圆中常用辅助线.doc
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圆中常用辅助线
遇到弦时(解决有关弦的问题时)
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径.
作用:
①利用垂径定理;②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量.
例1如图1,在以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦交小圆于、两点.求证:
.
图1
图2
证明过作于
∵为圆心,
∴
∴
练习如图2,为⊙的弦,
是上的一点,,.求⊙的半径.
2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.
例2如图,已知是⊙的直径,、分别是、的中点,,.
图3
(二)连结、、、(如图3).
请自己完成证明过程.
求证:
证明:
(一)连结、
∵、分别是、的中点,
∴、.
∵,∴.
∵,、,
∴△≌△.
∴.
∴.
3.有弦中点时常连弦心距
例3如图4,已知、分别是⊙的弦、的中点,,求证:
.
证明连结、.(其余证明过程略,请自己补充完整)
4.有弧中点(或证明是弧中点)时,常有以下几种引辅助线的方法:
⑴连结过弧中点的半径;⑵连结等弧所对的弦;⑶连结等弧所对的圆心角
例4如图5,已知、分别是⊙的半径、的中点,为弧的中点,求证:
.
图5
图4
证明连结OC
∵C为弧AB的中点
∴∴∠AOC=∠BOC
∵D、E分别为OA、OB的中点,且AO=BO,
∴.
∴△ODC≌△OEC.∴CD=CE.
5.有直径时常作直径所对的圆周角,再利用直径所对的圆周角为直角证题.
图7
图6
例5如图6,为⊙的直径,为弦,为延长线上一点,且,的延长线交⊙于,求证:
.
证明连结AD.
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADP=90o.
∵AC=PC,∴AC=CD=AP.
例6如图7,P是⊙O的弦CB延长
线上一点,点A在⊙O上,且.
求证:
PA是⊙O的切线.
证明作⊙O的直径AD,连BD,则
,即.所以.
因为,所以,即.
所以PA为⊙O的切线.
6.有等弧时常作辅助线有以下几种:
⑴作等弧所对的弦;⑵作等弧所对的圆心角;⑶作等弧所对的圆周角.
练习:
1.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,交点为E,F为DC延长线上一点,连结AF交⊙O于M.求证:
∠AMD=∠FMC(提示:
连结BM)
2.如图,△ABC内接于⊙O,D、E在BC边上,且BD=CE,∠1=∠2,求证:
AB=AC.
7.有弦中点时,常构造三角形中位线.
例7已知如图8,在⊙中,AB⊥CD,OE⊥BC于E,求证:
OE=AD.
图8
证明作直径CF,连结DF、BF.
∵CF为⊙O的直径,∴CD⊥FD.
又∵CD⊥AB,∴AB∥DF.∴.∴AD=BF
∵OE⊥BC,O为圆心,CO=FO.
∴CE=BE.∴OE=BF.∴OE=AD.