概率论与数理统计公式.docx
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概率论与数理统计公式
第1章随机事件及其概率
（1）排列组合公式
Pm-m!
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
（m-n）!
Cm=m!
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
n!
（m_n）!
（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：
m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n
种方法来元成，则这件事可由m+n种方法来元成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：
mxn
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n
种方法来元成，则这件事可由mxn种方法来元成。
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有
如下性质：
1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用©来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用0表示。
一个事件就是由0中的部分点（基本事件国）组成的集合。
通常用大写字母A,B,C,,表示事件，它们是0的子集。
。
为必然事件，？
为不可能事件。
不可能事件（?
）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，
必然事件（Q）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
AuB
如果冋时有A匚B,A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：
A=B
A、B中至少有一个发生的事件：
AUB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可
表示为A-AB或者AB，匕表示A发生而B不发生的事件。
A、B冋时发生：
a"1B,或者ABa"1B=?
，则表示A与B不可能冋时发生，
称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
Q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。
它表示A不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算：
结合率：
A（BC）=（AB）CAU（BUC）=（AUB）UC
分配率：
（AB）UC=（AUC）A（BUC）（AUB）nC=（AC）U（BC）
□0QO_
nAi=UAi
德摩根率：
yAUB=AClB,疋TB=AUB
（7）概率的公理化定义
设。
为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：
1°02°P（Q）=1
3°对于两两互不相容的事件A1,A2,,有
/CO、oO
PUAi=XP（Ai）
（i二丿i=i
常称为可列（完全）可加性。
则称P（A）为事件A的概率。
（8）古典概型
1°Q=仏1化…叫2°P（®1）=P（们2）=…P（叫）=丄。
n
设任一事件A，它是由⑷「^2m组成的，则有
P（A）={（CO1）U（国2）U…U（国皿）}=P®1）+P（^2）+…+Pgm）
mA所包含的基本事件数
一n一基本事件总数
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，冋时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何
概型。
对任一事件A,
P（A）—（）。
其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
Lg）
（10）加法公式
P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）
当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）
（11）减法公式
P（A-B）=P（A）-P（AB）
当BUA时，P（A-B）=P（A）-P（B）
当A=Q时，P（B）=1-P（B）
（12）条件概率
定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称P（AB）为事件A发生条件下，事
P（A）
件B发生的条件概率，记为P（B/A）=P（AB）。
P（A）
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P（Q/B）=1二P（B/A）=1-P（B/A）
（13）乘法
公式
乘法公式：
P（AB）=P（A）P（B/A）
更一般地，对事件A,A2,,A,若P（A1A2,An-1）>0,则有
P（A1A2,An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）,,P（An|A1A2,
An_1）
f0
（14）独立性
1两个事件的独立性
设事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件a、B是相互独立的。
若事件A、B相互独立，且P（A）：
>0，则有
P（B|A）=P（AB）=P（A）P（B）=P（B）
P（A）P（A）
若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。
必然事件0和不可能事件？
与任何事件都相互独立。
?
与任何事件都互斥。
2多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;P（CA）=P（C）P（A）
并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
那么AB、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概率公式
设事件B1,B2,…，Bn满足
1°B1>B2>-Bn两两互不相容，P（Bi）A0（i—1,2,,n）,
n
A匚UBi
2°i二,
则有
P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P（A|Bn）。
（16）贝叶斯公式
设事件B1,B2,,,Bn及A满足
1°B1,B2,,,Bn两两互不相容，P（Bi）>0,1=1,2,,,n,
n
AuUBi
2°i=1,P（A）A0,
则
P（Bi）P（A/Bi）
P（B〃A）=n'八",i=1,2,,n。
无P（Bj）P（A/Bj）
j#
此公式即为贝叶斯公式。
P（Bi）,（i二1,2,,,n）,通常叫先验概率。
P（Bi/A）,（i",2,,,n）,通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
“由果朔因”的推断。
（17）伯努
利概型
我们作了n次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；
n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1-P=q，用Pn（k）表
示n重伯努利试验中A出现k（°乞k兰n）次的概率，
_....kknk
Pn（k）=CnPq一，k=0,1,2,…,n。
第二章随机变量及其分布
（1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为X<（k=1,2,,）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为
P（X=Xk）=pk,k=1,2,,，
则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。
有时也用分布列的形
式给出：
X|X1,X2，…，Xk,…
P（X=xk）1php2,…，pk,…。
显然分布律应满足下列条件：
□0
Xpk=1
（1）pk王0，k彳2,…，
（2）心。
（2）连续型随机变量的分布密度
设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（X），对任意实数x，有
X
F（x）=Jf（x）dx
q，
则称X为连续型随机变量。
f（X）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概
率密度。
密度函数具有下面4个性质：
1°f（x）^°。
2°Jf（x）dx=1。
（3）离散与连续型随机变量的关系
P（X=x）吒P（xvX兰x+dx）趾f（x）dx
积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P（XXk）pk在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
（4）分布函数
设X为随机变量，X是任意实数，则函数
F（x）=P（X兰x）
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
P（acXEb）=F（b）—F（a）可以得到X落入区间（a,b］的概率。
分布
函数F（x）表示随机变量落入区间（-a,x］内的概率。
分布函数具有如下性质：
1°0兰F（X）兰1,—O0£X£畑；
2°F（x）是单调不减的函数，即X1CX2时，有F（X1）EF（X2）；
3°F（亠）=limF（x）=0,F（畑）=limF（x）=1;
4°F（x+0）=F（x），即F（x）是右连续的；
5°P（X=x）=F（x）-F（x-0）。
对于离散型随机变量，F（x）=：
Zpk；
X
对于连续型随机变量，F（x）=Jf（x）dx。
（5）八大分布
0-1分布
P（X=1）=p,P（X=0）=q
二项分布
在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。
事件A发生
的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2，…,n。
kkn_k
P（X=k）=Pn（k）=CnPq,其中
q=1—p,0vpv1,k=0,1,2，…，n,
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。
记为
X~B（n,p）。
当n=1时，P（X=k）=pkqJ,k=0.1，这就是（0-1）分
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量X的分布律为
k
P（x=k+
丄，丸>0,k=0,1,2八,
则称随机变量X服从参数为人的泊松分布，记为
X~兀（九）或
者P（丸）。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，nis）
。
超几何分布
cMM^cN%k=0,1,2…，i
P（X=k）=n-
l=min（M,n）
Cn
随机变量X服从参数为
n,N,M的超几何分布，记为
H（n,N,M）。
:
几何分布
k1
p（x=k）=qp,k
=1,2,3，…，其中P》0,q=1-p。
随机变量X服从参数为
p的几何分布，记为G（p）
。
均匀分布
设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数
f（x）在[a,b]
1
上为常数，即
b-a
1af（x）=其他，
则称随机变量X在［a,
b］上服从均匀分布，记为
X~U（a,b）。
分布函数为
『0,xx—a
xY
J
b-aawxwb
F（x）=口（x）dx=
<1,x>b。
当awX1x2
—X1
。
P（xb
-a
指数分布
f（x）二
0,
其中’0，则称随机变量X服从参数为■的指数分布。
X的分布函数为
1-e—'x
F（x）二
正态分布
记住积分公式：
-be
xne」dx二n!
0
设随机变量X的密度函数为
72
f（x）—^e，%2兀CT
其中"、匚0为常数，则称随机变量X服从参数为J、打
2的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X~NC-）。
参数"、二时的正态分布称为标准正态分布，记为
X~N（0,1）1其密度函数记为申（x）=2
丁2花，—閃＜X£址，
x_t2e2dt。
分布函数为
1
：
：
J（x）:
斗2兀耳
，J（x）是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
口1
①（-x）=1-①（x）且①（0）=。
X
如果X~N（巴0'2），则N（0,1）。
P（x^：
X-x2）=：
：
」
（6）分位数
下分位表：
P（X乞、.）=〉；
仙-叮
1
j
O
上分位表：
P（X」：
.）=〉。
（7）函数分布
离散型
已知X的分;
X
布列为
X1,X2,…,xn,…
P（X=Xi）
Y=g（X）的
Y
p1,P2,…,pn,…
J分布列（yi=g（xj互不相等）如下：
g（x",g（x2）,…,g（xn）,…
P（Y=yJ若有某些g（
xf相等,踰应将对,应的Tpj相加作为g（xi）的概率。
连续型
先利用X的概率密度fx（x）写出Y的分布函数FY（y）=P（g（X）<
y），再利用变上下限积分的求导公式求出fv（y）。
第三章二维随机变量及其分布
（1）联合离散型分布
如果二维随机向量■（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称匕为离散型随机量。
设.=（X，Y）的所有可能取值为（x「yj）（i,j=12…），
且事件｛=（xi,yj）｝的概率为pj，,称
P｛（X,Y）=（Xj,yj）｝二Pj（i,j=1,2,）
为.=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。
联合分
（1）pj>0（i,j=1,2,,）;
（2）二二pij=1.
ij
连续型
对于二维随机向量©=（X,Y）,如果存在非负函数
f（x,y）（sex£畑,皿分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D-{（X,Y）|a有
P{（X,Y）ED}="f（x,y）dxdy,
D
则称©为连续型随机向量；并称f（x,y）为©=（X,Y）的分布
密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f（x,y）具有下面两个性质：
（1）f（x,y）>0;
（2）□:
f（x,y）dxdy=1.
（2）二维随机变量的本质
〈X=x,Y=y）=E（X=x“Y=y）
（3）联合分布函数
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数
F（x,y）=P{XMx,YMy}
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函
数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
{（d,灼2）|虫vX®"^x,acY伸2）兰y}的概率为函数值的一个实值函数。
分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：
（1）0兰F（x,y）兰1;
（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即
当X2>xi时，有F（X2,y）>F（xi,y）;当y2>yi时，有F（x,y2）>F（x,y1）;
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即
F（x,y）=F（x+0,y）,F（x,y）=F（x,y+0）;
（4）F（-00,-do）=F（-°°,y）=F（x,-°°）=0,F（畑，址）=1.
（5）对于洛vx2,y1vy2,
F（X2,y2）—F（X2,yj—F（X1,y2）+F（x1,yJ^O.
（4）离散型与连续型的关系
P（X=x,Y=y）P（xvX兰x十dx,y£Y乞y十dy）吧f（x,y）dxdy
（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
p^=p（x=x）=L
j
Y的边缘分布为
p—yj）=E
i
Pj（i,j=1,2，…）；
Pj（i,j=1,2，…）。
连续型
X的边缘分布密度为
"bo
fx（x）=Jf（x,y）dy；
Y的边缘分布密度为
"bo
fY（y2Jf（x,y）dx_
（6）条件
离散型
在已知X=x的条件下，
Y取值的条件分布为
分布
P（Y=yj|X=xj二
Pij.
-;
Pi.
在已知Y=y的条件下，
X取值的条件分布为
P（X=人|Y=yj）二
Pij
连续型
在已知Y=y的条件下，
X的条件分布密度为
、f（x,y）f（x|y）—；
fY（y）
在已知X=x的条件下，
Y的条件分布密度为
f（y»曽
fx（X）
（7）独立
一般型
F（X,Y）=Fx（x）FY（y）
性
离散型
Pj=P^P有零不独立
连续型
f（x,y）=fx（x）fv（y）
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
1
12Rx44）（y44）/_H羊
_2（1_P）Xf（X，y）|~
2兀SS<1
-P2，
P=0
随机变量的
若Xi,X2,,XmXm+i,,X相互独立，h,g为连续函数，则：
函数
h（X1,X2,,Xm）和g
（Xm+1,,Xn）相互独立。
特例：
若X与Y独立，
则：
h（X）和g（Y）独立。
例如：
若X与Y独立，
则:
3X+1和5Y-2独立。
（9）二维正态分布
设随机向量（X,Y的分布密度函数为
f（x,y）=e△''、
2兀CT1CT2J1—P
其中出，込<11>0,0,1P|c1是5个参数，则称（X，Y服从二维正态分布，
记为（X,Y）〜N（卩「巴仃二仃；,P）.
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即X〜N（41，但是若X〜N（气，（10）函数
分布
Z=X+Y
根据定义计算：
FZ（z）=P（Zez）=P（X+Y^z）
-bo
对于连续型，fz（z）=Jf（x,z_x）dx
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（已+卩2,+tT；）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
CH,©2=11Ci2®2
ii
Z=max,min（
X1,X2”Xn）
若X2…Xn相互独立，其分布函数分别为
Fx（x）,Fx2（x）…Fxn（x），则Z=max,min（X1,X2,,Xn）的分布
函数为：
Fmax（X）=Fm（X）・Fx2W"Fxn（X）
Fmn（x）=1-[1-Fx1（x）]叩—Fx（X）]…[1—Fxn（x）]
t分布
分布
设n个随机变量Xi,X2，…，Xn相互独立，且服从标准正态分
布，可以证明它们的平方和
的分布密度为
Xi2
U:
：
0.
我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W-2（n）,
其中
L2〜dx.
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
2分布满足可加性：
设
Y-2g）,
k
Z八Yi~2（nin2」nk）.
i£
设X,Y是两个相互独立的随机变量，且
X~N（0,1）,Y~
2（n）,
可以证明函数
的概率密度为
n21
「Y/n
n1
't2'
1+—
n丿
:
:
:
t
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T〜t（n）。
ti_：
.（n）--r.（n）
F分布
设X~2（ni）,Y~2（门2），且X与Y独立，可以证明
X/n
F的概率密度函数为
Y/n2
”厂九+n2]m
_I2_匹卄‘；f（y）qdb匹]In2丿I
12丿12丿
、0,ycO
我们称随机变量F服从第一个自由度为
的F分布，记为F〜f（ni,n2）.
-ni
n2
y-0
ni,第二个自由度为n2
1
F（n2,nj
第四章随机变量的数字特征
（i）
离散型
连续型
一维
期望
:
设X是离散型随机变量，其分布
设X是连续型随机变量，其概率密
随机
期望就是平均值
度为f（x）,
变量
律为P（X=xk）=pk,
-bo
的数
k=i,2,,,n,
E（X）=Jxf（x）dx
字特
n
征
E（X）=：
ZXkPk
（要求绝对收敛）
km
（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g（X）
Y=g（X）
n
-bo
E（Y）dg（Xk）Pk
E（Y）=fg（x）f（x）dx
k=i
方差
-bo
2
D（X）=E[X-E（X）],
D（X）=E[Xk-E（X）]2pk
D（X）=J[x—E（X）]2f（x）dx
标准差
k
a
%x）=Jd（x）,
矩
①对于正整数k，称随机变量
X
①对于正整数k,称随机变量X的
的k次幕的数学期望为X的
k
k次幕的数学期望为X的k阶原点
阶原点矩，记为Vk,即
矩
，记为Vk,即
Vk=E（Xk）=EXikPi,
i
V
k乂k
k=E（X）=fxf（x）dx,
k=1,2,,.
k=1,2,,.
②对于正整数k，称随机变量
X
②对于正整数k,称随机变量X与
与E（X）差的k次幕的数学期
E
（X）差的k次幕的数学期望为X
望为X的k阶中心矩，记为4
k,
的
k阶中心矩，记为Pk，即
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