新教材人教B版数学必修第二册教师用书第5章 513 数据的直观表示.docx
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新教材人教B版数学必修第二册教师用书第5章513数据的直观表示
5.1.3 数据的直观表示
学习目标
核心素养
1.了解柱形图、折线图、扇形图的定义.(一般)
2.能够利用茎叶图解决实际问题.(重点)
3.会列频数分布直方图,会列频率分布直方图.(难点)
1.通过频率分布直方图及频率分布折线图的学习,培养数据分析的核心素养.
2.借助茎叶图及频率分布直方图解决实际问题,提升数学运算的核心素养.
1.柱形图
一般地,柱形图中,一条轴上显示的是所关注的数据类型,另一条轴上对应的是数量、个数或者比例,柱形图中每一矩形都是等宽的.
2.折线图
一般地,如果数据是随时间变化的,想了解数据的变化情况,可将数据用折线图来表示.
3.扇形图
扇形图也称为饼图、饼形图,它可以形象的表示各部分数据在全部数据中所占的比例情况.扇形图中,每一个扇形的圆心角以及弧长,都与这一部分表示的数据大小成正比.
4.茎叶图
(1)定义将所有两位数的十位数字作为茎,个位数字作为叶,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出,共茎的叶可以按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出(也可以没有大小顺序).
(2)茎叶图的优点与不足
①优点:
一是原始数据信息在图中能够保留,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.
②不足:
当样本数据较多时,茎叶图就显得不太方便.
思考1:
一般情况下,茎叶图中的“茎”“叶”分别指哪些数?
[提示] “叶”是数据的最后一个数字,其前面的数字作为“茎”.
5.作直方图步骤
(1)找出最值,计算极差.
(2)合理分组,确定区间.
(3)整理数据.
(4)作出有关图示.
思考2:
频率分布表与频率分布直方图各有什么特点?
[提示] 频率分布表反映具体数据在各个不同区间的取值频率,但不直观,数据的总体态势不明显.频率分布直方图能直观地表明数据分布的形状态势,但失去了原始数据.
1.一个容量为80的样本中,数据的最大值为152,最小值为60,组距为10,应将样本数据分为( )
A.10组 B.9组
C.8组D.7组
A [由题意可知,
=9.2,故应将数据分为10组.]
2.四种统计图:
①条形图;②扇形图;③折线图;④直方图.四个特点:
(a)易于比较数据之间的差异;(b)易于显示各组之间的频数的差别;(c)易于显示数据的变化趋势;(d)易于显示每组数据相对于总数的大小.统计图与特点选配方案分别是:
①与(a);②与(c);③与(d);④与(b).其中选配方案正确的有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
B [条形图易于比较数据之间的差异,故①与(a);
扇形图易于显示每组数据相对于总数的大小,故②与(d);
折线图易于显示数据的变化趋势,故③与(c);
直方图易于显示各组之间的频数的差别,故④与(b).
正确的有2个,故选B.]
3.关于如图所示的统计图中(单位:
万元),下列说法正确的是( )
A.第一季度总产值4.5万元
B.第二季度平均产值6万元
C.第二季度比第一季度增加5.8万元
D.第二季度比第一季度增长33.5%
C [依次分析选项可得:
A.第一季度总产值3+4+4.5=11.5万元,错误;
B.第二季度平均产值为
≈5.77万元,错误;
C.第二季度比第一季度增加(4.5+6+6.8)-(3+4+4.5)=5.8万元,正确;
D.第二季度比第一季度增长
≈50%,错误;故选C.]
4.如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位:
分),则优秀率(90分以上)是________,最低分是________.
5
15
6
034467889
7
3555679
8
023357
9
1
4% 51 [由茎叶图知,样本容量为25,90分以上的有1人,故优秀率为
=4%,最低分为51分.]
条形图、折线图、扇形图的应用
【例1】 现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等,视力日渐减退,某市为了了解学生的视力变化情况,从全市九年级随机抽取了1500名学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图,并对视力下降的主要因素进行调查,制成扇形统计图.
解答下列问题:
(1)图中D所在扇形的圆心角度数为________.
(2)若2019年全市共有30000名九年级学生,请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名?
(3)根据扇形统计图信息,你觉得中学生应该如何保护视力?
[思路探究]
(1)由扇形统计图中的数据求出D占的百分比,乘以360°即可得到结果;
(2)由样本中视力在4.9以下的人数占的百分比,乘以30000即可得到结果;(3)根据扇形统计图中影响视力的因素,提出合理化建议即可.
[解]
(1)根据题意得:
360°×(1-40%-25%-20%)=54°.
(2)根据题意得:
30000×
=16000(名),则估计视力在4.9以下的学生约有16000名.
(3)建议中学生应少看电视,少玩游戏,少看手机,才能保护视力.
1.扇形统计图的特点
(1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比.
(2)易于显示每组数据相对于总数的大小.
2.条形统计图的特点
(1)条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目.
(2)易于比较数据之间的差别.
3.折线统计图的特点
(1)能清楚地反映事物的变化情况.
(2)显示数据变化趋势.
1.某校公布了该校反映各年级学生体育达标情况的两张统计图(如图),该校七、八、九三个年级共有学生800人,甲、乙、丙三个同学看了这两张统计图后,甲说:
“七年级的体育达标率最高”.乙说:
“八年级共有学生264人.”丙说:
“九年级的体育达标率最高.”甲、乙、丙三个同学中,说法正确的是( )
A.甲和乙 B.乙和丙
C.甲和丙D.甲、乙和丙
B [由扇形统计图可以看出:
八年级共有学生800×33%=264人;
七年级的达标率为
×100%≈87.8%;
九年级的达标率为
×100%≈97.9%;
八年级的达标率为
×100%≈94.7%.
则九年级的达标率最高.则乙、丙的说法是正确的,故选B.]
茎叶图及其应用
【例2】 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验.两种小麦各种植了25亩,所得亩产量数据(单位:
千克)如下:
品种A:
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.
品种B:
363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.
(1)画出茎叶图;
(2)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点?
(3)通过观察茎叶图,对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较,得出统计结论.
[解]
(1)茎叶图如图.
(2)样本容量不大,画茎叶图很方便,此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情况,便于比较,没有任何信息丢失,而且还可以随时记录新的数据.
(3)通过观察茎叶图可以看出:
①品种A亩产量的平均数比品种B亩产量的平均数大;
②品种A的亩产量波动比品种B的亩产量波动大,故品种A的亩产量稳定性较差.
1.绘制茎叶图关键是分清茎和叶.一般地说,当数据是两位数时,十位上的数字为“茎”,个位上的数字为“叶”;如果是小数,通常把整数部分作为“茎”,小数部分作为“叶”.解题时要根据数据的特点合理地选择茎和叶.
2.应用茎叶图可以对两组数据进行比较,画图时,要找到两组数据共同的茎,分析时要从数据分布的对称性、中位数、稳定性等方面比较.
3.茎叶图的优点是保留了原始信息,并可以随时记录数据,但当样本容量较大时就不适合了.
2.如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,若乙的平均分是89,则污损的数字是________.
3 [设污损的叶对应的成绩为x,由茎叶图可得,89×5=83+83+87+x+90+99,∴x=3.故污损的数字是3.]
频率分布直方图的绘制及应用
[探究问题]
1.我们抽取样本的目的是什么?
把抽出的样本数据做成频率分布表,需要对数据做什么工作?
[提示] 用样本去估计总体,为决策提供依据.分组、频数累计、计算频数和频率.
2.画频率分布直方图时,如何决定组数与组距?
[提示] 组数与样本容量大小有关,当样本容量不超过100时,按数据的多少,常分成5~12组,组距的选择应力求取整,一般运用“
=组数”.
3.同一组数据,如果组距不同,得到的频率分布直方图相同吗?
[提示] 不相同.对同一组数据,不同的组距与组数对结果有一定的影响.
4.频率分布直方图的纵轴表示频率吗?
[提示] 不.表示
.
【例3】 某省为了了解和掌握2019年高考考生的实际答卷情况,随机地取出了100名考生的数学成绩,数据如下:
(单位:
分)
135 98 102 110 99 121 110 96 100 103
1259711711311092102109104112
1051248713197102123104104128
10912311110310592114108104102
12912697100115111106117104109
1118911012180120121104108118
12999909912112310711191100
991011169710210810195107101
1021081179911810611997126108
12311998121101113102103104108
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和折线图;
(3)估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例.
[思路探究] 先求极差.根据极差与数据个数确定组距、组数,然后按频率分布直方图的画法绘制图形.
[解] 100个数据中,最大值为135,最小值为80,极差为135-80=55.取组距为5,则组数为
=11.
(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
频率/组距
[80,85)
1
0.01
0.002
[85,90)
2
0.02
0.004
[90,95)
4
0.04
0.008
[95,100)
14
0.14
0.028
[100,105)
24
0.24
0.048
[105,110)
15
0.15
0.030
[110,115)
12
0.12
0.024
[115,120)
9
0.09
0.018
[120,125)
11
0.11
0.022
[125,130)
6
0.06
0.012
[130,135]
2
0.02
0.004
合计
100
1.00
0.200
注:
表中加上“频率/组距”一列,这是为画频率分布直方图准备的,因为它是频率分布直方图的纵坐标.
(2)根据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图,如图所示:
(3)从频率分布表中可知,这100名考生的数学成绩在[100,120)分之间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生数学成绩在[100,120)分之间的比例为60%.(0.60=60%)
1.在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系
(1)若
为整数,则
=组数;
(2)若
不为整数,则
的整数部分+1=组数.
2.组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少都会影响了解数据的分布情况,若样本容量不超过100,按照数据的多少常分为5~12组,一般样本容量越大,所分组数越多.
3.有一容量为200的样本,数据的分组以及各组的频数如下:
[-20,-15),7;[-15,-10),11;[-10,-5),15;[-5,0),40;[0,5),49;[5,10),41;[10,15),20;[15,20],17.
(1)列出样本的频率分布表;
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图;
(3)求样本数据不足0的频率.
[解]
(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
[-20,-15)
7
0.035
[-15,-10)
11
0.055
[-10,-5)
15
0.075
[-5,0)
40
0.200
[0,5)
49
0.245
[5,10)
41
0.205
[10,15)
20
0.100
[15,20]
17
0.085
合计
200
1.000
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示:
(3)样本数据不足0的频率为:
0.035+0.055+0.075+0.200=0.365.
(教师独具)
1.本节课的重点是会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图,难点是理解用样本的频率分布估计总体分布的方法.
2.本节课要重点掌握的规律方法
(1)绘制频率分布直方图的步骤.
(2)绘制茎叶图的步骤及其意义.
(3)会应用频率分布直方图的意义解决问题.
3.本节课的易错点
将频率分布直方图中的纵轴的单位看错而致错,是本节课的主要易错点.
1.思考辨析
(1)样本容量越大,估计的越准确.( )
(2)频率分布直方图的纵轴表示频率.( )
(3)茎叶图不能增加数据.( )
[答案]
(1)√
(2)× (3)×
2.某市广播电视局欲招聘播音员一名,对A,B两名候选人进行了两项素质测试,两人的两项测试成绩如下表所示.根据实际需要,广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3∶2的比例计算两人的总成绩,那么________(填A或B)将被录用.
测试项目
测试成绩
A
B
面试
90
95
综合知识测试
85
80
B [A的成绩=(90×3+85×2)÷5=88(分),B的成绩=(95×3+80×2)÷5=89(分).因此B将被录用.]
3.某中学高二
(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来,每次数学考试成绩情况如下:
甲:
95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107;
乙:
83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.
画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
[解] 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示:
从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是98;甲同学的得分情况,也大致对称,中位数是88.乙同学的成绩比较稳定,总体情况比甲同学好.