毕设论文流渗模型的计算机模拟.docx

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毕设论文流渗模型的计算机模拟

毕业设计（论文）任务书

题目：

渗流模型的计算机模拟

一、原始依据

1、论文的工作基础：

1逾渗是统计物理中的基础理论，在广泛的体系中得到应用。

然而，除了极少的规则点阵，大多数结构的逾渗阈值都是依赖计算机模拟获得的。

不规则结构的逾渗研究尤其薄弱。

近年来，R.Ziff提出了计算机模拟新算法，并应用于正方形点阵和立方体点阵；该算法的模拟计算效率较高。

本课题组在前期工作中提出了一种新的计算机模型：

RCP-LV模型，用于模拟多晶材料等无序不规则胞状结构；该模型的数据结构完整易用。

这种结构的逾渗问题，还没有研究过。

2研究条件：

电脑：

cpu：

P42.0GHz内存：

2；应用软件：

Matlab6.5

3工作目的：

研究RCP-LV模型的基本问题。

具体为

（1）设计统计发生逾渗时（估计）的逾渗值的方法和程序，用matlab编写程序并进行调试。

（2）对这些逾渗值进行进一步处理，利用统计学关系将这些统计结果经过推导和计算获得正则下的逾渗值。

（3）探讨提高Pc精度的方法。

（4）统计逾渗的最大集团，并进行结果分析。

二、参考文献

[1]R.泽仑．非晶态固体物理学[M]．北京：

北京大学出版社，1988．155—217．

[2]M.E.J.Newman,R.M.Ziff.EfficientMonteCarloalgorithmandhigh-precisionresultsforpercolation[J]．Physicalreviewletters.2000,85（19）:

1—4.

[3]M.E.J.Newman,R.M.Ziff.FastMonteCarloalgorithmforsiteorbondpercolation[J].PhysicalreviewE,2001,64（016706）:

1—16.

[4]GeoffreyGrimmett.Percolation[M].Beijing:

WorldPublishingCorporation，2000,6

（1）,1992.6-10．

[5]G.R.Jerauld,L.EScrivenandH.T.Davis.Percolationandconductiononthe3Dvoronoiandregularnetworks:

asecondcasestudyintopologicaldisorder[J].J.Phys.C:

SolidStatePhys.1984,17（22）:

1—10.

[6]范智刚，吴裕功，赵选贺．Laguerre－Voronoi图软件包的设计和实现[J]．天津大报，2003，36（6）:

1—2.

[7]ScottKirpatrick.PercolationandConduction[J].Reviewsofmodernphysics，1973,45（4）:

1—13.

三、设计（研究）内容和要求

在本课题组的系列lognormal分布的Voronoi图上研究逾渗相关问题。

在已经计算出的lognormal分布的Voronoi图上利用已有的数据结构，设计研究逾渗所需的数据结构，完成查找和连接等算法模块，对逾渗现象作模拟研究。

具体目标参数如下所示。

主要指标和技术参数：

1、统计集团大小，比如发生逾渗时最大的集团大小，以及平均集团大小。

2、设计计算（估计）Pc的方法和程序，用matlab编写程序并进行调试。

3、尽量将Pc的精度提高（目前Pc值在各种模型即使是正方形模拟都没有精确值）。

具体要求：

1、了解逾渗模型的基础理论

2、在本课题组的Voronoi图上，利用matlab建模进行仿真运算。

3、在本课题组的Voronoi图上，通过计算机实验，统计并通过推导和计算估计Pc值，研究提高其精度的方法。

4、统计最大集团的性质。

指导教师（签字）

年月日

审题小组组长（签字）

年月日

摘要

本文采用了一种新的模型——LV（Laguerre-Voronoi）图——来进行逾渗试验，由于还没有相关的报道，这使得这次试验更有意义。

本文中，本文首先介绍了关于逾渗模型的一些概念，比如逾渗的定义，逾渗值，平均集团大小，以及各种应用。

基于ziff的算法本试验给出了适于LV模型的算法以及计算机程序。

在PC（cpu：

P42.0G内存1G）上完成整个模拟试验。

具体步骤是首先统计在不同规模下不同的逾渗值的大量数据（本实验中每个规模计算了104次），然后利用这些数据画出Rl（n）图，并记录下函数Rl（n）的数据，最后利用二项分布式的关系，转换成为正则下的函数Rl（p），通过函数的最大值来估计该规模的逾渗值。

并在最后分析了不同占据概率下最大集团在的图形。

关键词：

逾渗；LV模型；正则；微正则；逾渗值；集团

ABSTRACT

Inthispaper,anewmodel-LV（Laguerre-Voronoi）-waschoosedtodetectthepercolationthreshold.Becauseoftheabsenceofrelevantreports,whichmakesthistestmoremeaningful.

Firstly,themodelofpercolationhasbeendiscussed,sowassomerelatedconcept,forexample,percolationthreshold,averageclustersize,andsomeapplicationsinmanyfields.AmodelsuitableforLVthealgorithmandcomputerprogramweregavebasedonZiff’salgorithminthepaper.TheprogramwasperformedonthePCwith2.0GhzPentium4and1Gmemory.

Thenfortheparticularrun,thesystemispercolatedforallhighervaluesofp.Whentheresultswasaverageover,Rl（n）hasbeenplot–althoughitisactuallythemicrocanonical.Atlast,thefinalstepistogetthecanonicalRl（p）byconvoLVingwiththebinomialdistribution.FromthemaximumoftheRl（p）,thepercolationthresholdwasfound.Andthepictureofthebiggestclusterwithdifferentpwasanalysed.

Keywords：

percolation；LVmodel;canonical;microcanonical；percolationthreshold；cluster；

目录

第一章绪论…………………………………………………1

1.1课题的提出与研究意义…………………………………1

1.2课题的发展、背景及现状………………………………3

1.3课题的目的与着重点……………………………………4

1.4论文安排…………………………………………………4

第二章所用模型及逾渗模型简介…………………………5

2.1逾渗模型及其概念的介绍………………………………5

2.1.1逾渗实例说明……………………………………………5

2.1.2标度理论…………………………………………………5

2.1.3标度律及标度理论的普适性……………………………6

2.1.4逾渗的相关定义…………………………………………6

2.2逾渗理论三个应用的介绍………………………………7

2.2.1Ag1-xCox巨磁电阻的应用………………………………8

2.2.2金属一绝缘颗粒复合介质的应用……………………8

2.2.3逾渗理论在器件可靠性上的应用………………………8

2.3V图、PV图和LV图定义…………………………………9

2.3.1V图简介…………………………………………………9

2.3.2LV图简介…………………………………………………9

2.4伪随机数的产生…………………………………12

2.4.1随机数生成的方法………………………………12

第三章逾渗算法及其计算机实现…………………………14

3.1算法的描述………………………………………………14

3.1.1已有的应用于正方形晶格的算法……………………18

3.1.2本文对于所采用的算法的基本思想及改动…………19

3.2基于树的“连接/查找”的粗糙计算结果………20

3.3性能分析…………………………………………………22

第四章非正则下逾渗值的计算……………………25

4.1微正则与正则规则的解释………………………………25

4.2Rl（p）和Rl（n）的定义…………………………………25

4.3利用Rl（p）计算精确逾渗值（即正则下逾渗值）…26

4.4使用Rlh估算逾渗值……………………………………32

4.5逾渗值方差的计算………………………………………32

4.6系统的最大集团的统计…………………………………34

第五章结论与建议…………………………………………36

5.1结论………………………………………………………36

5.2建议………………………………………………………36

5.3待解决的问题……………………………………………36

参考文献……………………………………………………37

外文资料

中文译文

致谢

第一章绪论

1.1课题的提出与研究意义

定量研究材料的宏观性能与其微观结构之间的关系，一直是材料科学的主要目标。

但是在现实条件中，由于传统材料科学面临着现有实验手段和仪器难以满足需要等问题，这种研究受到了限制。

随着计算机运行速度的不断提高和科研工作对定量预测要求的不断增加，数值方法在材料科学中的应用越来越广泛，使得基于理论辅助的材料设计——计算材料学（computationalmaterialsscience）正成为近年来一个迅猛发展起来的多学科交叉新兴研究领域。

计算机可以用于模拟现实中许多无法完成或者成本很高的实验，验证已有理论的正确性以及根据模拟结果适当的修正已有理论，也可以从材料的微观变化机制的模拟研究出发，对研究材料成分，结构以及制备参数进行优化设计，计算机模拟已成为除试验和理论外解决实际问题的重要组成部分，并且这种研究成本很低，近年来的文章，尤其是在逾渗方面发表很多[1]。

逾渗模型是计算材料学中一个重要的模型，逾渗模型的核心内容是存在一个尖锐的相变，在转变点系统的长程连接性突然消失（从另一个角度看突然出现）。

这一基本转变是当系统的成分或某种广义的密度变化达到一定值（称为逾渗值）时突然发生的。

在逾渗之处，许多重要的性质将以“行或者不行”的方式发生性质上的突变，比如两个通讯基站之间的联络能否进行，其答案只能是是或者否[2]。

最初逾渗模型的提出是为了研究流体在无序多孔介质中流动时提出的，如今已应用于各个领域中。

例如：

Ag1-xCox巨磁电阻[3]，聚乙烯-炭黑复合材料[4]，金属绝缘颗粒复合介质[5]，微电子可靠性[6]等领域中获得了应用。

而除了这些物理应用以外，还在现代电阻网络，森林火灾还有其他生态扰动，传染病，因特网中得到了应用[8]。

例如，可以想象一个果园，均匀栽植着一种果树，遭受某种高度传染的枯萎病的威胁，令函数p（r）代表病株传染给相距为r处的另一健康的树的概率，假定p（r）已知。

果农想得到最大产量，自然希望利用已有的果园栽种实际最大可能数目的果树。

现在要问：

在能够避免枯萎病引起的果园毁灭危险的前提下，可以允许的最大栽植密度是多少？

假定彼此分隔得很远的几个单株将不可避免的染病，即破坏果园中有限百分比的果树，定义为果园的毁灭。

显然，逾渗模型对所提问题的回答如下：

果树之间的间距a必须足够大，以保证p（a）

即间距必须超过临界距离rc，在这个距离之外，p（r）已经降到低于pc。

由此，逾渗理论的解应取a≥rc。

这种情况下，损失局限于最初感染的病株周围的有限集团[2]。

当然也不能选取的a过大，这样虽然不会有感染的发生，但果园的产量会受到很大的影响。

表1-1逾渗理论的应用例子[2]

现象或体系

转变

多孔介质中流体的流动

群体中疾病的传播

通讯或电阻网络

导体和绝缘体的复合材料

超导体和金属复合材料

不连续的金属膜

螺旋状星系中恒星的随机形成

核物质中的夸克

表面上的液He薄膜

弥散在绝缘体中的金属原子

稀磁体

聚合物凝胶化，流化

玻璃化转变

非晶态半导体的迁移率

非晶态半导体中的变程跳跃

堵塞/流通

抑制/流行

断开/联结

绝缘体/金属导体

正常导电/超导

绝缘体/金属导体

非传播/传播

禁闭/非禁闭

正常的/超流的

绝缘体/金属导体

顺磁性的/铁磁体的

液体/凝胶

液体/玻璃

局域态/扩展态

类似于电阻网络

逾渗理论的重要实际意义，在于它可广泛应用于说明众多物理、化学、生物及社会现象，迄今其应用范围还在不断扩大，比如疾病传播等社会现象也可以用逾渗模型来描述。

表1-1列举了十五种不同的现象，都是已采用逾渗模型加以分析的。

表中约一半属宏观现象，一半属微观过程。

宏观和微观的分界线在表的中间。

这特意把两种极端情形并列以便于区别，请注意不同例子的特征长度相差可达1035。

银河系的特征尺度量级为1022cm，而核子的尺度量级为10-13cm，用以说明逾渗理论广阔的适用范围。

表1-1的下部列出了逾渗理论对非晶态固体的应用。

请注意逾渗现象与电子定域问题（非晶态固体的迁移率或安德森转变）以及原子定域问题（玻璃化转变）的联系，二者均属于凝聚态物理现象，其特征长度的典型值为10-8—10-2cm。

非晶态固体是逾渗理论概念的一个富有成果的应用领域，它提供了一个具有丰富的无规结构的自然对象。

在这里，拓朴无序起着至关重要的作用。

对聚合物科学而言，逾渗理论可用于阐明玻璃化转变、溶胶-凝胶转变（它是一种特殊类型的玻璃化转变）等相变过程，也可用于说明聚合物功能化和高性能化改性研究中（如导电、导磁、发光、阻燃、组装、共聚、共混、复合、增韧、交联、碳黑增强、凝胶化、IPN等）各式各样的临界现象及其中最重要的物理概念[2]。

1.2课题的发展、背景及现状

Broadbent和Hammersley在1957年共同发展了逾渗理论。

当时的Broadbent正参与设计煤井作业时必须使用的防护面具。

这些防护面具是利用多孔碳颗粒制成的，可以渗过空气，并利用多孔碳的吸附作用除去空气中悬浮的颗粒、粉尘等杂质，从而起到防护的作用。

如果防护面具中的微孔与微孔间是充分连通的，空气就能通过对流、扩散作用深入多孔碳内部，与碳颗粒表面充分接触，从而可以有效地去除杂质;反之，如果微孔与微孔间连通不充分，空气就不能深入多孔碳内部与碳颗粒表面充分接触，也就不能有效地去除杂质，防护面具就会失效。

Hammersley后来也对这种“流体”在“随机介质”中的传播问题很感兴趣，于是他和Broadbent合作，发展了他们关于“逾渗”的理论。

这里，“流体”和“随机介质”都可以看作是广义的（这也是逾渗理论得以广泛应用的原因之一）。

“流体”可以指液体、蒸汽、热流、电流、甚至是传染病病毒等等;“随机介质”可以是多孔岩石、复合导电导热材料、化学催化剂、人群乃至社会等复杂无序系统。

这类问题后来被人们称为“逾渗”（percolation），因为“流体”流过“随机介质”的清形非常类似于咖啡流过过滤器（percolator）。

图1-1“咖啡壶”流通的逾渗模型[2]

当时，J.M.Hammersley考虑的是流体在一个由许多通道组成的网路中流动，而某些通道〔无规地）被堵塞。

图1-1是这一逾渗过程的草图，并附有一个理想化了的二维蜂房形的通道网络，表示出液体如何迂回曲折地通过六角形的“咖啡渣’。

图的右下部显示了相应的网络图，粗线表示联键，并标出了几个集团，其中一个集团己标明是一个可能的逾渗通路。

因此，逾渗可以看成是某种广义的“流体”流过一种“介质”，后者由许多相互连接的“水管”组成，其中有些“水管”的阀门被无规地关上了。

阀门放在接头处称为座逾渗，放在管子中间称为键逾渗。

此后，逾渗理论得到不断发展，R.Zallen说:

“处理强无序和具有随机几何结构的系统的理论方法甚少，其中最好的方法之一是逾渗理论。

逾渗模型引人入胜，一方面在于其数学上像玩游戏般的迷人，另一方面则是它为描述空间随机过程提供了一个明确、清晰、直观而又令人满意的模型。

逾渗理论还有重要的实际意义，它可应用于广泛的（其范围还在不断扩大）物理现象[9]。

”

自从逾渗理论提出以来，物理学家进行了大量的计算机模拟实验并将此理论广泛应用，这几十年来科学家们得到了无数的结果，但是，经过了数十年的努力，在最简单的正方形的晶格中的座逾渗问题仍然没有精确的结果，三维或者更高维的晶格也没有精确解，由于这些原因以及当前对于逾渗理解上的分歧，在这个领域许多模拟得到广泛应用[8]。

而由于三维LV图程序包的完成，使得在三维LV图计算Pc值成为可能，并且是前人未做过的结果。

1.3课题的目的与着重点

通过计算机模拟可以将一些很难做的实验或者机理并不清晰的过程通过数值计算来获得一个近似的结果，通过模拟来指导实践以得到更高的效率。

本文是在已有的LV数据结构上进行的仿真实验，用来算出LV图的逾渗值，分别计算了2维和3维的图形的逾渗值，2维模型可以用来作为森林火灾，疾病传染，薄膜淀积的过程的模型，而3维模型则可以用来模拟电介质的电学特性，多孔介质中流体的流动等。

本文利用Robert.Ziff提出的算法进行仿真，计算逾渗值，着重点是对于不同规模尺度下的模型的逾渗值进行大量计算，并对这些结果进行进一步的转换和处理，进行结果分析。

1.4论文安排

文章的第一章是绪论，对模型及背景进行了简单的介绍。

针对不同的模型，所需要模拟的维数也有所不同。

第二章介绍了逾渗的基本概念以及一些在工程上的应用。

在此还介绍了所采用的晶格模型，给出了各个图示，得到直接的认识，这种模型下的逾渗计算目前尚无报道。

第三章对于粗糙的逾渗值进行了进一步的处理以及进行了复杂度的分析，给出了具体的算法和结果分析。

第四章介绍了正则和微正则的概念，并计算了正则下的逾渗值。

第五章为结论部分，对文章进行总结并提出以后的方向和优化方向。

第二章所用模型及逾渗模型简介

2.1逾渗模型及其概念的介绍

2.1.1逾渗实例说明

为了说明逾渗过程并引入逾渗阈值的概念，考虑一个假想实验例子。

一个相互联结的正方形点阵网络代表非常大的通讯网络。

设想有一个醉汉手拿剪刀，边走边无规地（完全随机地）剪断某些联线。

醉汉毫无“目的”，其行为的最终效果将破坏两个通讯中心间的电讯联络。

现在问∶醉汉必须随机地剪断多大百分数的联线或联键，才能终断两通讯中心之间的全部联系?

逾渗理论可以给上述问题以确定的回答。

实际上，这个问题说明了逾渗模型的中心内容，即存在一个尖锐的转变，在转变点处系统的长程联结性突然消失（或出现）。

这一重要转变是当系统的成分或某种广义的密度变化达到一定值（称为逾渗阈值pc）时突然发生的。

在逾渗阈值处，系统的许多重要的性质将以“行或不行”的方式发生突变。

此外另一个介绍逾渗理论的最常用的一个模型是无规导电网络。

如图2-1所示，在这一导电网络中的座可以是随机被占座（相当于导体，以实心小球示例，概率为P），也可以是空座（相当于绝缘体，以空心小球示例，概率为1-P）。

在低密度P下，导体可以是孤立座，也可以和邻近座组成小集团（S集团）。

当P很低，没有形成贯穿网络对边的通道，整个网络就是绝缘体。

当P值足够高而达到临界值（逾渗阐值Pc）时，网络中出现从网络一端联到相对端的通道，整个网络成为导体。

图2-1无规导电网络的模型

2.1.2标度理论

标度理论是对于几何相变（临界点附近现象）的一个“普适性”理论。

对于几何相变，某些性质却能在临界点附近出现很明显的变化。

逾渗的标度理论讨论的就是逾渗的临界行为，即在临界点邻域内，各种参数随自变量的变化程度〔相关基本概念参见表2-1）.

由上面的论述可知，对于逾渗概率

当PPc时为有限值。

实际上，进一步研究表明，

在临界点过后，以无穷大斜率突增，且与逾渗阈值的距离P-Pc的依赖关系遵从幂次律:

（2-1）

同样还可得到以下关系式

（2-2）

（2-3）

（2-4）

式中α，β，

γ，ν的指数被称为临界指数。

通过这一系列的表达式可将复合体系的宏观性能与微观的状态（被占座概率P）与逾渗值相联系。

也就是说，可以通过标度理论对复合材料临界区的行为进行定量的描述。

表2-1逾渗标度理论中的基本定义

物理量名称

定义

S-集团

由S个相互联结的被占座组成的群体

S一集团数n

单位网格节点上的S-集团的数目

逾渗概率p

被占座属于无限大逾渗网格的份额

逾渗阈值Pc

无限大网格上第一次出现无限大集团（即出现逾

渗）的有限概率

标度区域

标度理论中参数适用的区域

关联长度

集团的平均跨越长度

集团的平均大小Sav（P）

集团大小对所有集团的平均值

2.1.3标度律及标度理论的普适性

上述α，β，γ，ν临界指数对于二维和三维点阵是正的非整数，且相互间存在一定的关系（如2-a=γ+2β），它们通过一系列的标度律关联，研究表明，只有两个临界指数是独立的[7]。

这些幂次律的最突出的特征是这些指数不依赖于点阵几何结构的细节，对于相同维数的一切点阵都有相同的值，这一点与阈值（逾渗阈值可以随不同点阵而发生很大的变化）不同。

这就是标度理论的“普适性”特征。

2.1.4逾渗的相关定义

空间任何一种点阵都由座（顶点，键之间的交点）和键（边，联线，两点之间的成对的联结）组成。

点阵上的逾渗过程有两种基本类型：

键逾渗（bondpercolation）和座逾渗（sitepercolation）。

两种情况都是从规则的、周期的点阵出发，然后对每一个座或每一条键，无规地指定反映问题统计特征的非几何性的两态性质（是或非、断或通、有或无、联结或不联结等），从而把规则几何结构上的问题转变成随机几何结构的问题。

对于键逾渗过程，每条键只能有两种情况，或者是联结的，或者是不联结的；设联结的百分率为p。

应该指出，这儿必须假定系统是完全无序的，即每条键的联结概率p与其相邻键的状态无关，即每个键是否联接都是个独立事件。

同样地，对于座逾渗，每条键都是联结的，但“座”具有结构的无规联结性特征∶每一个座或者是被占据的，或者是不被占据的，相应的百分率分别为p和1-p。

仍假定，对于每一个座，概率p不受其相邻点的状态的影响。

被占据的座和未被占据的座分别称为“[已]占座”和“空座