中国农业发展的数学模型.docx

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中国农业发展的数学模型

中国农业发展方向研究模型

摘要

本文针中国农业发展方向问题，综合运用了数形结合、层次分析法、灰色预测、灵敏度分析等方法分别构建了层次分析、灰色预测、正态分布等模型，利用Excel、Matlab软件，对影响我国未来农业发展四个因素影响大小进行排序，预测未来三年全国主要粮食作物（水稻、小麦、玉米、豆类）的产量，分析了全国几大地区粮食分布特征，并得出历年粮食产量服从正态分布。

本文还做了误差分析及灵敏度分析，以及对原有的模型进行了进一步改进。

针对问题一，通过Matlab运用层次分析法建立数学模型来分析四个因素对我国未来农业发展影响大小。

根据我国农业的发展状况将排序问题分解为3个层，最上层为目标层即我国未来农业的发展，中间层为准则层，最下层为四个方案层，分别构建比较判别矩阵。

最终得到缺水、地少对我国未来农业发展影响最大，其次分别到仍有2亿人口的粮食不能自给，再次是农村贫困人口生活问题，农转非，城市化建设在这四个之中对我国未来农业发展的影响相差不大。

针对问题二，以1991年到2011年的水稻、小麦、玉米和1991年到2011年的豆类产量为参考，通过灰色预测，得到2012年到2015年水稻、小麦、玉米和豆类的产量。

并计算均方差比值，从而判断相对误差是否符合标准。

运用Matlab求解得未来三年水稻、小麦、玉米、大豆产量为119462.86、19546.11、19629.72万吨11540.92、11651.70、11763.54万吨19210.35、19897.95、20610.17万吨2083.77、2096.06、2108.43万吨。

问题三利用问题一和问题二的模型，分析我国农村目前的状况以及粮食分布特征；用Excel作图分析全国主要粮食产量比例及各地区粮食结构，并通过频率直方图判断我国历年粮食产量服从的分布，通过Matlab进行正态性检验。

得到我国历年粮食产量服从正态分布。

综合前三个问题的模型和所得到的结论，分别从农业机械化、农业特色化、农业信息化与生态农业四个方面对我国未来农业发展方向做了分析报告。

本文还对模型进行了误差分析与灵敏度分析。

并把四个因素对我国未来农业的发展具体影响系数考虑进来，以此对层次分析模型进行改进。

最后还对模型作出更深层次的推广。

关键词：

中国农业发展方向；层次分析法；灰色预测；正态分布；灵敏度分析；Matlab

§1问题的重述

一、背景知识

1.农业

农业（Agriculture）为通过培育动植物生产食品及工业原料的产业。

农业属于第一产业，农业是支撑国民经济建设与发展的基础产品。

温家宝总理在2013年政府工作报告中总结了五年来我国农村工作及特点：

“毫不放松地抓好‘三农’工作，巩固和加强农业基础地位。

我们坚持在工业化、信息化、城镇化深入发展中同步推进农业现代化，集中力量办成了一些关系农业农村长远发展、关系农民切身利益的大事。

2.粮食

国务院发展研究中心副主任韩俊在“中国县域经济发展高层论坛”上表示，虽然国家粮食产量九连增，但是粮食供求总量趋紧，而且结构性矛盾越来越突出，粮食自给率已经跌破90%。

如果按一个人一年吃800斤粮食，去年相当于进口粮食养活了1.9亿中国人。

我国粮食的主要作物有水稻，小麦，玉米三种。

三种作物的分布以及播种面积直接会影响到我国粮食的总产量。

近年来，受到城镇化发展导致耕地面积的减少以及环境的恶化造成粮食总产量的增长缓慢。

一般来说，单一作物总产量由于供需关系受到价格杠杆的调控，增长率会受到自身产量的阻滞。

二、相关数据

1．全国1978年至2011年主要粮食产量（详见中国统计年鉴2012）；

2．2011年各省与直辖市主要粮食产量（详见中国统计年鉴2012）；

3．附录3：

进口粮食养活了1.9亿中国人。

三、要解决的问题

1.问题一：

目前我国农村亟待解决的问题有：

（1）仍有2亿人口的粮食不能自给；

（2）缺水，地少；（3）农村贫困人口生活问题；（4）农转非，城市化建设。

请建立数学模型，并给出它们对我国未来农业发展影响大小的排序。

2.问题二：

建立粮食总产量的数学模型，在特定的假设下，预测我国未来三年主要粮食产量（水稻，小麦，玉米，豆类等）；

3.问题三：

利用以上模型，分析我国农村目前的状况以及粮食分布特征；

4.问题四：

写一篇我国农业未来发展方向的分析报告（1000字左右）。

§2问题的分析

一、问题的总分析

中国农业未来的发展已成为越来越多人关注的问题。

政府工作报告以及进口粮食的增加提醒着我们要关注我国农业未来的发展方向。

农业未来发展与仍有2亿人口的粮食不能自给；缺水，地少；农村贫困人口生活问题和农转非，城市化建设等因素有关，这些因素的影响大小如何，以及我国未来三年主要粮食产量、我国农村目前的状况、我国粮食分布特征都是需要解决的问题。

二、对具体问题的分析

1．对问题一的分析

问题一要求建立数学模型来分析仍有2亿人口的粮食不能自给；缺水，地少；农村贫困人口生活问题；农转非，城市化建设四个因素对我国未来农业发展影响大小。

根据我国农业的发展状况将排序问题分解为3个层，最上层为目标层即我国未来农业的发展，中间层为准则层，最下层为四个方案层。

运用层次分析法解决问题。

2．对问题二的分析

问题二要求建立粮食总产量的数学模型，在特定的假设下，预测我国未来

三年主要粮食产量。

以1991年到2011年的水稻、小麦、玉米和1991年到2011年的豆类产量为参考，可通过灰色预测，得到2012年到2015年水稻、小麦、玉米和豆类的产量。

3．对问题三的分析

问题要求利用问题一和问题二的模型，分析我国农村目前的状况以及粮食分布特征；通过问题一解决了四个因素对我国未来农业发展影响，问题二预测我国未来三年主要粮食产量，可以分析出我国农村目前的状况。

分析全国主要粮食产量比例及各地区粮食结构，并分析我国历年粮食产量服从的分布，得到我国粮食分布特征。

4．我国农业未来发展方向的分析报告

综合前三个问题的模型和所得到的结论，分别从农业机械化、农业特色化、农业信息化与生态农业四个方面对我国未来农业发展方向做了分析报告。

§3模型的假设

1．模型二中假设在未来的三年没有百年不遇的特大旱灾涝灾等；

2．预测的时间段比较接近，与已有数据所确定时间相差不大；

3．不考虑自然因素对农业的影响。

§4名词解释与符号说明

一、名词解释

1．层次分析法：

简称AHP，是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

2．灰色预测：

通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。

3．灰色关联度：

指在系统发展过程中，如果两个因素变化的态势是一致的，即同步变化程度较高，则可以认为两者关联较大；反之，则两者关联度较小。

二、符号说明

序号

符号

符号说明

1

用水量对用电量的影响系数

2

小区各季度用电量的参考数列，其中

3

小区各季度用水量的比较数列，其中

4

小区各季度用电量的均值，其中

5

小区各季度用水量的均值，其中

6

小区各季度用电量的均值化数据，其中

7

小区用水量与用电量的灰关联度，其中

8

节水设备的安装成本

9

节水设备每年的维护费用

10

节水设备的功率

11

节水设备的总成本

12

某家庭年度所用水费的价格

13

某家庭年度所用电费的价格

14

节水设备的使用寿命

15

节水设备的使用总时间

16

使用节水设备后节省的总费用

17

使用节水设备获得的总收益

§5模型的建立与求解

一、问题一的分析与求解

1．问题的分析

问题一要求建立数学模型来分析仍有2亿人口的粮食不能自给；缺水，地少；农村贫困人口生活问题；农转非，城市化建设四个因素对我国未来农业发展影响大小。

根据我国农业的发展状况将排序问题分解为3个层，最上层为目标层即我国未来农业的发展，中间层为准则层，即经济体制与政策、农业资源与生态环境、农产品需求、农业劳动力、农业科技、农业投资、经济全球化7个准则。

最下层为方案层：

仍有2亿人口的粮食不能自给、缺水，地少、农村贫困人口生活问题、农转非，城市化建设。

通过相互比较确定个准则层的对目标的权重及各方案对于每一个准则层的权重，综合分析得出我国未来农业发展影响大小的排序.

2．模型的准备

针对问题的分析，下面将建模思路以流程图形式展现出来（见图1）

图1层次分析模型建立与排序流程图

3．模型的建立与求解

模型Ⅰ层次分析模型

（1）建立方案评价的递阶层次结构模型

如何权衡或区分影响目前我国农村亟待解决的问题对我国未来农业的发展，根据复杂程度，可分为:

经济体制与政策、农业资源与生态环境、农产品需求、农业劳动力、农业科技、农业投资、经济全球化七个为准则层。

其中“经济体制政策”为适应发展社会主义市场经济要求的农村新经济体制框架，以公有制为主体、多种所有制经济共同发展的基本经济制度。

“农业资源与生态环境”其中农业资源是农业发展的基础主要包括耕地、淡水资源等，而生态环境是农业发展至关重要的客观条件，来自工业的“三废”污染，以及农业生产过程中不合理地过量施用化肥、农药对环境的污染，致使农业生态环境日益恶化何实现农业可持续发展将是未来我国农业发展面临的最大难题。

该模型最高一层为总目标A：

我国未来农业发展；第二层为方案评价的准则层，它包含7个原则：

：

经济体制改革、

：

农业资源与生态环境、

：

农产品需求、

：

农业劳动力、

：

农业科技、

：

农业投资、

：

经济全球化。

最底层为方案层，它包含

四种方案，其层次结构模型如图2：

图2影响农业发展的递阶层次结构

（2）构造比较判断矩阵

设以

为比较准则，

层次各因素两两比较判断矩阵

；类似地，以每一个

为比较准则，P层次各因素的两两比较判断矩阵为

可得到8个比较判断矩阵。

用Matlab求解对于总目标

有表1（具体程序见附录程序1）：

表1总目标的比较判断矩阵

A

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

W1

B1

1

1/3

2

4

3

1/3

5

0.148

B2

3

1

3

7

7

3

9

0.376

B3

1/2

1/3

1

5

3

1/3

5

0.130

B4

1/4

1/7

1/5

1

1

1/5

1/2

0.037

B5

1/3

1/7

1/3

1

1

1/3

1

0.047

B6

3

1/3

3

5

3

1

5

0.220

B7

1/5

1/9

1/5

2

1

1/5

1

0.043

并得到最大特征值λmax=7.4034，一致性指标CI=0.0672，一致性比例CR=0.0509<0.1，符合满意一致性要求。

综合四种影响因素对七个原则的影响，得到第三层相对第二层的各个比较判断矩阵。

对于准则1经济体制与政策，有表2（具体程序见附录程序2）：

表2准则1的比较判断矩阵

B1

P1

P3

P4

W11

P1

1

1

3

0.4055

P3

1

1

5

0.4796

P4

1/3

1/5

1

0.1150

并得到最大特征值

=3.0291,一致性指标CI=0.0146,一致性比例CR=0.0251<0.1，符合满意一致性要求。

对于准则2农业资源与生态环境，有表3（具体程序见附录程序3）：

表3准则2的比较判断矩阵

B2

P1

P2

P3

W12

P1

1

1

1

0.3275

P2

1

1

2

0.4111

P3

1

1/2

1

0.2611

并得到最大特征值

=3.0537,一致性指标CI=0.0268,一致性比例CR=0.0462<0.1，符合满意一致性要求。

对于准则3农产品需求，有表4（具体程序见附录程序4）：

表4准则3的比较判断矩阵

B3

P1

P2

P3

P4

W13

P1

1

2

2

1/3

0.2401

P2

1/2

1

3

1/2

0.2053

P3

1/3

1/2

1

1/3

0.1040

P4

3

2

3

1

0.4507

并得到最大特征值

=4.2074,一致性指标CI=0.0691,一致性比例CR=0.0735<0.1，符合满意一致性要求。

对于准则4农业劳动力，有表5（具体程序见附录程序5）：

表5准则4的比较判断矩阵

B4

P1

P2

P3

W14

P1

1

1/2

1

0.2409

P2

2

1

3

0.5485

P3

1

1/3

1

0.2106

并得到最大特征值

=3.0183,一致性指标CI=0.0092,一致性比例CR=0.0158<0.1，符合满意一致性要求。

对于准则5农业科技，有表6（具体程序见附录程序6）：

表6准则5的比较判断矩阵

B5

P2

P3

P4

W15

P2

1

5

2

0.5696

P3

1/5

1

1/4

0.0982

P4

1/2

4

1

0.3339

得到最大特征值

=3.0247,一致性指标CI=0.0123,一致性比例CR=0.0213<0.1，符合满意一致性要求。

对于准则6农业投资，有表7（具体程序见附录程序7）：

表7准则6的比较判断矩阵

B6

P1

P2

P3

W16

P1

1

1/3

1

0.2106

P2

3

1

2

0.5485

P3

1

1/2

1

0.2409

得到最大特征值

=3.0183,一致性指标CI=0.0092,一致性比例CR=0.0158<0.1，符合满意一致性要求。

对于准则7经济全球化，有表8（具体程序见附录程序8）：

表8准则7的比较判断矩阵

B7

P1

P2

P3

P4

W17

P1

1

1

2

7

0.4035

P2

1

1

2

4

0.3458

P3

1/2

1/2

1

1

0.1536

P4

1/7

1/4

1

1

0.0971

得到最大特征值

=4.1547,一致性指标CI=0.0516,一致性比例CR=0.0548<0.1，符合满意一致性要求。

（3）在单准则下的排序及一致性检验

对于上述各比较判断矩阵，用Matlab数学软件求出其最大的特征值及其对应的特征向量，将特征向量经归一化后，即可得到相应的层次单排序的相对重要性权重向量，以及一致性指标CI和一致性比例CR（具体程序见附录程序9），见表9：

表9四种方案总排序结果

矩阵

层次单排序的权重向量

CI

RI

CR

A-B

（0.148,0.376,0.130,0.037,0.047，0.220,0.043）T

7.4034

0.0672

1.32

0.0509

B1-P

（0.4055,0.4796,0.1150）T

3.0291

0.0146

0.58

0.0251

B2-P

（0.3275,0.4111,0.2611）T

3.0537

0.0268

0.58

0.0462

B3-P

（0.2401,0.2053,0.1040,0.4507）T

4.2074

0.0691

0.94

0.0735

B4-P

（0.2409,0.5485,0.2106）T

3.0183

0.0092

0.58

0.0158

B5-P

（0.5696,0.0982,0.3339）T

3.0247

0.0123

0.58

0.0213

B6-P

（0.2106，0.5485,0.2409）T

3.0183

0.0092

0.58

0.0158

B7-P

（0.4035,0.3458,0.1536,0.0971）T

4.1547

0.0516

0.94

0.0548

由此可见，所有层次单排序的CR的值均小于0.1，符合满意一致性要求。

⑷层次总的排序及选优（具体程序见附录程序10）

已知准则层（B层）相对于总目标A的排序向量为

而方案层（P层）以准则层第i个因素Bi为准则时的排序向量分别为：

则第三层（P层）相对于总目标的排序向量为：

得到

进行层次总排序的一致性检验

其中：

总排序一致性通过，排序可靠。

（5）结论

根据我国未来农业发展这一总目标，所考虑的目前我国农村亟待解决的四个问题对这一总目标的影响大小的排序：

1缺水、地少。

影响系数为0.3639；

2仍有2亿人口的粮食不能自给。

影响系数为0.2870；

3农村贫困人口生活问题。

影响系数为0.2547；

4农转非，城市化建设。

影响系数为0.0955；

故缺水、地少对我国未来农业发展影响最大，其次分别到仍有2亿人口的粮食不能自给，再次是农村贫困人口生活问题，农转非，城市化建设在这四个之中对我国未来农业发展的影响相差不大。

二、问题二的分析与求解

1．问题的分析

问题二要求建立粮食总产量的数学模型，在特定的假设下，预测我国未来

三年主要粮食产量。

以1991年到2011年的水稻、小麦、玉米和1991年到2011年的豆类产量为参考，通过灰色预测，得到2012年到2015年水稻、小麦、玉米和豆类的产量。

并计算均方差比值，从而判断相对误差是否符合标准。

2．模型的准备

针对问题的分析，下面将建模思路以流程图形式展现出来（见图3）。

图3粮食产量灰色预测流程图

3．模型的建立与求解

模型Ⅱ灰色预测模型

（1）数据的检验与处理

①对水稻数据的检验与处理

设从1991年到2011年的水稻产量为参考数列（具体数值见附录附表1）

计算数列的极比

计算得所有的级比

分别为：

0.987063827，1.049055286，1.008986375，0.949828858，0.949376918，0.971942583，1.010174473，1.0011371，1.05630211，1.058156226，1.017427674，1.086413882，0.897078265，0.991689566，0.993781952，0.976801487，0.969454204，0.983560963，0.996638353，0.973930939都落在可容覆盖

即（0.909156,1.099921）内，则数列

可以作为模型GM（1，1）进行数据灰色预测

②对小麦数据的检验与处理

设从1991年到2011年的小麦产量为参考数列（具体数值见附录附表1）

计算数列的极比

计算得所有的级比

分别为0.944540148，0.95485478，1.071432168，…，0.976970587，0.99942969，0.981089498都落在可容覆盖

即（0.909156,1.099921）内，则数列

可以作为模型GM（1，1）进行数据灰色预测

③对玉米数据的检验与处理

设从1991年到2011年的玉米产量为参考数列（具体数值见附录附表1）

计算数列的极比

计算得所有的级比

分别为1.035540924，0.928717479，1.034540418，…，1.011833266，0.925123333，0.919411511都落在可容覆盖

即（0.909156,1.099921）内，则数列

可以作为模型GM（1，1）进行数据灰色预测。

④对大豆数据的检验与处理

设从1991年到2011年的玉米产量为参考数列（具体数值见附录附表1）

计算数列的极比

计算得所有的级比

分别为0.996086262,0.641919606,0.930711968,…,1.058535071,1.017800122,0.99377572不都落在可容覆盖

内，由于1992年大豆产量与1993年极比很小，为0.641919606，而后面年份的大豆极比正常，说明1993年因为一些原因导致大豆增产，因此就整体数据来说1991年和1992年的生产技术相对落后，数据要舍去。

从1993年到2011年的玉米产量为参考数列（具体数值见附录附表1）

计算数列的极比

计算得所有的级比

分别为0.930711968，1.172363636，0.998436016,…,1.058535071,1.017800122,0.99377572,都落在可容覆盖

即（0.904837,1.105171）内，则此时数列

可以作为模型GM（1，1）进行数据灰色预测。

（2）建立模型GM（1，1）

①已知从1991年到2011年的水稻产量为参考数列

做1次累加（AGO）生成数列

求均值数列

。

建立灰微分方程

且有

，最终得到2012年到2015年水稻产量的预测值

还原得到

运用matlab求解得到2012年到2015年水稻产量灰色预测值为19379.96、19462.86、19546.11、19629.72万吨（具体程序见附录程序11）；

②同理求得2012年到2015年小麦产量灰色预测值为11431.19、11540.92、11651.70、11763.54万吨；

③同理求得2012年到2015年玉米产量灰色预测值为18546.51、19210.35、19897.95、20610.17万吨；

④同理求得2012年到2015年大豆产量灰色预测值为2071.55、2083.77、2096.06、2108.43万吨。

（3）检验预测值

计算残差

残差的均值

残差方差

原始数据的均值

原始数据方差

表10精度检验等级参照表

相对误差

均方差比值

小误差概率

一级

0.01

0.35

0.95

二级

0.05

0.50

0.80

三级

0.10

0.65

0.70

四级

0.20

0.80

0.60

且相对误差小于0.2则达到一般要求，相对误差小于0.1达到较高要求。

令

称为均方差比值则有

（具体程序见附录程序11）

通过Matlab计算得水稻产量的均方差比值

为0.7568，相对误差小于0.2，即达到一般要求。

所以该预测值是可靠的；

通过Matlab计算得小麦产量的均方差比值

为0.7173，相对误差小于0.2，即达到一般要求。

所以该预测值是可靠的；

通过Matlab计算得水稻产量的均方差比值

为0.3365，相对误差小于0.05，即达到较高要求。

所以该预测值是可靠的；

通过Matlab计算得水稻产量的均方差比值

为0.7751，相对误差小于0.2，即达到一般要求。

所以该预测值是可靠的。

三、问题三的分析与求解

1．问题的分析

问题要求利用问题一和问题二的模型，分析我国农村目前的状况以及粮食分布特征；问题一解决了2亿人口的粮食不能自给；缺水，地少；农村贫困人口生活问题；农转非，城市化建设四个因素对我国未来农业发展影响，问题二预测我国未来三年主要粮食产量。

从而可以分析出我国农村目前的状况。

分析全国主要粮食产量比例及各地区粮食结构，并分析我国历