离散数学综合复习资料最新.docx
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离散数学综合复习资料最新
离散数学综合复习资料
一、判断题
1.（）命题联结词{，，}是最小联结词组。
2.（）（PQ）P为矛盾式。
3.（）（（PQ）（QR））（PR）为重言式。
4.（）A、B、C是任意命题公式，如果ACBC，一定有AB。
5.（）若集合A上的二元关系R是对称的，RC一定是对称的。
6.（）R是A上的二元关系，R是自反的，当且仅当r（R）=R。
7.（）集合A上的等价关系确定了A的一个划分。
8.（）有理数集是可数的。
9.（）若函数f，g为入射则其复合函数也为入射。
10.（）R是集合A上的关系，R有传递性的充要条件是RoRR。
11.（）设是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。
如果该代数系统中存在幺元e和零元，则e。
12.（）交换群必是循环群。
13.（）一个群可以有多个等幂元。
14.（）模格一定是分配格。
15.（）每个有向图中，结点入度数总和等于结点出度总和。
16.（）图G的邻接矩阵A，Al中的i行j列表示结点vi到vj长度为l路的数目。
17.（）任何图中必有偶数个度数为奇数的结点。
18.（）有向图中，它的每一个结点位于且只位于一个单侧分图中。
19.（）任意平面图最多是四色的。
20.（）不存在既有欧拉回路又有汉密尔顿回路的图。
二、填空题
1．设P：
“天下雨”，Q：
“他骑自行车上班”，R：
“他乘公共汽车上班”。
则命题“除非下雨，否则他就骑自行车上班”可符号化为。
“他或者骑自行车，或者乘公共汽车上班”可符号化为
2．设N（x）：
x是自然数；J（x）：
x是奇数；Q（x）：
x是偶数，用谓词公式符号化命题“任何自然数不是偶数就是奇数”。
3．设P（x）：
x是运动员，Q（x）：
x是教练。
则命题“不是所有运动员都是教练”可符号化为。
4．设D={a,b}；P（a,a）=P（b,b）=T；P（a,b）=P（b,a）=F。
则公式（x）（y）（P（x,y）P（y,x））的真值是。
5．集合A={,{}}的幂集P（A）为
6．集合A={1,2}，B={a,b,c,d}，C={c,d,e}，则A（B-C）为
7．试用空集构成集合A（A）=和B=，使得AB且AB都成立。
并且AB=。
8．设A={1,2,3}，R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<1,1>}，传递闭包t（R）为。
9．设A={1,2,3}，B={x,y}，f：
AB，则不同的函数个数为个。
10．Q为有理数集，Q上定义运算*为a*b=a+b-ab，则的幺元为。
11．代数系统，其中Sk={x|xZx>=K}，+为普通加法，则是一个半群的必要条件是。
12．设G为v个结点e条边的连通平面图，则面r等于。
13．一棵树有n2个结点度数为2，n3个结点度数为3，……，nk个结点度数为k，则度数为1的结点的个数为。
14．设T为根树，若每个结点的出度都小于等于m，则T称为树，若除外，每个结点的出度都等于m，则T称为完全m叉树。
15．设是偏序集，如果A中任意两个元素都有和，则称为格。
三、解答题
1.将公式（（PQ）（QR））（PR）化成与之等价且仅含{、、}的公式。
2.将下列命题符号化：
（1）他虽聪明但不用功。
（2）除非你努力否则你将失败。
（3）我们不能既划船又跑步
（4）仅当你走我才留下。
3.用谓词表达式符号化下列命题：
（1）所有老的国家选手都是运动员。
（2）某些教练是年老的，但是健壮的。
（3）任何自然数不是偶数就是奇数。
（4）不是所有运动员都是教练。
4.求命题公式（PQ）的主合取范式。
5.求命题公式P（PQ）的主析取范式。
6.设集合A＝{1,2,3}，A上的关系R＝{<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>},
（1）画出R的关系图；
（2）写出R的关系矩阵；
（2）问R具有关系的哪几种性质（自反、反自反、对称、反对称、传递）。
7.构造一非空偏序集，它存在一子集有上界，但没有最小上界。
它还有一子集，存在最大下界但没有最小元。
8.以下哪些是函数？
哪些是入射？
哪些是满射？
对任意一个双射，写出它们的逆函数。
a）f:
ZN,f（x）=x2+1
b）f:
NQ,f（x）=1/x
c）f:
{1,2,3}{a,b,c},f={<1,b>,<2,c>,<3,a>}
d）f:
NN,f（x）=2x
e）f:
RRRR,f（x,y）=
9.设S={1,2,3,4,6,12}，D为S上的整除关系，
（1）试写出该关系并画出哈斯图；
（2）设子集B={2,3,6}，试求B的最大元、最小元、极大元和极小元；
（3）试求B的上界、上确界、下界和下确界。
10.设集合A有m个元素，B有n个元素，则A到B的关系有多少个？
A到B的函数有多少个？
11.判定下列代数系统是否为群，请说明原因。
（1），其中R为实数集，+为普通加法；
（2），其中I为整数集，为普通乘法
12.设群的运算表如下：
*
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
试写出的所有子群，及其相应的左陪集。
13.设G=，V={V1,V2,V3,V4}的邻接矩阵：
A（G）=
（1）试画出该图。
（2）V2的入度d-（V2）和出度d+（V2）是多少？
（3）从V2到V4长度为2的路有几条？
14.
试求下面有向图的强分图、单侧分图和弱分图
15.
（1）画一个有欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。
（2）画一个有欧拉回路，但没有汉密尔顿回路的图。
（3）画一个没有欧拉回路，但有汉密尔顿回路的图。
16.
下图给出的赋权图表示五个城市及对应两个城镇间公路的长度。
是给出一个最优的设计方案使各城市间有公路连通。
17.设有一组权3、4、13、5、6、12，
（1）求相应的最优树（要求构造的过程中，每个分支点的左儿子的权小于右儿子的权）。
（2）设上述权值分别对应英文字母b、d、e、g、o、y，试根据求得的最优树构造前缀码，并对二进制序列010*********译码。
四、证明题
1.A（BC）,（EF）C,B（AS）BE
2.试证明命题公式
为永真式。
3.试证明：
（PQ）∧（PR）∧（QS）SR
4.用推理规则证明：
（x）（P（x）Q（x））（x）P（x）（y）（P（y）Q（y））
5.对所有集合A、B和C，有（AB）C=A（BC），当且仅当CA。
6.若R和S是集合A上的等价关系，试证明RS也是A上的等价关系。
7.证明集合[0,1]和（0,1）是等势的。
8.设f:
X->Y和g:
Y->Z是函数，使得gf是一个满射，且g是一个入射。
证明f是满射。
9.设,是两个群，在G1G2上定义运算为：
=，证明是一个群。
10.f是群到群的同态映射，e’是G’中的幺元则，f的同态核K={x|xG且f（x）=e’}构成的代数系统是的子群。
11.证明在格中，若abc，则
（1）ab=bc
（2）（ab）（bc）=b=（ab）（ac）
12.若有n个人，每个人恰有三个朋友，证明n必为偶数。
13.证明当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时，e才是G的割边。
14.画出K3,3图，并证明其不是欧拉图，也不是平面图。
15.设G为连通图，证明当且仅当边e是G的割边时，e才在G的每颗生成树中。
16.设T是非平凡的无向树，T中度数最大的结点有2个，它们的度数为k（k>=2），证明：
T中至少有2k-2片树叶。
17.设G=有11个结点，m条边，证明G或者其补图G’是非平面图。
部分参考答案
一、判断题
1.（错误）
2.（正确）
3.（正确）
4.（错误）
5.（正确）
6.（正确）
7.（正确）
8.（正确）
9.（正确）
10.（正确）
11.（正确）
12.（错误）
13.（错误）
14.（错误）
15.（正确）
16.（正确）
17.（正确）
18.（正确）
19.（正确）
20.（错误）
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