生自主、小组合作、探索性学习

【教学过程】

一、创设问题情境

1、两条直线相交形成几个角？

如图

（一）（小于平角）这些角有什么名称？

有什么特征？

图

（一）　　　　　　　　　　　　　图

（二）

2、再增加一条直线（CD），变为一条直线分别与两直线相交（也可以说成是两条直线被第三条直线所截）。

构成了几个角？

（小于平角）在这个图形

（二）中，像∠1与

∠5，∠3与∠5，∠4与∠5还有公共顶点吗？

这些没有公共顶点的角又有什么关系呢？

二、探索观察交流

1、观察交流

观察：

∠1与∠5的位置有什么关系？

思考：

用什么方法去观察？

方法：

从角的顶点，角的边，角对于三条直线的位置几个方面去观察。

特征：

（1）角的顶点不同

（2）角的两边有一条在同一条直线上（第三条直线）

（3）在两直线的同方，第三条直线的同旁。

具有这样位置的一对角是同位角。

2、类比交流

用同样的方法去观察∠3与∠5；∠4与∠5的位置特征。

3、概括交流

同位角位于两直线的同方，第三直线的同旁；

内错角位于两直线之内，第三直线的两旁；

同旁内角位于两直线之内，第三直线的同旁。

4、探索交流

（1）找一找

将图

（二）整体向左旋转，得到图（三），请找出图（三）中的同位角、内错角、同旁内角。

（2）变一变

图（三）

三、综合反思

1、说一说

你们找同位角、内错角、同旁内角有什么经验和方法。

方法：

（1）三种角产生的条件及位置特征；

（2）判断时应先找到“截线”，再找另外两直线，然后根据角的位置决定是哪一种角.

经验：

当图形复杂时可把暂时不需要的线段、角等遮住，也可采用图形分解法、图形涂色法以排除干扰.

2、做一做

（1）如图，直线DE，BC被直线AB所截，∠1与∠2是＿＿＿角，∠1与∠3是＿＿＿角，∠1与∠4是＿＿＿角。

（2）如图，∠1与∠2是＿＿＿角，∠3与∠4是＿＿＿角，∠5与∠6是＿＿＿角。

3、辨一辨

练习：

如图，∠1和∠2是内错角吗？

练习：

如图，∠1和∠2是同旁内角吗？

下面哪个图形中的∠1和∠2是同位角？

练习：

如图，∠1和∠2是同位角吗？

4、试一试

根据图形按要求填空：

（1）∠1与∠2是直线――和――被直线――所截而得的―――

（2）∠1与∠3是直线――和――被直线――所截而得的―――

（3）∠3与∠4是直线____和＿＿被直线____所截而得的_______.

（4）∠2与∠4是直线_____和＿＿被直线＿＿所截而得的_____.

（5）∠4与∠5是直线____和____被直线____所截而得的_________.

四、总结

1、主要内容：

两条直线被第三条直线所截而产生的三种角——同位角、内错角、同旁内角.

2、找同位角、内错角、同旁内角有什么经验和方法。

方法：

（1）三种角产生的条件及位置特征；

（2）判断时应先找到“截线”，再找另外两直线，然后根据角的位置决定是哪一种角.

经验：

当图形复杂时可把暂时不需要的线段、角等遮住，也可采用图形分解法、图形涂色法以排除干扰.

§5.2平行线

第一课时：

平行线

【教学目标】

1.从学生比较熟悉的事物入手，使学生从实际物体中抽象出数学模型。

2.掌握平行线的定义、表示方法及同一平面内两条直线的位置关系。

3.通过具体操作，会画平行线，进一步通过画平行线得到平行线的性质。

4.结合教学渗透逻辑推理思想，培养学生应用数学的意识和能力。

【教学重点、难点】

重点：

掌握平行线的性质

难点：

通过平行线的画法去得到平行线性质

【教学准备】

课件

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

观察周围看到的事物：

滑雪的雪橇板；铁路的双轨、枕木；某些国旗的图形，给人以什么现象？

（平行线的形象）

再找一找，日常生活中还有哪些实物给人以平行线的现象？

二、探究新知，讲授新课

1.说一说，平行线有什么特征？

由学生自由发言，以“铁路的双轨”为例引导他们刻画平行线的特征。

最后得出结论：

在同一平面内不相交的两条直线叫平行线。

如图，直线a与b平行，记作a//b或AB//CD。

2.想一想，平面内的两条直线除平行外还有什么位置关系？

由学生讨论得出结论：

同一平面内的两条不重合的直线的位置关系只有两种：

相交或平行。

3.动一动，你会画平行线吗？

（1）你能用手中的格子纸画出平行线吗？

让学生利用手中的格子纸动手画出来？

（2）你能借助三角尺画出平行线吗？

先由学生尝试，再由教师小结画法。

画平行线的方法：

一放，二靠，三推，四画。

（3）经过直线外一点你能画平行线吗？

能画几条？

如图，已知直线AB及直线AB外一点C，过点C画直线l，使直线l与直线AB平行。

方法：

把三角板的一边紧靠直尺，斜边靠直线AB，把三角板向上推移使斜边边点C，过C画直线l，则l//AB

老师提问：

经过点C你能画出几条直线与直线AB平行？

学生回答：

只能画出一条。

师生共同小结：

平行线性质1

经过已经直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（4）如上图，直线AB外另有一点D，过点D画一条直线l’与AB平行，那么它与前面所画的直线l平行吗？

师生共同小结：

平行线性质2

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，这叫做平行线的传递性。

三、变式练习，培养能力

1.观察如图所示的长方体后填空。

（1）用符号表示下更两棱的位置关系：

A1B1___AB,AA1____AB,A1D1____C1D1,AD___BC　。

（2）A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们＿＿＿＿＿平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在＿＿＿＿内，两条不相交的直线才能叫平行线

　　　　2.下列说法正确的是（　　）

1.过任意一点可作已知直线的一条垂线，且只能作一条

2.两条不相交的直线是平行线

3.过任意一点可作已知直线的一条平行线

4.过直线外任意一点能且只能画一条直线与已知直线平行

3.根据下列语句，画出图形：

（1）过ΔABC的顶点C，画MN//AB，

（2）过ΔABC的边AB的中点D，分别画平行于AC和BC的直线，交BC于点E，交AC于F。

（3）写出所画图中的任意四对同位角。

四、课后总结：

1、这节课你的收获是什么？

2、什么是平行线？

平行线的表示法？

平行线的画法。

平行线的性质。

§5.2　平行线

第二课时：

平行线的判定

【教学目标】

1.掌握平行线的判定方法

2.会利用平行线的判定方法进行简单的计算和推理。

3.培养学生的归纳总结能力和逻辑思维能力。

4.结合教学训练学生的数学语言,培养学生的探索精神。

【教学重点、难点】

重点：

在实验、观察基础上总结并掌握平行线的判定方法。

难点：

运用判定方法进行推理及推理过程中的书写格式。

【教学过程】

一、复习旧知，引入课题。

上节课我们学习了平行线及平行线的性质，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由。

1.两条不相交的直线叫平行线

2.过一点画已知直线的平行线能且只能画一条

3.与已知直线平行的直线有且只有一条

4.若直线a、b都和c平行，那么a与b平行

前面3句都是错误的，由学生简述理由并改正。

后4句是正确的，由此我们认为判定两条直线平行，可以借助于第三条直线，除此之外，平行线的判定还有哪些方法呢？

二、探究新知，传授新课

1、由上节课平行线的画法可知，把三角尺沿着直尺的方向由原来的位置移动到另一位置，三角尺紧靠直尺的一边和直线所成角在移动前的位置和移动后的位置构成了一对同位角。

问：

这两个同位角相等吗？

由学生自由发言，最后教师归结得到：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单地说：

同位角相等，两直线平行。

表述如下：

∵∠1＝∠2，（已知如图）

∴a∥b　（同位角相等，两直线平行）

练习：

（1）如图，∠1＝100°，∠2＝100°，a∥b吗？

（2）如上图，若∠2＝100°，∠3＝＿＿＿时，a∥b。

2、探索：

已知直线a,b被直线c所截，若∠2＝∠3，则a与b什么关系？

学生回答：

a与b平行

由学生尝试口述：

a与b平行的推理过程，教师板书。

　∵∠2＝∠3，（已知）　

∵∠1＝∠3，（对顶角相等）

∵∠1＝∠2，

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

由此得到判定平行线的又一方法：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单地说：

内错角相等，两直线平行。

练习：

（1）如图，如果∠B＝∠1，则可得＿＿＿//＿＿＿

根据是________________________________

（2）如果∠D＝∠1，则可得到＿＿＿＿//＿＿＿＿

根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

3、进一步探索：

如图，直线a、b被直线c所截，若∠1＋∠2＝180°，那么直线a与直线b平行吗？

为什么？

先由学生回答结论并叙述推理过程：

∵∠1＋∠2＝180°（已知）∠1＋∠3＝180°（互补的定义）

∴∠2＝∠3（同角的补角相等）

∴a//b（内错角相等，两直线平行）

再小结判定平行线的又一方法：

两条直线被第三条直线所截，若同旁内角互补，两直线平行。

简单说成：

同旁内角互补，两直线平行。

三、反馈练习：

（1）如图，四边形ABCD中，已知∠B＝60°，∠C＝120°，AB与CD平行吗？

AD与BC平行吗？

解：

直线AB与CD平行，　

∵∠B＝60°，∠C＝120°

∴∠B＋C＝180°，

∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）

根据题目条件无法判定AD与BC平行

（2）如图，直线a,b被c所截，已知∠1＝120°，∠2＝60°，直线a,b平行吗？

为什么？

解：

a与b平行，

∵∠1＝∠3（对顶角相等）∠1＝120°（已知）

∴∠3＝120°

∵∠2＝60°

∴∠2＋3＝180°

∴a//b　（同旁内角互补，两直线平行）

（3）如图

①∵∠2=___（已知）

∴___∥___

②∵∠3=∠5（已知）

∴___∥___

③∵∠4+___=180o（已知）

∴___∥___

（4）.如图

①∵∠1=_____（已知）

∴AB∥CE

②∵∠1+_____=180o（已知）

∴CD∥BF

③∵∠1+∠5=180o（已知）

∴_____∥_____

④∵∠4+_____=180o（已知）

∴CE∥AB

（5）如图，已知：

∠1=75o,∠2=105o

问：

AB与CD平行吗？

为什么？

四、课后小结

判定平行线的方法：

（1）同位角相等，两直线平行

（2）内错角相等，两直线平行

（3）同旁内角互补，两直线平行

（4）如果两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行

§5.1平行线

第三课时：

平行线的性质

【教学目标】

1.了解平行线的性质

2.会用平行线的性质进行简单的推理和计算。

3.进一步训练培养学生的数学语言和探索精神。

【教学重点、难点】

重点：

掌握平行线的性质。

难点：

让学生学会叙述推理的过程

【教学过程】

一、复习提问、创设情境

1．请同学们说出通常判定两条直线平行的方法。

2．如图，由哪些角之间的关系可以判断a//b？

3．我们已知道如果直线a与b平行，那么他们一定不相交，那么两条平行线还具有什么性质呢？

为上，我们用第三条直线l去截平行线a,b，则截得的同位角、内错角、同旁内角分别有哪些关系？

二、探究新知，讲授新课

1．如图，已知直线a//b，其中的同位角关系如何？

相等？

互补？

还是不能确定？

由学生动手量得∠1，∠2的度数，得出结论：

∠1和∠2的度数相等。

再用多媒体演示，变动c的位置，a与b保持平行，此时测量得∠1，∠2的度数始终保持相等，

最后师生共同小结：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单地说：

两直线平行，同位角相等。

表述如下：

∵a∥b相等（已知），

∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）

2．用同样的可以得出：

两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。

两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单地说：

两直线平行，内错角相等。

两直线平行，同旁内角互补。

如图，∵a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）

∵a∥b，∴∠1+∠3=180°（两直线平行，同旁角互补）

3．例题教学

例1如图，已知直线a//b，∠1=50°，能否求出∠2、∠3、∠4的度数？

解：

∵a∥b，

∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）

∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等）

∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁角互补）

又∠1=50°

∴∠3=50°，∠4=50°，∠2=180°-50°=130°

例2如图，在四边形ABCD中，已知AB//CD，∠B=60°，能否求出∠A、∠C的度数？

解：

∵AB//CD（已知）

∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠B=60°，

∴∠C=180°-60°=120°

根据题目已知条件，不能判定AD与BC的关系，故无法求出∠A的度数。

例3已知AB//CD，∠1与∠2互余，试求出∠3的度数？

解：

由于∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2

又∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠1=∠2=45°

∵AB∥CD（已知），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）

∴∠3=45°

三、课后小结

平行线的性质同位角相等

两直线平行平行线的判定　内错角相等

　　　　　　　　　同旁内角互补

相交线与平行线复习课

知识技能目标

1．理解对顶角的基本概念，能进行相关运算；

2．巩固对垂线，平行线知识的理解和掌握，能解决一些实际问题.

过程性目标

让学生在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的意义,获取学习的经验．

教学过程

一．整理归纳

师：

今天我们一起将前面所学的内容归纳一下，想一想你学到了哪些知识（先给一段时间思考，同伴之间可以相互交流，老师可以作一些必要的提示）？

师：

当你想一个角时,你会联想到哪些的知识呢（学生讨论）？

师：

当想两个角时,你会联想到哪些的知识呢？

生：

当∠1+∠2＝90°时，∠1与∠2互余.反之也成立.

生：

当∠3+∠4＝180°时,∠3与∠4互补.反之也成立.

生：

当∠5与∠6是对顶角时,∠5＝∠6.反之不一定成立.

生：

在三线八角中可找出有位置关系的两角，同位角：

∠1与∠5,内错角：

∠2与∠6,同旁内角：

∠2与∠5．

师：

当我们既想“角”又想“线”时,你会联想到哪些所学的知识呢？

生：

当有“角”想“线”时，根据平行线的判定得：

同位角相等；两直线平行,内错角相等；两直线平行,同旁内角互补．

生：

当有“线”想“角”时，根据平行线的性质得：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，