关于雷达如何精确定位目标的研究数模论文.docx

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关于雷达如何精确定位目标的研究数模论文

关于雷达如何精确定位目标的研究

摘要

本文在三维空间直角坐标系的数学模型条件下，通过利用3dsmax等作图工具，建立了多基雷达对目标进行精确定位的三维几何模型，使问题直观易懂。

利用C++Builder程序设计得出了一套求解三元二次方程组的算法，建立了电子云模型，比较了雷达可能产生的坐标误差和距离误差对定位精度的影响.并结合Excel电子表格建立三维数组，计算并分析了在误差状态下，目标可能出现的位置的概率。

通过以上的研究工作，最终得出了多基雷达精确定位目标的算法，通过此算法分析、计算了材料所给出的三组实例数据。

并通过误差分析得出结论，给控制雷达定位精度提出了建议。

本模型具有广泛的实用性，可推广到军事、航海、航天等领域。

关键词

电子对抗，多基雷达，精确定位，三元方程，三维数组，误差分析，概率，正态分布，电子云模型.

问题的重述

在电子对抗领域，对辐射源位置信息侦察越精确，就越有助于对辐射源进行有效的战场情报信息获取和电子干扰，并为最终摧毁目标提供有力的保障.

如在某地上空发现有一可疑的飞行物，需要对其进行精确定位.常用的定位方法是基于多基雷达的测量方法.每个雷达都可以测量自身的坐标（xi,yi,zi），以及它到飞行物距离ri（i=1,2,3…n），其中n为雷达的总数.通过测量一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离，我们可以确定目标（空间飞行物）的坐标：

S（x,y,z）.

但由于每个雷达在测量自身坐标和飞行物到各雷达的距离的数据时，都存在测量误差，（坐标误差和距离误差）这给精确定位带来了困难.

假设测量时产生的距离误差服从正态分布N（0，σt），测量时产生的坐标误差服从正态分布N（0，σr）.

试通过数学建模分析上述情况,并回答以下问题：

1）在假设条件下，至少需要几个雷达才能精确定位飞行物？

2）在最少雷达的条件下，分析并比较距离误差和坐标误差对定位精度影响.

3）在实际情况中，往往使用更多雷达进行精确定位，设计一种定位算法，对附件所提供的三组雷达得到的测量数据，计算出飞行物的坐标.

4）试给出控制雷达定位精度的建议.

基本假设

1）模型建立的三维空间为无任何扭曲的欧几里得线性空间.

2）设每个雷达工作状态良好，且没有其他外界因素（如电磁波等）影响.

3）设每个雷达的测得的目标距离误差服都从正态分布N（0，σt），测得的自身坐标误差都服从正态分布N（0，σr），除此之外，雷达工作过程中的其他误差均忽略不计.

4）在基于多基雷达分析数据并计算结果的过程中，设目标物体在空中相对于每一个雷达均保持静止状态.

5）设飞行物不可能出现在xOy平面以下的区域.

6）目标物体和雷达均看为质点.

符号（参数）说明

1）设表示第i个雷达的点和坐标为Pi（Xi,Yi,Zi）.

2）设第i个雷达测得的自身坐标为pi（xi,yi,zi）.

3）设第i个雷达到飞行物的距离为Ri.

4）设第i个雷达测得其自身到飞行物的距离为ri.

（i=1,2,3…n，其中n为雷达的总数.）

5）测得目标飞行物的点和坐标为S（x,y,z）.

问题的分析

本问题是一个如何用多基雷达对飞行物进行精确定位，并分析比较坐标误差和距离误差对定位精度影响的问题.目的是精确定位所测目标，有助于对辐射源进行有效的战场情报信息获取和电子干扰，并为最终摧毁目标提供有力的保障.

首先，应建立三维直角坐标系的数学模型。

分析单个雷达的工作原理：

它可以确定待测目标在一个定半径的球面上。

从而在三维的模型中得出至少需要几个雷达能够确定目标位置的结论。

（问题一）

另外，雷达测量飞行物会产生两种误差，一是测量自身坐标产生的误差，二是测量自身到飞行物距离产生的误差.如何建立数学模型分析这两种误差对定位精度产生的影响是问题的关键.

由于这两种误差是影响目标定位精度的决定性因素，因此对不同的误差种类给予分别讨论.

先设无坐标误差，根据距离误差服从正态分布的假设，可以在目标物体附近的空间中，分析它们在某一位置区域出现的可能性。

其中，我们将目标附近的空间区域划分为若干个三维的“块”，然后建立一个三维数组来分别表示在对应每个块中目标可能出现的概率.从而分析距离误差对精确定位的影响.

也可以通过电子云的思想，利用计算机编程，实际演习并得到很多次不同测量结果，这些测量出的目标坐标在空间中形成很多个点，通过这些点构成的电子云模型，可以分析距离误差对精确定位的影响.

同理，再设无距离误差，根据坐标误差服从正态分布的假设，利用上面的方法来分析坐标误差对精确定位产生的影响.

通过比较两种误差的三维数组及电子云模型，就可以比较两种误差对精确定位的影响.（问题二）

在实际情况中，往往使用更多雷达进行精确定位，我们需要设计一种定位的算法。

通过分析，初步决定了算法的基本模式。

即在给出的所有雷达里面，分别选取所有可以粗略定位目标的基本雷达组合，并通过选取的基本雷达组合计算得到一组散点，再求出这些点的几何中心，即为目标的最终定位坐标.（问题三）

最后，我们将针对减小这两种误差的方法，给控制雷达定位精度提出建议.（问题四）

模型的构建与求解

[1]电子对抗是敌对双方利用电子设备或器材进行的斗争,是现代化战争中一种重要的作战手段.它利用电磁能探测、识别敌方使用的电磁频谱和电子设备，并根据探测和识别结果采取各种电子措施和非电子措施（如施放有源干扰、无源干扰和发射反辐射导弹）予以削弱、阻碍、甚至破坏，从而保护自己的电子设备正常应用电磁频谱，发挥最高效能.

（1）直角坐标系的建立

在研究所有问题之前，首先应该建立一个三维空间的数学模型.

以线性三维空间中的一个定点作为坐标原点O，以米为单位长度，以水平面作为xOy坐标平面，竖直向上为z轴方向建立三维空间直角坐标系O-xyz.

（2）问题一的建模与求解

问题一：

至少需要几个雷达才能定位飞行物？

首先，我们来了解一下雷达。

[4]雷达是用微波波段电磁波探测目标的电子设备。

雷达是英文radar的音译，意为无线电检测和测距。

雷达概念形成于20世纪初，在第二次世界大战前后获得飞速发展。

雷达的工作原理，是设备的发射机通过天线把电磁波能量射向空间某一方向，处在此方向上的物体反射碰到的电磁波；雷达天线接收此反射波，送至接收设备进行处理，提取有关该物体的某些信息（目标物体至雷达的距离，距离变化率或径向速度、方位、高度等）。

雷达分为连续波雷达和脉冲雷达两大类。

脉冲雷达因容易实现精确测距，且接收回波是在发射脉冲休止期内，所以接收天线和发射天线可用同一副天线，因而在雷达发展中居主要地位。

测量距离实际是测量发射脉冲与回波脉冲之间的时间差，因电磁波以光速传播，据此就能换算成目标的精确距离。

目标方位是利用天线的尖锐方位波束测量。

仰角靠窄的仰角波束测量。

根据仰角和距离就能计算出目标高度。

当雷达和目标之间有相对运动时，雷达接收到的目标回波频率与雷达发射频率不同，两者的差值称为多普勒频率。

从多普勒频率中可提取的主要信息之一是雷达与目标之间的距离变化率。

雷达在洪水监测、海冰监测、土壤湿度调查、森林资源清查、地质调查等方面显示了很好的应用潜力。

在题目所给出的条件中，一个雷达可以测量出的数据有两个，雷达自身的坐标Pi（xi,yi,zi）和雷达到目标物体S的距离ri.一个定点和一个定长给出了S可能的存在范围，即到定点Pi（xi,yi,zi）的距离等于定长ri的点集.在三维空间中，这个点集是一个以Pi为球心，以ri为半径球面，其方程为：

现在问题转化为，至少需要几个球面方程才能确定唯一的一点。

我们知道，方程组

当

即P1，P2，P3不共线时，可以解出两个坐标S（x,y,z）和S’（x’,y’,z’），这两个坐标可能不同或相同，也可能为虚值，这主要取决于化简后的一元二次方程里面的判别式的正负。

理论上，通过三个雷达可以精确定位目标在点S或点S’.

这里分两种情况：

1）这两个点的其中一个在实际情况下可能是一个无意义的点，虽然这个点实际存在，但目标不可能出现在这个点，此时仅用3个雷达就可以精确定位目标。

2）不能分辨目标可能出现在两个点中的哪一个，此时需要第四个雷达来辅助定位。

下面将通过一个几何模型说明这个问题.

1）如图1：

三维空间中，第一个雷达P1可以确定目标S在一个球面上。

再给出第二个雷达P2，它就能确定目标也在以P2为球心球面上，即在两个球面的公共部分上.如图，这个公共部分是一个圆。

通过第三个雷达P3的定位，即在圆上求一点，使其到P3的距离为r3，可以求得2个点.

图1，图中以网格为xOy面

在图中只画出了一个有效的点S，这是因为满足条件的另外一点在水平面xOy以下，而在实际情况中，空中飞行物的坐标不可能为负。

所以这一个点是没有意义的。

这种情况下，至少需要3个雷达即可精确定位一个目标。

2）

当三个雷达分别建立在三个山峰上时，这时根据方程求出的两个点可能都在xOy平面上方.

如图2，S和S’都在有意义的位置，且很容易可以得出这两个点关于平面P1P2P3对称.

此时需要第4个辅助雷达来辨认，从而最终确定目标点.

显然第4个雷达不能建造在与P1P2P3同一平面，这是为了避免第4个雷达到S和S’的距离相等，没有达到辨认的效果。

在图2的情况下，第4个雷达的最佳建造位置应在山谷中选取.

这种情况下，至少要通过3个主雷达和1个辅助雷达来精确定位目标.

图2，图中以地面为xOy面

通过上面两种情况的研究，我们可以得出第一题的结论，因为考虑到题目中明示可疑飞行物在某地上空，即目标不会出现在3个雷达所在的平面以下。

另一方面为了方便以后的研究，所以采用第1）种情况的结论：

3个雷达可以精确定位一目标，在这3个雷达所能确定的两个点中，取在3个雷达所在平面上方的点为目标所在点。

设三个雷达测得自身坐标分别为：

测得的到目标S的距离分别为：

则方程

的两个解中，z值较大的点为所定位的目标点.

令：

得到：

1式减去2式，1式减去3式后变成：

令：

后变成：

由8式和9式可以得出，令m1，m2，n1，n2满足：

将10式和11式代入7式可以得到：

整理得：

令：

解得：

将Z的值分别代入10式和11式即可解得X，Y的值，从而进一步解出坐标S（x,y,z）.此过程这里就不赘述了.

在实际情况中，三个雷达测得的自身坐标和到目标S的距离往往是一些很繁杂的数据，用笔算处理这些数据几乎成为不可能。

这里，我们将三个雷达精确定位目标坐标的计算过程，设计成为一个C++代码模块，方便程序员的调用。

代码模块祥见附录2。

另外规定一个函数

方便以后的研究.其中S即为定位的目标点，它能通过函数radar求出，

是三个雷达的坐标，

分别为各雷达到目标S的距离。

（2）问题二的建模与求解

问题二：

在第一题条件下，分析并比较距离误差和坐标误差对定位精度影响。

雷达测量飞行物会产生两种误差，一是测量自身坐标产生的误差，二是测量自身到飞行物距离产生的误差.由于这两种误差是影响目标定位精度的决定性因素，因此对不同的误差种类给予分别讨论.

1）距离误差分析

先设无坐标误差，只考虑距离误差的情况.

根据距离误差服从正态分布的假设，雷达测得的距离误差（Ri-ri）～N（0，σt）.

如图3为距离误差（Ri-ri）的概率密度曲线.

图3

图中可以看到，误差值的期望为0，标准差为

，查表我们可以计算并得到误差值在各个范围内的概率：

误差范围

-4.5至-3.5倍标准差

-3.5至-2.5倍标准差

-2.5至-1.5倍标准差

-1.5至-0.5倍标准差

概率

0.0002292

0.005977

0.0605975

0.2417303

-0.5至+0.5倍标准差

+0.5至+1.5倍标准差

+1.5至+2.5倍标准差

+2.5至+3.5倍标准差

+3.5至+4.5倍标准差

0.3829249

0.2417303

0.0605975

0.005977

0.0002292

下面建立一个二维模型来分析对距离误差的研究方法.（如图4），

在xOz平面上有两个雷达P1，P2，它们能够通过测定自身坐标和它们到平面上目标S的距离，定位目标S的理论位置为两条实线圆弧的交点S’。

而由于两台雷达在测量时均有距离误差，实际目标S会偏离测得的位置S’.基于P1，图中将平面按到P1的距离分成了若干层，实际目标S出现在每一层的概率可由正态分布函数算出；基于P2，图中又将平面按到P2的距离分成了若干层，同理实际目标S出现在每一层的概率也可由正态分布函数算出。

有了目标S出现在每一层的概率，就可以分别计算出图4中目标S出现在理论值S’附近的16个方块内的分别的概率，从而对距离误差进一步分析.

假设目标S到雷达P1，P2的距离足够远，那么图4中在误差范围内的那些方块区域，均可以看作是平行四边形。

这个假设将便于后面的研究。

设三维空间中的三个雷达A，B，C，它们测得自身到目标S的距离分别为r1，r2，r3，每个雷达在测量时的距离误差满足正态分布，且标准差为

，（r1，r2，r3>>

）.

三个雷达分别按照

将基于第i个雷达的空间区域分为9个部分，由于通过计算标准正态分布

.

它表明目标出现在3.5倍标准差以外的概率极低，所以9个区域中的中间7个区域是我们所要重点研究的区域。

如果把三个雷达将空间分成的区域交错起来，就形成了一个类似图5的几何模型，如图（这是一个仰视图）：

a.在指向雷达A的方向上将误差范围内的空间分为7“行”；

b.在指向雷达B的方向上将误差范围内的空间分为7“列”；

c.在指向雷达C的方向上将误差范围内的空间分为7“层”.

这样，我们就可以把在误差范围内的空间区域划分为7×7×7个三维的“块”，由于r1，r2，r3>>

，故这样的块可以近似看作是平行六面体.

图5

此时，目标S可能出现在这7×7×7个方块中的任意一个，也可能在其之外.

下面计算目标出现在每个方块区域的概率.

对这7×7×7个区域，这里定义一个7×7×7的三维数组Pijk来存放目标在每个区域之中的概率，如P2,1,3表示目标S出现在2行，1列，3层的概率.

这里引入了多维数组的概念：

多维数组是一种复杂的非线性结构，它们的逻辑特征是：

一个数据元素可能有多个直接前驱和多个直接后继。

1、数组（向量）——常用数据类型

一维数组（向量）是存储于计算机的连续存储空间中的多个具有统一类型的数据元素.同一数组的不同元素通过不同的下标标识：

（a1,a2,…,an）

2、二维数组

二维数组Amn可视为由m个行向量组成的向量，或由n个列向量组成的向量.

二维数组中的每个元素aij既属于第i行的行向量，又属于第j列的列向量

3、多维数组

三维数组Amnp可视为以二维数组为数据元素的向量.四维数组可视为以三维数组为数据元素的向量……

三维数组中的每个元素aijk都属于三个向量.四维数组中的每个元素都属于四个向量……

简单地说，三维数组就好比一个立体的矩阵.也可以把大小为i×j×k的三维数组理解为有i个二维的矩阵，每个矩阵的大小均为j×k.

如图，对于雷达A，在误差范围内的空间中，沿指向雷达A的方向分为7个行，（编号-3，-2，-1，0，+1，+2，+3）我们可以查表并计算得到目标在各行内的概率：

行

-3

-2

-1

概率

0.005977

0.0605975

0.2417303

0

1

2

3

0.3829249

0.2417303

0.0605975

0.005977

同理对于另外两个雷达而言，由对称性知，在相同行数，列数，层数的概率计算结果是相同的。

设行数为i，列数为j，层数为k，

又设Pi，Pj，Pk分别表示目标在第i，j，k行的概率，有下表：

i，j，k

-3

-2

-1

Pi，Pj，Pk

0.005977

0.0605975

0.2417303

0

1

2

3

0.3829249

0.2417303

0.0605975

0.005977

概率论中，设有n个事件发生的概率分别为P1，P2…Pn，且相互独立，则

它们同时发生的概率

P=P1P2P3…Pn.

（相互独立事件同时发生概率计算公式）

由于目标S可能出现的行数i，列数j，层数k相互独立，所以有公式

Pijk=PiPjPk.

由此我们就可以计算得出三维数组Pijk中每一个元素的值，通过映射，就可以得出目标S出现在误差范围内的每一个平行六面体内的概率.

通过Excel电子表格的计算，下面列出Pijk所有元素并计算出所有元素之和：

行数i=0：

0.0000137

0.0001387

0.0005533

0.0008764

0.0005533

0.0001387

0.0000137

0.0001387

0.0014061

0.0056092

0.0088855

0.0056092

0.0014061

0.0001387

0.0005533

0.0056092

0.0223757

0.0354453

0.0223757

0.0056092

0.0005533

0.0008764

0.0088855

0.0354453

0.0561489

0.0354453

0.0088855

0.0008764

0.0005533

0.0056092

0.0223757

0.0354453

0.0223757

0.0056092

0.0005533

0.0001387

0.0014061

0.0056092

0.0088855

0.0056092

0.0014061

0.0001387

0.0000137

0.0001387

0.0005533

0.0008764

0.0005533

0.0001387

0.0000137

行数i=±1：

0.0000086

0.0000876

0.0003493

0.0005533

0.0003493

0.0000876

0.0000086

0.0000876

0.0008876

0.0035409

0.0056092

0.0035409

0.0008876

0.0000876

0.0003493

0.0035409

0.0141252

0.0223757

0.0141252

0.0035409

0.0003493

0.0005533

0.0056092

0.0223757

0.0354453

0.0223757

0.0056092

0.0005533

0.0003493

0.0035409

0.0141252

0.0223757

0.0141252

0.0035409

0.0003493

0.0000876

0.0008876

0.0035409

0.0056092

0.0035409

0.0008876

0.0000876

0.0000086

0.0000876

0.0003493

0.0005533

0.0003493

0.0000876

0.0000086

行数i=±2：

0.0000022

0.0000219

0.0000876

0.0001387

0.0000876

0.0000219

0.0000022

0.0000219

0.0002225

0.0008876

0.0014061

0.0008876

0.0002225

0.0000219

0.0000876

0.0008876

0.0035409

0.0056092

0.0035409

0.0008876

0.0000876

0.0001387

0.0014061

0.0056092

0.0088855

0.0056092

0.0014061

0.0001387

0.0000876

0.0008876

0.0035409

0.0056092

0.0035409

0.0008876

0.0000876

0.0000219

0.0002225

0.0008876

0.0014061

0.0008876

0.0002225

0.0000219

0.0000022

0.0000219

0.0000876

0.0001387

0.0000876

0.0000219

0.0000022

行数i=±3：

0.0000002

0.0000022

0.0000086

0.0000137

0.0000086

0.0000022

0.0000002

0.0000022

0.0000219

0.0000876

0.0001387

0.0000876

0.0000219

0.0000022

0.0000086

0.0000876

0.0003493

0.0005533

0.0003493

0.0000876

0.0000086

0.0000137

0.0001387

0.0005533

0.0008764

0.0005533

0.0001387

0.0000137

0.0000086

0.0000876

0.0003493

0.0005533

0.0003493

0.0000876

0.0000086

0.0000022

0.0000219

0.0000876

0.0001387

0.0000876

0.0000219

0.0000022

0.0000002

0.0000022

0.0000086

0.0000137

0.0000086

0.0000022

0.0000002

可以看到一个明显的规律，当某两个参数固定时，另一个参数的绝对值越大，则概率越小.所有元素中P0,0,0最大.

计算得出三维数组的所有元素之和：

由此计算出目标S不在所有方块内的概率：

2）坐标误差分析及对两种误差的比较

先设无距离误差，只考虑坐标误差的情况.

目前，坐标误差还缺少定义。

现定义坐标误差的值等于雷达实际坐标（Xi,Yi,Zi）和测得的自身坐标（xi,yi,zi）之间的距离di.

根据坐标误差服从正态分布的假设，雷达测得自身坐标的误差di～N（0，σr）.

仿照上面距离误差的分析，我们初步建立了一个几何模型，如图6：

图6

A，B，C三个雷达在同一水平面上，即假设它们的坐标误差方向只能在平面内。

图中画出的三个雷达的位置即为他们所测得的自身的位置，而事实上这个位置是不准确的，它们的真实位置可能在误差范围内的某个格子之中.

虽然利用刚才的原理只能算出各个雷达在不同区域出现的概率，不能从数据上的体现坐标误差对测得结果的影响，但至少从图中可以得到一些结论来初步分析坐标误差.

如图，根据无距离误差的假设，我们可以把连接SA，SB，SC的三条线段看作是三根长度不可伸缩的长杆，组成了一个“三杆模型”.

先设在误差前后A，B，C相对位置不变，也就是说连接目标与三个雷达的三根长杆组成的“三杆模型”的结构没有被改变.显而易见，误