集总参数滤波器的原理与设计.docx
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集总参数滤波器的原理与设计
集总参数滤波器的原理与设计
一、实验目的
1．了解低通、带通与高通滤波器之工作原理；
2．了解低通、带通与高通滤波器之电路架构；
3．实际设计制作低通、带通与高通滤波器。
二、实验原理
顾名思义滤波器的用途就是用以过滤信号，选择部分信号予以通过；至于信号的通过与否取决于信号的频率，故滤波器依其信号筛检的方式，可分为低通滤波器（Low-passFilter,LPF）、高通滤波器（High-passFilter,HPF）、带通滤波器（BandpassFilter,BPF），与带阻滤波器（Band-rejectFilter,BRF）等四种型式，本章将介绍滤波器的重要规格及低通、带通与高通滤波器的原理，并分别设计出低通、带通与高通滤波器。
图13-1为低通、高通、带通和带阻滤波器之理想振幅频率响应曲线，但由于所选用之组件及特性不尽相同，故设计所得之实际滤波电路的特性与理想值会有相当大的差距，而两者的差异必须用适当的特性参数来规范，同时用来作为设计滤波电路的依据。
图13-2所示为一个带通滤波器之实际振幅的频率响应，用以说明相关的特性参数。
图13-1理想滤波器的频率响应
图13-2带通滤波器振幅频率响应
（一）低通滤波器之工作原理
一个可以让DC至ωc之信号频率通过而抑止高于ωc之信号频率的电路，其所呈现出之特性就如同一个低通滤波器一样，如图13-1（a）所示。
我们知道当频率极低时，电感就像零阻抗组件，而电容则像阻抗无限大的开路；相反地，当频率极高时，电感就像阻抗无限大的开路，电容则是零阻抗组件。
所以最简单的低通滤波器如图13-3（a）所示，高频讯号因电感的高阻抗而被反射，即使有部分的讯号通过电感，也会被电容导往接地区（Ground）。
而其转移函数（TransferFunction）可表示为：
图13-3低通滤波器
其中
同理可知，图13-3（b）亦是低通滤波器。
在图13-3所示的低通滤波器中，由于是用两个被动组件所组成，故称为二阶滤波器。
同理，滤波器亦可由多个电容电感组件所组成，而形成三阶、四阶…，甚至十阶等滤波器。
1.巴特渥斯滤波器
巴特渥斯滤波器（ButterworthFilter）的特性是在其通带（Passband）内有最佳的平坦度，所以巴特渥斯滤波器亦称为最佳平坦度滤波器；但其在截止带（Stopband）内会有涟波的现象，且过渡频带（TransitionBand）的衰减变化也不够陡峭。
图13-4所示为一个典型的巴特渥斯低通滤波器的频率响应，而描述巴特渥斯滤波器的数学式为：
其中AdB代表衰减量；ω代表设计滤波器时，在ω所需之衰减量；ωc代表3dB频
宽或截止频率（CutoffFrequency）。
一般而言，当ω=ωc时，AdB必须等于3，所以k=1.图13-5所示为由上式所获得的巴特渥斯滤波器衰减特性图。
图13-4巴特渥斯低通滤波器之频率响应
图13-5巴特渥斯滤波器衰减特性图
2.切比雪夫滤波器
切比雪夫滤波器（ChebyshevFilter）的特性是在其通带（Passband）内有大小相同的涟波，所以切比雪夫滤波器又称为相同涟波（EqualRipple）滤波器；但其在截止带（Stopband）内不会有任何的涟波现象，且TransitionBand的衰减变化比巴特渥斯来得陡峭多，如图13-6所示，但在所有滤波器种类中，它的衰减量还不算是最陡峭的，最陡峭是属于Elliptic滤波器。
图13-7所示为典型的切比雪夫低通滤波器的频率响应，而描述切比雪夫的数学式为：
其中AdB代表衰减量；
为切比雪夫多项式，它的大小在±1内变化；k2决
定了滤波器涟波的大小。
图13-8所示为涟波分别为0.01dB的切比雪夫滤波器衰减特性图
图13-6巴特渥斯与切比雪夫低通滤波器之频率响应比较图
图13-7典型的切比雪夫低通滤波器之频率响应图
图13-8涟波为0.01dB的切比雪夫滤波器衰减特性图
（二）高通滤波器之工作原理
一个可以让高于ωc之信号频率通过而抑止低于ωc之信号频率的电路，其所呈现出之特性就如同一个高通滤波器一样，如图13-1（b）所示。
如同低通滤波器的分析方式，也就是当频率很低时，电感可视为短路，而电容则视为开路；相反地，当频率极高时，电感就像开路，电容则有短路的效果。
图13-9高通滤波器
所以最简易的高通滤波器如图13-9（a）所示，低频讯号因电容的高阻抗而被反射，即使有部分的讯号通过电容，也会被电感旁路导至接地。
而其转移函数（TransferFunction）可表示为：
其中
同理可知，图13-9（b）所示是一个L-C型态的低通滤波器。
将图13-9的高通滤波器与图13-3的低通滤波器相互比较后，我们会发现彼此之间的差别只有电容和电感的互换而已，因此高通滤波器电路设计之基本观念和低通滤波器是相当的类似。
此外，和低通滤波器一样，高通滤波器也可以因为电容及电感组件组成的多寡而形成二阶及三阶等高阶滤波器。
（三）带通滤波器之工作原理
一个可以让有限频带信号频率通过而抑止此频带外之信号频率的电路，其所呈现出之特性就如同一个带通滤波器一样，如图13-1（c）所示。
运用谐振电路的观念，可知当讯号频率等于L-C串联谐振电路的共振频率fr时，其阻抗为零；又当讯号频率等于L-C并联谐振电路的共振频率fr时，其阻抗为无限大。
所以依照前章所讨论的低通滤波器及的分析方式，可知最简易的带通滤波器如图13-10所示，其各谐振电路的共振频率rf皆位于带通滤波器的通带（Passband）内，所以当讯号频率介于带通频带内，讯号会顺利地通过，其余的皆会被吸收或反弹。
图13-11所示为带通滤波器之频率响应图，由图可知当讯号频率小于带通滤波器的f1时，此带通滤波器可视为一个允许频率大于f3的讯号通过的高通滤波器；而当讯号频率大于带通滤波器的f2时，其可视为一个允许频率小于4f的讯号通过的低通滤波器。
此外在图13-10中，带通滤波器是由二个谐振电路所组成，故称之为二阶带通滤波器；同理可知，带通滤波器亦可以由多个谐振电路所组成，而形成三阶、四阶等高阶之带通滤波器。
图13-10简易的带通滤波器电路图
图13-11带通滤波器之频率响应图
关键参数指标及其含义：
1.插入损耗（InsertionLoss）：
若在频谱仪信号输出端与负载端之间不加滤波电路，应当可在负载端取得一定的输出值。
但是将滤波电路加入后，在负载端的输出信号值，即使是在通带区内，也会比原本的输出低，二者的差异即为介入损耗。
因为电抗性组件中包含了电阻，它是产生介入耗损的主要来源。
2.通带涟波（PassbandRipple）：
用以测量通带区内的平坦度者，定义为在通带区内最大衰减值与最小衰减值之差。
不同的电路结构如切比雪夫和巴特渥斯等架构，会产生有不同的涟波值。
3.通带频宽（PassbandWidth）：
简称为频宽（Bandwidth），一般都以3dB点为截止频率来界定。
图13-2所示为两端3dB点之间的频率范围（f2−f1）。
4.型态因子（ShapeFactor）：
用以测量在通带区以外，与截止区相交接处的衰减程度，其表示滤波电路通带区两侧的陡峭度。
定义为衰减60dB处的频宽（f4−f3），与3dB衰减处的频宽（f2−f1）的比值。
型态因子SF为：
5.最终衰减（UltimateAttenuation）：
是为滤波电路在截止区内的最大衰减。
由于电子组件的特性不尽理想，实际的滤波电路，都无法提供最大的截止区衰减>100dB，一般约在50至70dB而已。
6.品质因素（QualityFactor,Q）：
品质因素是描述滤波器选择度（Selectivity）的一项参数。
一般而言，其定义为组件中的平均最大储能比上每一个周期损耗的能量；或是可以用简单的中心频率（CenterFrequency）比上3dB频宽（3dBBandwidth）之比值作为品质因素之定义。
其中fc为中心频率；
为3dB频宽。
7.群延迟（GroupDelay）：
群延迟之定义为单位信号相位（dφ（ω））之变化量与信号角频率（dω）之变化量的比值：
其中φ（ω）为信号之相位；ω信号角频率。
三、设计方法与实例
（一）低通滤波器
在设计巴特渥斯低通滤波器之前，我们需依据设计规格之需求来决定滤波器所需之组件个数（或称为滤波器所需之阶数）。
由图13-5，我们可得知滤波器所需之阶数，而后再利用式（13-6）所示之式子来求得各组件之归一化（Normalized）值：
其中Ak表示k-th电感或电容抗的值；n表示滤波器所需之阶数。
表13-1所示为前人所求得并作表之低通巴特渥斯滤波器组成组件的归一化值，因此我们可直接利用表13-1所示的值来辅助我们设计各类滤波器。
低通滤波器的电路组态可以为L-C型或C-L型。
C-L型低通滤波器各组件的归一化值（NormalizedValue）可由表13-1的顶端查知，而L-C型各组件的正规值则可由表13-1的底部依阶数查得。
但不论是L-C型或是C-L型低通滤波器，其组成组件的实际值计算式为：
其中R代表负载阻抗（亦等于频谱仪信号输出端阻抗），g则是从表13-1中所查到的值。
表13-1低通巴特渥斯滤波器组成组建的归一化值（当RS=RL）
设计范例1：
试设计一个巴特渥斯低通滤波器，其截止频率为50MHz，当信号频率为150MHz时，滤波电路的衰减在50dB以上。
假设频谱仪信号输出端阻抗与负载阻抗皆为50Ω。
解：
首先求出归一化频率值：
参考图13-5所示之巴特渥斯滤波器衰减特性图，我们发现在Ω=3时，巴特渥斯滤
波器需设计成6阶（n≈5.2），其衰减特性才能符合我们所需。
当我们获知滤波器所需之阶数后，我们可利用表13-1来获得低通滤波器之雏型电路与其归一化组件值，如图13-12（a）所示。
最后我们将归一化的组件值转换为实际的零件值。
经转换后之低通滤波器电路如图13-12（b）所示。
图13-12六阶巴特渥斯低通滤波器电路图
；
；
；
（二）高通滤波器
我们知道高通滤波器与低通滤波器的差别只是电感电容的互换，所以设计高通滤波器时，首先需着手设计出截止频率为ωc的低通滤波器，再将由表中所查得的归一化值倒数，作为高通滤波器组成组件的归一化值。
实际设计的步骤如下所述：
1.先计算出ω/ωc，其中ωc的定义如图13-1（b）所示；ω代表滤波器具有特定衰减量时的频率大小，且高通滤波器的ω/ωc一定小于1。
2.把步骤1所求得的ω/ωc值倒数作为新的ω/ωc值，并结合特定衰减量的要求，求出滤波器所需的阶数。
当欲设计巴特沃斯高通滤波器时，我们不需根据通带的涟波值找出所需的阶数n；但是当欲设计切比雪夫高通滤波器时，则需根据通带的涟波值找出所需的阶数n
3.由表中找出低通滤波器各个CN,odd、LN,even（或是LN,odd及CN,even）之归一化值。
4.将步骤3所求得的值作倒数的处理，以获得高通滤波器的归一化值LN,odd、CN,even（或
是CN,odd及LN,even）。
5.将归一化的值代入下求出各组成组件的实际值，也就是Scaling的处理。
设计范例2：
试设计一个高通滤波器，其截止频率为60MHz，当信号频率为30MHz时，滤波电路的衰减在40dB以上，频谱仪信号输出端阻抗与负载阻抗皆为50Ω。
假设通带之连波大小值为0.5dB。
解：
首先求出归一化频率值：
参考切比雪夫滤波器衰减特性图，我们发现在Ω=2时，切比雪夫滤波器需设计成5阶（n≈4.5），其衰减特性才能符合我们所需。
当我们获知滤波器所需之阶数后，我们可利用表13-2来获得低通滤波器之雏型电路与其归一化组件值，如图13-13（a）所示。
然后将低通滤波器之雏型电路转换成高通滤波器之雏型电路，如图13-13（b）所示。
最后我们将归一化的组件值转换为实际的零件值，经转换后之高通滤波器电路如图13-13（c）所示。
图13-13五阶切比雪夫高通滤波器电路图
表13-2涟波为0.5dB时低通切比雪夫滤波器组成组建的归一化值
；
；
图13-14所示为五阶低通滤波器电路图，其主要是利用LC架构来设计此滤波器，中心频率设定为915MHz，其中组件值是利用前文所列之公式计算得来，并且利用电路设计软件Super-Compact将电路最佳化后可得各组件值为：
L1=L2=12nH，C1=C3=2pF，C2=6pF。
图13-15为六阶高通滤波器电路，它是利用LC架构来设计此滤波器，其中心频率设定为915MHz，其中组件值是利用前文所列之公式计算得来，并且利用电路设计软件Super-Compact将电路最佳化后可得各组件值为：
C1=C3=1pF，C2=0.82pF，L1=18nH，L2=L3=10nH。
图13-14低通滤波器电路图图13-15高通滤波器电路图
（三）带通滤波器
把图13-10的带通滤波器与图13-3的低通滤波器相互比较后，会发现彼此间的差别只是把低通滤波器的电感转换为L-C串联谐振电路，而电容则转换为L-C并联谐振电路，便形成带通滤波器了。
所以设计带通滤波器时，仍须先着手设计低通滤波器，再经一连串的转换，变成带通滤波器，而设计细节及步骤如下所述：
1.先计算出（f2−f1）（f4−f3），而f1、f2、f3及f4的定义如图13-11所示。
2.把（f2−f1）（f4−f3）代替fc，并结合特定衰减量的要求，求出带通滤波器所需的阶数。
当欲设计巴特沃斯带通滤波器时，我们不需根据通带的涟波值找出所需的阶数n；但是当欲设计切比雪夫带通滤波器时，则需根据通带的涟波值找出所需的阶数n。
3.配合RS、RL的比值，以便查表时决定出低通滤波器之雏型电路与其组件之归一化值。
4.将步骤3所求得之低通滤波器雏型电路转换成带通滤波器的雏型电路，即是将电感L对应成LS与CS的串联谐振电路；电容C对应成LP与CP的并联谐振电路。
5.将步骤4所获得之带通滤波器雏型电路中的归一化值转换成实际的组件值。
（1）电感L对应成LS与CS的串联谐振电路：
（2）电容C对应成LP与CP的并联谐振电路：
其中
：
中心频率，
：
3-dB频宽，
：
负载阻抗
设计范例3
试设计一个带通滤波器，其中心频率为fo=75MHz，通带涟波为0.5dB，3dB频
宽为7MHz，45dB频宽为35MHz，且RS=RL=50Ω。
解：
首先求出归一化频率值：
参考切比雪夫滤波器衰减特性图，我们发现在Ω=5时，切比雪夫滤波器需设计成3阶，其衰减特性才能符合我们所需当我们获知滤波器所需之阶数后，若选择电容输入型之切比雪夫低通滤波器，我们即可利用表13-3来获得低通滤波器之雏型电路与其归一化组件值，如图13-16（a）所示。
然后将低通滤波器之雏型电路转换成带通滤波器之雏型电路，如图13-16（b）所示。
图13-16三阶切比雪夫带通滤波器电路图
最后我们将归一化的组件值转换为实际的零件值，经转换后之带通滤波器电路如图13-16（c）所示。
四、实验内容
实验设备:
项次
设备名称
数量
备注
1
集总参数LPF模块
1块
无源实验箱
2
集总参数BPF模块
1块
无源实验箱
3
集总参数HPF模块
1块
无源实验箱
4
频谱分析仪
1台
5
微波频谱仪信号输出端
1台
6
射频连接线
2条
实验步骤:
本实验以较常用的巴特渥兹型（Butter-worth）设计，包括集总参数LPF，集总参数BPF，集总参数HPF模块三个模块，并且将其三阶、五阶两种设计集合在一个模块内，通过测量滤波器部分的反射S11和传输S21值，观察滤波器的性能。
1.测试框图如图13-17所示：
图13-17 集总参数滤波器测试框图
2.测量步骤：
集总参数LPF模块的测量：
⑴频谱分析仪起始频率，终止频率分别设置为300KHZ，300MHZ，校准频谱仪。
频谱仪信号输出端接到三阶LPF模块IN端，相应的OUT端接频谱分析仪的INPUT端口。
⑵用频谱分析仪的TRACE—>MAXHOLD功能记录信号的频率响应。
将频谱分析仪之Marker的频率分别标示在滤波器之3-dB30-dB、频宽处，将测量结果绘于表13（a）中。
⑶同上步骤可测量五阶LPF。
集总参数BPF模块的测量：
⑴频谱分析仪起始频率，终止频率分别设置为300KHZ，300MHZ，校准频谱仪。
频谱仪信号输出端接到三阶BPF模块IN端，相应的OUT端接频谱分析仪的INPUT端口。
⑵用频谱分析仪的TRACE—>MAXHOLD功能记录信号的频率响应。
将频谱分析仪之Marker的频率标示在滤波器之中心频率处，将测量结果绘于表13（b）中。
⑶将频谱分析仪之Marker的频率标示在滤波器之3-dB、30-dB频宽处，将测量结果绘于表13（b）中。
⑷同上步骤可测量五阶BPF。
测试框图如同上。
集总参数HPF模块的测量：
⑴频谱分析仪起始频率，终止频率分别设置为300KHz，300MHz，校准频谱仪。
频谱仪信号输出端接到三阶HPF模块IN端，相应的OUT端接频谱分析仪的INPUT端口。
⑵利用频谱分析仪的TRACE—>MAXHOLD功能记录信号的频率响应。
将频谱分析仪之Marker的频率分别标示在滤波器之3-dB30-dB、频宽处，将测量结果绘于表13（c）中。
⑶同上步骤可测量五阶HPF。
测试框图如同上。
3.实验记录
表13（a），13（b），13（c）的格式均为下面此表
4.硬件测量的结果建议如下为合格：
集总参数LPF模块
●fr（3dB）:
50MHZ
●fr（30dB）:
150MHZ
集总参数BPF模块
●fc:
75MHZ
●BW3dB:
15MHZ
集总参数HPF
●fr（3dB）:
60MHZ
●fr（30dB）:
30MHZ
升级会员 