第二十四章圆教案.docx

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第二十四章圆教案

第二十四章圆

24.1圆

（1）

学习目标

知识与技能目标

1、经历圆的概念的形成过程，理解圆的描述概念和圆的集合概念

2、经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系

3、在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题

过程与方法目标：

正确寻找等量关系

情感与态度目标：

培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．

学习重、难点

重点：

确定点和圆的三种位置关系以及圆的集合概念的理解

难点：

正确寻找等量关系

学习过程：

一、情境创设

1、展示生活中的圆：

摩天大楼、厨房用具、硬币、车轮。

思考：

车轮为什么是圆的？

2、如图所示是一个钉在方板上的圆形镖盘，xx同学向镖

盘上投掷了3枚飞镖，落点为图上的点A、B、C。

如果该同学又掷了一枚飞镖，你能让不在现场的同学知道

飞镖落点的大致位置吗？

二、探索活动

1、圆的定义：

如图，把线段OP的一个端点固定。

使线段OP绕着端点O在

平面内旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。

其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以O为圆心的

圆，记作“⊙○”，读作“圆O”

2、画圆：

确定一个圆的两个要素是_______和________，以定点A为圆心作圆，能作______个圆；以定长r为半径作圆，能作______个圆；以定点A为圆心、定长r为半径作圆，能且只能作_______个圆。

3、圆的集合定义

考虑情境创设中的B点位置，给出以下定义：

平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

4、点和圆的位置关系

为什么不在现场的同学听了xx同学的描述，能知道飞镖的大致落点呢？

——点和圆的三种位置关系。

你能用数量关系来刻画点和圆的这几种位置关系吗？

若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆内d＜r

点P在圆上d=r

点P在圆外d＞r

5、尝试与交流

已知点P、Q，且PQ=4cm，

⑴画出下列图形：

到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合。

⑵在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？

请在图中将它们表示出来。

⑶在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？

把它画出来。

三、课堂练习

P86练习1、2

四、拓展与延伸

1、圆外一点和圆周上点的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是多少？

2、若以A为圆心作圆A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是什么？

五、课堂小结

1、圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆上；圆是到定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的三种位置关系和数量关系之间的联系

3、结合本课的学习谈谈感悟

六、作业

优生P94习题24.11、2、3后进生练习86页1、2

24.1圆

（2）

学习目标

知识与技能目标

1、认识圆的弧、弦、直径、同心圆、等圆、等弧、圆心角等与其相关的概念

2、理解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它们解决相关的问题

过程与方法目标：

圆的相关概念的辨析

情感与态度目标：

知识来源于实际，最后应用于实际．

学习重、难点

重点：

圆的相关概念及体验圆与直线形的关系

难点：

圆的相关概念的辨析

学习过程：

一、情境创设

1、圆的概念的复习

2、确定圆的两要素：

圆心、半径

二、探索活动

1、圆心不变，半径不相等的所有圆叫做同心圆。

如图1所示：

图1图2

2、半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。

同圆或等圆的半径相等。

如图2等圆与位置无关

︵

3、弧的相关概念

︵

（1）圆弧：

圆上两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”，用符号“”表示，以A、B为端点的弧记作AB，读作“弧AB”，如图3所示

︵

（2）半圆：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。

︵

（3）优弧：

大于半圆的弧叫做优弧：

如图4，ABC

劣弧：

小于半圆的弧叫做劣弧：

如图4，AC

图3图4

4、圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角。

（如图4中的∠COD）

5、弦的概念

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径（如图4——直径AD）。

6、概念辨析

（1）弦是直径。

（）

（2）半圆是弧。

（）

（3）过圆心的线段是直径。

（）

（4）圆心相同半径相同的两个圆是同心圆。

（）

（5）两个半圆是等弧。

（）

（6）长度相等的弧是等弧。

（）

三、例题解析

例1

例题

例2如图，CD是⊙O的弦，CE=DF，半径OA、OB分别过E、F点

求证：

△OEF是等腰三角形

四、课堂练习

P88练习1、2、

五、课堂小结

1、同心圆与等圆；同圆或等圆的半径相等；

2、连接圆上任意两点间的线段叫做弦；经过圆心的弦叫直径；

3、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

六、作业

优生P110习题5.14、5、6后进生88页1、2

24.2圆的对称性

（1）

学习目标

知识与技能目标

1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程

2、理解圆的中心对称性及有关性质

3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题

过程与方法目标：

用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题

情感与态度目标：

培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．

学习重、难点

重点：

理解圆的中心对称性及有关性质

难点：

运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题

学习过程：

一、情境创设

1、什么是中心对称图形?

2、我们采用什么方法研究中心对称图形?

二、探索活动

1、按照下列步骤进行小组活动：

⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O

⑵在⊙O和⊙O

中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠

，连接AB、

⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O

重合（如图）

⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA

重合

在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流

_______________________________________________

2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？

请与小组同学交流.

你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?

3、圆心角、弧、弦之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

4、试一试：

如图，已知⊙O、⊙O

半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O

的两条弦填空：

︵

︵

（1）若AB=CD，则，

（2）若AB=CD，则，

（3）若∠AOB=∠CO

D，则，

5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？

弧的大小：

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

三、例题解析

例1如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC

∠ABC与∠BAC相等吗？

为什么？

四、延伸与拓展

已知：

如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，

CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？

为什么？

五、课堂练习

P89练习1

六、课堂小结

1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；

2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

七、作业

优生94页习题24.21、3、4、5后进生89页1题

24.2圆的对称性

（2）

学习目标

知识与技能目标

1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程

2、掌握垂径定理

3、会运用垂径定理解决有关问题

过程与方法目标：

垂径定理及应用

情感与态度目标：

培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．

学习重、难点

重点：

垂径定理及应用

难点：

垂径定理的应用

学习过程：

一、知识回顾

1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。

2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。

二、操作与探索

提出问题：

“圆”是不是轴对称图形？

它的对称轴是什么？

操作：

①在圆形纸片上任画一条直径；

②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？

结论：

圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

三、探究与思考

1、判断下列图形是否具有对称性？

如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

2、将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？

四、尝试与交流

1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折，你发现了什么？

2、你能给出几何证明吗？

（写出已知、求证并证明）

3、得出垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

4、注意：

①条件中的“弦”可以是直径；

②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

5、给出几何语言

五、例题解析

例1如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB

交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？

为什么？

例2如图，已知：

在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。

⑴求的半径；

⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。

例3如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，

CB=12，则AD=_____

五、课堂练习

P90练习1

六、课堂小结

1、垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2、垂径定理的推论，如：

平分弦的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等。

七、作业

优生P94习题24.26、7、8、9后进生90练习1题

24.3圆周角

（1）

学习目标

知识与技能目标

1、经历探索圆周角的有关性质的过程

2、理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题

3、体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题

过程与方法目标：

圆周角定理的应用

情感与态度目标：

培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．

学习重、难点

重点：

圆周角及圆周角定理

难点：

圆周角定理的应用

学习过程：

一、情境创设

操作与思考

如图，点A在⊙O外，点B1、B2　、B3在⊙O上，

点C在⊙O内，度量∠A、∠B1、∠B2、∠B3、∠C的

大小，你能发现什么？

1

3

2

∠B1、∠B2　、∠B3有什么共同的特征？

__________________________________________________

归纳得出结论，顶点在_______，并且两边________________________的角叫做圆周角。

强调条件：

①_______________________，②___________________________。

识别图形：

判断下列各图中的角是否是圆周角？

并说明理由.

二、探索活动

活动一：

观察与思考

如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图

（1）、

（2）、（3）中∠BAC的度数.

通过计算发现：

∠BAC＝_______∠BOC．

试证明这个结论：

活动二：

思考与探索

1、如图，BC所对的圆心角有多少个？

BC所对的圆周角有多少个？

请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。

2、思考与讨论

（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？

（2）设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？

对于这几种位置关系，结论∠BAC＝

∠BOC还成立吗？

试证明之．

通过上述讨论发现：

______________________________________________

三、例题解析

例1如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD

分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。

五、课堂练习

P93练习1、2、3

六、课堂小结

1、顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；

2、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

七、作业

AP94习题24.14、10、11、12后进生93页1、2、3

24.3圆周角

（2）

学习目标

知识与技能目标

1、熟练应用圆周角定理及其推论解决有关的计算和证明的问题

2、在应用圆周角定理及其推论进行有关的计算和证明的过程中，进一步培养观察、分析和解决问题的能力

过程与方法目标：

用圆周角定理及其推论

情感与态度目标：

进行有关的计算和证明的过程中，进一步培养观察、分析和解决问题的能力

学习重、难点

重点：

圆周角定理及其推论的应用

难点：

熟练应用圆周角定理及其推论

学习过程：

一、情境创设

我们学习过哪些与圆有关的角？

它们之间有什么关系？

二、探索活动

如图，BC为⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角，

还是直角？

为什么？

由圆周角与它所对的弧之间的关系可知：

圆周角等于它所对的弧的度数的一半，而图中∠A所对的弧是半圆，而半圆为180°，所以∠A=90°。

如图，圆周角∠A=90°，弦BC经过圆心吗？

为什么？

此问题与上面的一个问题刚好相反，应先连接OB、OC，证明点B、

O、C在同一直线上，也可以证明∠A所对的圆心角为90°，而这是很显然的。

（以上两个问题，主要由学生自主探索解决）

结论：

直径（或半圆）所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

三、例题解析

例1如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，

∠ACD=60°,∠ADC=50°，求∠CEB的度数。

分析：

由于∠CEB并非与圆有关的角，所以很容易就应想到用

三角形外角定理将之转化为一个已知角∠ACD与一个未知角∠CAB的和，

这就将问题转化为求∠CAB的问题，而该角是圆周角，而此时应结合另一个已知条件“AB是直径”，此条件可带来它所对的圆周角等于90°，最好这个直角与第三个已知条件

“∠ADC=50°”相关，因此这就需要连接BD，问题就很显然了。

例2已知：

如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，

AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，△ABE与△ACD相似吗？

为什么？

分析：

由直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°，再由

AD是△ABC的高可知∠ADC=90°，这样这两个三角形就有了一组相等的角，只需再找一组角相等即可证得它们相似。

这样就很容易想到另外两组角中的∠E与∠C这一组AB所对的圆周角。

五、课堂练习

P93练习1、2、3

六、课堂小结

1、进一步探索圆周角的有关性质；

2、综合运用圆周角的有关性质解决一些应用问题。

七、作业

优生P95习题24.17、8、9后进生93页1、2、3题

24.2确定圆的条件

学习目标

知识与技能目标

1、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法

2、了解三角形的外接圆、三角形外心等概念

3、形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神

过程与方法目标：

不在同一直线上的三点确定一个圆以及三角形的外心

情感与态度目标：

培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．

学习重、难点

重点：

不在同一直线上的三点确定一个圆以及三角形的外心

难点：

掌握解决问题策略的多样性

学习过程：

一、情境创设

1、确定一个圆需要几个要素？

（两个要素，一是位置，二是大小，而圆心确定它的位置，半径确定它的大小，只有圆心和半径都确定了，圆才能被确定）

2、经过平面内一点可以作几条直线？

过两点呢？

三点呢？

（经过操作探索可知：

过平面内一点可作无数条直线，经过两点只能作一条直线，过三点要分两种情况，一是三点在同一直线上，可作一条直线，而三点不在同一直线上，不能作直线）

3、在平面内过一点可以作几个圆？

经过两点呢？

三点呢？

二、探索活动

活动一操作、思考

1、过平面内一点A作圆

只需以平面内不同于A点的任一点为圆心，这一点到

A的距离为半径作圆即可，即可作无数个圆。

2、过平面内两点A、B作圆

如何作一个圆，使之过平面内两点A、B呢？

因为

这两点在要作的圆上，所以它们到这个圆的圆心的距离

要相等，并且都等于这个圆的半径，因此要作过这两点

的圆就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心，而这

样的点应在这两点连线的垂直平分线上，而半径即为这条直线上的任意一点到点A或点B的距离，这样也可以作无数个圆。

3、过平面内三点A、B、C作圆

如同过平面内两点一样，要作过平面内三点的圆实质即是找到

这三点之间的距离相等的点，这只需要作连结这三点中任意两点连

线的垂直平分线的交点。

而如果A、B、C在同一条直线上的话，任

两点连线的垂直平分线互相垂直，不会出现交点，也就作不出过这三点的圆，所以只能过不在同一平面内的三点才能作圆。

由以上操作可得结论：

不在同一直线上的三点确定一个圆。

活动二用直尺和圆规作锐角△ABC的外接圆

1、三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做个圆的内接三角形。

2、作法如活动一中过不在同一直线上的三点作圆。

3、外心的位置：

锐角三角形的外心在形内；直角三角形的外心在形上，并且是直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在形外。

三、课堂练习

P100练习1、2、3

四、课堂小结

1、不在同一直线上的三点确定一个圆；

2、三角形的外接圆、三角形的外心以及三角形外接圆的圆心的位置

七、作业

优生P125习题24.21、2、4后进生100页1、2题

24.2．2直线与圆的位置关系

（1）

学习目标

知识与技能目标

1、理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系

2、通过观察，得出“直线与圆的位置关系”与“圆心到直线的距离d与半径r的数量关系”的对应关系，从而实现位置关系与数量关系的相互转化

过程与方法目标：

直线与圆的位置关系的应用

情感与态度目标：

在观察与探究的过程中，进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力

学习重、难点

重点：

直线与圆的位置关系

难点：

直线与圆的位置关系的应用

学习过程：

一、情境创设

1、点与圆有哪几种位置关系？

若圆的半径为r，点到圆心的距离为d，如何用d和r的数量关系判断点与圆的位置关系？

2、欣赏巴金先生的《海上日出》的图片与文章，感受生活中反映直线与圆位置关系的现象。

二、探索活动

活动一操作、思考

1、从《海上日出》的图片与文章中将海平面看作是一条直线，太阳看作是一个圆，在太阳中升的过程中，直线与圆的位置有什么不同？

（①直线与圆的公共点的个数有所变化；②圆心到直线的距离有所变化。

）

2、由操作可知直线与圆有下列三种位置关系：

直线与圆有两个公共点时，叫直线与圆相交；直线与圆有惟一公共点时，叫直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

活动二探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系

类比“点与圆的位置关系”可得结论：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么

直线l与⊙O相交d＜r

直线l与⊙O相切d=r

直线l与⊙O相离d＞r

三、例题教学

例在△ABC中，∠A=45°，AC=4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？

为什么？

⑴r=2；⑵r=2

；⑶r=3

分析：

要判定直线AB与⊙C的位置关系，就要比较圆心C到直线AB的距离与⊙C的半径的大小。

因此，要作出点C到直线AB的垂线段CD，由CD到⊙C半径之间的数量关系，便可以判定直线AB与⊙C的位置关系。

四、课堂练习

P102练习1、2

五、课堂小结

引导学生总结：

1、直线与圆的位置关系有三种：

相交、相切、相离；

2、用圆心到直线的距离与半径的比较来判断直线与圆的位置关系。

五、作业

后进生：

P110习题24.21、3优生：

P110习题24.21、2、3

六、教后感

24.3直线与圆的位置关系

（2）

学习目标

知识与技能目标

1、探索切线的性质与判定

2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力

过程与方法目标：

直线与圆相切的判定与性质的应用

情感与态度目标：

培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．

学习重、难点

重点：

直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质

难点：

直线与圆相切的判定与性质的应用

学习过程：

一、情境创设

我们已经掌握了“从直线与圆的公共点的个数”或“将圆心到直线的距离与半径相比较”两种方法来判断直线与圆相切。

那么我们还能找到判定直线与圆相切的其他方法吗？

二、探索活动

活动一探索直线与圆相切的另一种判定方法

1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：

在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，

则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法：

⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；

⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

活动二探索直线与圆相切的性质

1、如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？

你能说明理由吗？

假设直线l与OA不垂直，过圆心O作OB⊥l，垂足为B。

由于直线l与⊙O相切，因此OB就是⊙O的半径。

点B在⊙O上。

这样直线l与⊙O有A、B两个公共点。

这与“直线l与⊙O相切”矛盾。

因此l⊥OA。

圆的切线垂直于经过切点的半径

2、直线与圆相切的性质

⑴切线与圆有惟一的公共点；

⑵圆心到切线的距离等于半径；⑶切线垂直于经过切点的半径。

三、例题教学

例1如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，

∠CAD=∠ABC。

判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

分析：

由条件知，直线AD经过半径OA的外端点A，因此只要说明AD⊥AB即可。

例2如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，

C是⊙O上一点，若∠APB=40°，求∠ACB的度数。

分析：

本题运用切线性质的计算题。

由此可得，在解

有关圆的切线问题时，常常需要做出过切点的半径，以便利用圆

的切线的性质。

四、课堂练习

P103练习1、2

五、课堂小结

圆的切线的判定条件和直线与圆相切的性质，并运用切线的判定条件和性质解决有关问题。

五、作业

后进生：

P103练习1、2优生：

P110习题24.25、6、7