反比例函数难题拓展含答案.docx

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反比例函数难题拓展含答案

反比例函数难题拓展（含答案）

反比例函数经典专题

知识点回顾

由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。

这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：

一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题

设P为双曲线

上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|   

  ∴xy=k    故S=|k|   从而得

结论1：

过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|

对于下列三个图形中的情形，利用三

△PnAn-1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数y=

（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An-1An都在x轴上．则点A10的坐标为

2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y=

的图像上，如果△PAB的面积为6，求P点的坐标。

【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y=

（x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=

（k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标为m，解答下列各题

1.求k的值

2.求点C的横坐标（用m表示）

3.当∠ABD=45°时，求m的值112

1、已知：

如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，反比例函数y=

（x＞0）的图象经过A，E两点，点E的纵坐标为m．

（1）求点A坐标（用m表示）

（2）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由

2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=

的图象上．

（1）求AB的长；

（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=

的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=

的图象（如图2），求k1的值；

（3）直线y=-x上有一长为

动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件

（2）下，第一象限内的双曲线y=

于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？

若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由．

【例3】在平面直角坐标系中，已知A（1,0）,B（0,1），矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF∽△BOE（顶点依次对应）

（1）求∠FOE；

（2）求证：

矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，点P（a，b）是反比例函数y=

在第一象限内的任意一点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y 轴于点N，PM，PN分别交直线AB于E，F，有下列结论：

①AF=BE；②图中的等腰直角三角形有4个；③S△OEF=

（a+b-1）；④∠EOF=45°．其中结论正确的序号是②③④

【例4】已知：

如右图，已知反比例函数y=

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经过（a，b），（a+1，b+k）.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；

（3）利用

（2）的结果，请问：

在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？

若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．

已知反比例函数y=

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标：

（3）根据函数图象，求不等式

＞2x-1的解集；

（4）在

（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？

若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

一、巩固练习：

解答题

1、已知反比例函数y=

图象过第二象限内的点A（-2，m），作AB⊥x轴于B，Rt△AOB面积为3；若直

线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数y=

的图象上另一点C（n，-1）．

（1）反比例函数的解析式为y=-

，m=3，n=6；

（2）求直线y=ax+b的解析式；

（3）设直线y=ax+b与x轴交于M，求AM的长；

（4）根据图象写出使反比例函数y=

值大于一次函数y=ax+b的值的x的取值范围。

2、已知如图：

矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线BD的中点，点B、D的坐标分别为B（1，0），D（3，3），反比例函数y=

的图象经过A点，

（1）写出点A和点E的坐标；

（2）求反比例函数的解析式；

3、如右图已知反比例函数y=

（k＜0）的图像经过点A（-

，m），过A点作AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为

。

123

（1）求k和m的值

（2）若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点M,求∠AMO和|AO|:

|AM|的值

二、拓展训练

4、已知反比例函数y=

和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b）、（a+1，b+k）两点．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若两个函数图象在第一象限内的交点为A（1，m），请问：

在x轴上是否存在点B，使△AOB为直角三角形？

若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；

（3）若直线y=-x+

交x轴于C，交y轴于D，点P为反比例函数y=

（x＞0）的图象上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于E，过P作x轴的平行线交直线CD于F，求证：

DE•CF为定值．

过手练习

1、已知：

如右图已知反比例函数y=

的图像与一次函数y=kx-7的图像都经过P（m，2）

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值．118