word完整版高三上学期期末考试数学文科试题.docx
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word完整版高三上学期期末考试数学文科试题
2019-2020年高三上学期期末考试数学文科试题
高三数学（文科）xx.1
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，
，则（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】
，所以，即，选B.
2．复数（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】
选A.
3．执行如图所示的程序框图，则输出（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，选C.
4．函数的零点个数为（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由，得，令，在坐标系中作出两个函数的图象，由图象可知交点为一个，即函数的零点个数为1个，选B.
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中
所以四棱锥的体积为
，选C.
6．过点作圆的两条切线，，为切点，则（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】设切线斜率为，则切线方程为，即，圆心到直线的距离，即，所以，，
所以
，选D
7．设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，显然不成立。
由得，即，所以。
若，则，满足。
当时，满足，但，所以“”是“”的充分而不必要条件，选A.
8．已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：
①；②；③．
其中，具有性质的函数的序号是（）
（A）①（B）③（C）①②（D）②③
【答案】B
【解析】由题意可知当时，恒成立，若对，有。
①若，则由得，平方得，所以不存在常数，使横成立。
所以①不具有性质P.②若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以②不具有性质P。
③若，则由得由
，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是③。
选B
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量，．若向量与共线，则实数______．
【答案】
【解析】因为向量与共线，所以，解得。
10．平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，
则点取自△内部的概率为______．
【答案】
【解析】
根据几何概型可知点取自△内部的概率为
，其中为平行四边形底面的高。
11．双曲线的渐近线方程为______；离心率为______．
【答案】，；
【解析】由双曲线的标准方程可知，，所以，。
所以双曲线的渐近线方程为
，离心率。
12．若函数是奇函数，则______．
【答案】
【解析】因为函数为奇函数，所以
，即。
13．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．
【答案】，
【解析】若，则，此时，即的值域是。
若，则，因为当或时，，所以要使的值域是，则有，，即的取值范围是。
14．设函数，集合
，且．在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为______．
【答案】
【解析】因为
，所以由得
，即，它表示以为圆心，半径为的圆面。
由得，即，整理得，即或，显然的交点为，且两直线垂直，所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积，所以集合所表示的区域的面积为，如图：
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△中，内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
16．（本小题满分13分）
为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：
千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：
第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．
（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．
17．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱中，，，，分别
为，的中点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求证：
//平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？
说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）若是的一个极值点，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
19．（本小题满分14分）
如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：
△的面积等于△的面积．
20．（本小题满分13分）
如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令
．
（Ⅰ）对如下数表，求的值；
（Ⅱ）证明：
存在，使得，其中；
（Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：
．
北京市西城区xx—xx第一学期期末
高三数学（文科）参考答案及评分标准
xx.1
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B；2．A；3．C；4．B；5．C；6．D；7．A；8．B．
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．；10．；11．，；
12．；13．，；14．．
注：
11、13题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
由已知得，………………2分
即
．
解得，或．………………4分
因为，故舍去．………………5分
所以．………………6分
（Ⅱ）解：
由余弦定理得．………………8分
将，代入上式，整理得．
因为，
所以．………………11分
所以△的面积．………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为．…………2分
所以，每组抽取的人数分别为：
第组：
；第组：
；第组：
．
所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生．………………5分
（Ⅱ）解：
记第组的位同学为，，；第组的位同学为，；第组的位同学为．………………6分
则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：
，共种可能．………………10分
其中，
这11种情形符合2名学生不在同一组的要求．………………12分
故所求概率为．………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
连接．
因为是直三棱柱，
所以平面，………………1分
所以．………………2分
因为，所以平面．………………3分
因为，
，
所以．………………4分
（Ⅱ）证明：
取中点，连接，．………………5分
在△中，因为为中点，所以，．
在矩形中，因为为中点，所以，．
所以，．
所以四边形为平行四边形，所以．………………7分
因为平面，平面，………………8分
所以//平面．………………9分
（Ⅲ）解：
线段上存在点，且为中点时，有平面．………11分
证明如下：
连接．
在正方形中易证．
又平面，所以，从而平面．…………12分
所以．………………13分
同理可得，所以平面．
故线段上存在点，使得平面．………………14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
．………………2分
依题意，令，得．………………4分
经检验，时符合题意．………………5分（Ⅱ）解：
①当时，．
故的单调减区间为，；无单调增区间．………………6分
②当时，．
令，得，．………………8分
和的情况如下：
↘
↗
↘
故的单调减区间为，；单调增区间为．
………………11分
③当时，的定义域为．
因为在上恒成立，
故的单调减区间为，，；无单调增区间．
………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：
依题意，得
………………2分
解得，．………………3分
所以椭圆的方程为．………………4分
（Ⅱ）证明：
由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得
．………………6分
设，．
所以
………………8分
证法一：
记△的面积是，△的面积是．
由，，
则
．………………10分
因为，
所以
，………………13分
从而．………………14分
证法二：
记△的面积是，△的面积是．
则线段的中点重合．………………10分
因为，
所以，
．
故线段的中点为．
因为，，
所以线段的中点坐标亦为．………………13分
从而．………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
，；
，，
所以
．………………3分
（Ⅱ）证明：
（ⅰ）对数表：
，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：
，其余．
所以
，
．
所以
，其中．……………7分
【注：
数表不唯一】
（Ⅲ）证明：
用反证法．
假设存在，其中为奇数，使得．
因为，，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令
．
一方面，由于这个数中有个，个，从而．①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示，从而．②
①、②相互矛盾，从而不存在，使得．
即为奇数时，必有．………………13分
2019-2020年高三上学期期末考试数学文试题含答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，，则等于
（A）（B）
（C）（D）
（2）抛物线的准线方程是
（A）（B）
（C）（D）
（3）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间内有零点的函数是
（A）（B）
（C）（D）
（4）α，β表示两个不同的平面，直线mα，则“”是“”的
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）若向量满足，且，则等于
（A）4（B）3（C）2（D）0
（6）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7已知满足
若恒成立，则实数的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）
（8）如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中,，），那么12时温度的近似值（精确到）是
（A）（B）（C）（D）
第二部分（非选择题共110分）
二．填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）若，则等于．
（10）从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是_______．
（11）双曲线的焦点到渐近线的距离等于．
（12）在错误！
未找到引用源。
中，，，错误！
未找到引用源。
，则错误！
未找到引用源。
的面积等于．
（13）若直线:
被圆：
截得的弦长为4，则的值为．
（14）测量某物体的重量n次，得到如下数据：
，其中，若用a表示该物体重量的估计值，使a与每一个数据差的绝对值的和最小．
①若n=2，则a的一个可能值是；
②若n=9，则a等于．
三、解答题共6小题，满分80分，解答应写出必要的计算与推理过程。
（15）已知函数
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的最小值以及取得最小值时的值．
（16）设数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
（17）某校为了解高一学生的数学水平，随机抽取了高一男，女生各40人参加数学等级考试，得到男生数学成绩的频数分布表和女生数学成绩的频率分布直方图如下：
男生数学成绩的频数分布表
成绩分组
[50,60）
[60,70）
[70,80）
[80,90）
[90,100]
频数
2
8
16
10
4
频率/组距
女生数学成绩的频率分布直方图
（Ⅰ）画出男生数学成绩的频率分布直方图，并比较该校高一男，女生数学成绩的方差大小；（只需写出结论）
（Ⅱ）根据女生数学成绩的频率分布直方图，估计该校高一女生的数学平均成绩；
（Ⅲ）依据学生的数学成绩，将学生的数学水平划分为三个等级：
数学成绩
低于70分
70~90分
不低于90分
数学水平
一般
良好
优秀
估计该校高一男，女生谁的“数学水平良好”的可能性大，并说明理由.
A
B
C
D
A1
B1
C1
（18）如图，在三棱柱中，，
，
为线段的中点．
（Ⅰ）求证：
直线∥平面；
（Ⅱ）求证：
平面⊥平面
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
（19）已知函数．
（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）设实数使得恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）设，求函数在区间上的零点个数．
（20）已知椭圆
的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若存在关于过点的直线，使得点与点关于该直线对称，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，用表示的面积，并判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
大兴区xx~xx第一学期高三期末考试
数学（文）参考答案与评分标准
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
B
D
B
C
C
二、填空题（每小题5分，共30分）
（9）（10）（11）（12）（13）（写对一个给3分）
（14）,或,或（或是之间任一数）；（第一个空3分，第二个空2分）
三、解答题共6小题，满分80分，解答应写出必要的计算与推理过程。
（15）（I）
，……3分
……4分
（II）
，……2分
.……4分
因为
所以……6分
当，即时，函数取得最小值.
所以的最小值为此时.……9分
（16）（
）由已知，得
……2分
解得……4分
所以，……6分
（
）……2分
所以
……4分
……7分
（17）（Ⅰ）男生数学成绩的频率分布直方图
频率/组距
0.040
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0
5060708090100数学成绩
……3分
高一男生数学成绩的方差小于女生数学成绩的方差……5分
（Ⅱ）高一女生的数学平均成绩为
……3分
（Ⅲ）若把频率看作相应的概率，则
“高一男生数学水平良好”的概率为
……2分
“高一女生数学水平良好”的概率为……4分
所以该校高一男生的数学水平良好的可能性大.……5分
（18）（Ⅰ）
联结交于点，联结，……1分
在D为AC中点，为中点，
……2分
……3分
……4分
……5分
（Ⅱ）,
.……1分
在
所以.……2分
……3分
……4分
……5分
……6分
（Ⅲ）因为
……1分
所以
……2分
……3分
（19）（Ⅰ）
……2分
……3分
曲线在点处的切线方程为……4分
（Ⅱ）设
，则
令，解得：
……2分
当在上变化时，，的变化情况如下表：
+
0
-
↗
↘
由上表可知，当时，取得最大值……4分
由已知对任意的，恒成立
所以，得取值范围是。
……5分
（Ⅲ）令得：
……1分
由（Ⅱ）知，在上是增函数，在上是减函数.
且，，
所以当或时，函数在上无零点；
当或时，函数在上有1个零点；
当时，函数在上有2个零点……4分
（20）（
）因为椭圆的一个顶点为
所以……1分
因为离心率为
所以……2分
所以
因为
所以……3分
所以椭圆……4分
（
）设，
由
得
所以
……1分
，……2分
.
因为关于过点的直线对称,
所以
所以
所以
所以
……3分
所以
所以，……4分
所以……5分
所以……6分
（
）
……1分
到的距离
……2分
所以
设
则
所以在上是减函数……3分
所以面积无最大值.……4分
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