含权债券的定价---较全面.ppt

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第九章第九章含权债券的定价含权债券的定价BlacksModel利率二叉树利率二叉树期限结构的艺术期限结构的艺术利率模型利率模型含权债券的定价含权债券的定价利率顶与利率底利率顶与利率底互换选择权互换选择权可赎回和可回售债券可赎回和可回售债券可转换债券可转换债券期权定价模型期权定价模型Black-ScholesmodelBlackScholes（1973）其中，其中，c为买入期权的价格，为买入期权的价格，S为标的股票的当前市价，为标的股票的当前市价，K为买入期权的执行价，为买入期权的执行价，T为距离到期日的时间，为距离到期日的时间，r为无风险为无风险利率，利率，为股价变动的标准差。

为股价变动的标准差。

B-S公式的比较静态分析公式的比较静态分析例：

例：

Black-Scholes模型的问题模型的问题给欧式给欧式calloption定价：

定价：

3年零息债券，年零息债券，行权价为行权价为$110,面值为面值为$100。

结论很明显，应该是结论很明显，应该是0。

但在下面假设情况下，但在下面假设情况下，r=10%，4%的年的年价格波动率，用价格波动率，用Black-Scholes模型计算模型计算出来的价格为出来的价格为7.78!

应用传统应用传统Black-ScholesModel给债券定价的问题给债券定价的问题如果要使用上述公式为债券定价，我们必须要假如果要使用上述公式为债券定价，我们必须要假设债券价格未来设债券价格未来3年的演变过程，可这一过程异常年的演变过程，可这一过程异常的复杂，原因如下：

的复杂，原因如下：

债券价格在到期日必须收敛至面值，而股票的随债券价格在到期日必须收敛至面值，而股票的随机演变过程不需要这一限制。

机演变过程不需要这一限制。

随着到期日的临近，债券价格的波动率会下降，随着到期日的临近，债券价格的波动率会下降，B-S公式假定波动率为常数显然不合适。

公式假定波动率为常数显然不合适。

B-S公式假定短期利率为常数，而在固定收益证公式假定短期利率为常数，而在固定收益证券方面，我们又假定了债券价格随机变动，明显券方面，我们又假定了债券价格随机变动，明显矛盾。

矛盾。

此外，上述的利率可能为负值也是一个问题。

此外，上述的利率可能为负值也是一个问题。

BlacksModel尽管存在着以上问题，尽管存在着以上问题，Black-Scholes的变形，的变形，即即BlacksModel,也还经常被使用，其条件也还经常被使用，其条件是是:

a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。

期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。

b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数正态分布。

正态分布。

例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期时，就可以利用时，就可以利用BlacksModel利用利用BlacksModel给欧式期权定价给欧式期权定价利用利用BlacksModel给欧式期权定价给欧式期权定价T=期权到期日期权到期日F=到期日为到期日为T，价值为，价值为V的远期价格的远期价格K=执行价格执行价格r=T期的即期收益率期的即期收益率（连续利率连续利率）=F的波动率的波动率N=累积正态分布累积正态分布Pc=valueofcallPp=valueofput例例:

应用应用BlacksModel给给10个月期的欧式期权定价：

标的债券为个月期的欧式期权定价：

标的债券为9.75年，面值年，面值$1,000,半年利息半年利息$50（在在3个月后和个月后和9个月后得到个月后得到）?

已知已知今天债券价格今天债券价格$960（包括应计利息包括应计利息）执行价格执行价格$1,0003个月的无风险利率为个月的无风险利率为9%，9个月的无风险利率为个月的无风险利率为9.5%，10个月的无风险利率为个月的无风险利率为10%（以年为基础，以年为基础，连续利率连续利率）债券价格的波动率为年债券价格的波动率为年9%例例:

应用应用BlacksModel求解求解第一步第一步:

找到远期价格找到远期价格计算期权价格的参数为计算期权价格的参数为:

F=939.68,K=1000,r=0.1,=0.09,T=10/12=.8333.例例:

应用应用BlacksModelBlacksModel的缺陷的缺陷尽管尽管BlacksModel通过假定某个利率，或债券价通过假定某个利率，或债券价格，或其他变量在将来某个时刻的概率分布为对格，或其他变量在将来某个时刻的概率分布为对数正态，从而在某种程度上改进了数正态，从而在某种程度上改进了Black-ScholesModel的缺陷，这也使得这一模型能够的缺陷，这也使得这一模型能够被应用于对上限、欧式债券期权和欧式互换这样被应用于对上限、欧式债券期权和欧式互换这样的产品定价，但是，这一模型仍然有局限性。

的产品定价，但是，这一模型仍然有局限性。

这些模型不能够对利率如何随时间变化来提供描这些模型不能够对利率如何随时间变化来提供描述，因此，对美式互换期权、可赎回债券或结构述，因此，对美式互换期权、可赎回债券或结构性债券产品定价时就不再适用了。

性债券产品定价时就不再适用了。

因此，我们需要将注意力由债券的价格转移至利因此，我们需要将注意力由债券的价格转移至利率上来。

率上来。

含权债券定价的定价策略含权债券定价的定价策略可回购债券的价值可回购债券的价值=不可回购债券价值不可回购债券价值-CallOption的价值的价值可回卖债券的价值可回卖债券的价值=不可回卖债券价值不可回卖债券价值+PutOption的价值的价值回购债券定价策略回购债券定价策略:

利用利率模型给不可回购债券定价利用利率模型给不可回购债券定价利用利率模型给嵌入的利用利率模型给嵌入的calloption定价定价.利率二叉树（利率二叉树（binomialinterestratetree）前面已经提及，当我们为债券的含权证券定价时，前面已经提及，当我们为债券的含权证券定价时，我们需要将注意力转移到利率的演化上来。

我们需要将注意力转移到利率的演化上来。

假设假设6个月期和个月期和1年期的即期利率分别为年期的即期利率分别为3.99%和和4.16%。

另外，。

另外，6个月后个月后6个月的即期利率可能演个月的即期利率可能演变成变成4%与与4.5%，图示如下：

，图示如下：

利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价根据即期利率目前所呈现的期限结构与根据即期利率目前所呈现的期限结构与6个个月期利率的树状图，我们可以计算月期利率的树状图，我们可以计算6个月期个月期与与1年期零息债券的价格。

面值年期零息债券的价格。

面值1000美元的美元的6个月零息债券，其价格树状图为：

个月零息债券，其价格树状图为：

980.4402=1000/（1+0.0399/2）利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价面值面值1000美元的美元的1年期零息债券，其价格树状图年期零息债券，其价格树状图为：

为：

注：

在这里，我们按照半年复利进行贴现的。

注：

在这里，我们按照半年复利进行贴现的。

959.6628=1000/（1+0.0416/2）2977.9951=1000/（1+0.045/2）980.3922=1000/（1+0.04/2）利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价1年期零息债券在年期零息债券在“日期日期1”的期望价格的期望价格（expectedprice）是：

）是：

0.5*977.9951+0.5*980.3922=979.1937以当时的以当时的6个月期即期利率将上述价格折算个月期即期利率将上述价格折算为为“日期日期0”的现值，则期望折现值为：

的现值，则期望折现值为：

979.1937/（1+0.0399/2）=960.04这一数值与前面的这一数值与前面的959.6628并不相同，为并不相同，为什么？

因为上述期望值是有风险的。

什么？

因为上述期望值是有风险的。

利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价考虑一个在考虑一个在6个月之后可以以个月之后可以以978.50美元的美元的价格买进面值为价格买进面值为1000美元的美元的6个月零息债券个月零息债券的期权的价值。

选择权价值的树状图如下：

的期权的价值。

选择权价值的树状图如下：

利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价无套利原理为我们提供了一套处理上述问题的定无套利原理为我们提供了一套处理上述问题的定价方法，这一点在上一章中已有所体现。

价方法，这一点在上一章中已有所体现。

我们在我们在“日期日期0”使用使用6个月期和个月期和1年期零息债券构年期零息债券构建一个当利率上升到建一个当利率上升到4.5%时价值为时价值为0，当利率上，当利率上升到升到4%时价值为时价值为1.8922的组合。

的组合。

假定假定F0.5和和F1分别表示分别表示6个月和个月和1年期债券的面值，年期债券的面值，有有利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价解前述方程式得，解前述方程式得，F0.5=-772.0005，F1=789.3705即需要买进面值为即需要买进面值为789.3705美元的美元的1年期零息债券，年期零息债券，卖空卖空772.0005美元的美元的6个月期零息债券。

个月期零息债券。

依据无套利原理，选择权的价格应当为，依据无套利原理，选择权的价格应当为，0.9804402*-772.0005+0.9596628*789.3705=0.63而当我们直接将选择权的树状图中的值加权并贴现时，而当我们直接将选择权的树状图中的值加权并贴现时，其价值等于其价值等于（0.5*0+0.5*1.8922）/（1+0.0399/2）=0.9276，要大于选择权的真实价值。

，要大于选择权的真实价值。

利率二叉树与无套利定价利率二叉树与无套利定价与考察股票期权的价值时不考虑股价变动的概率与考察股票期权的价值时不考虑股价变动的概率相似，我们在计算上述选择权价值时，并未考虑相似，我们在计算上述选择权价值时，并未考虑利率发生变动的机率。

利率发生变动的机率。

这里给出的解释与股票期权的解释相同，即无论这里给出的解释与股票期权的解释相同，即无论利率上升的机率是利率上升的机率是0.1还是还是0.9，我们组合的成分，我们组合的成分均不变。

均不变。

这可能会引发人们的疑问，即各种状况出现的这可能会引发人们的疑问，即各种状况出现的“机率机率”扮演的是什么角色？

利率上升和下降的机扮演的是什么角色？

利率上升和下降的机率实际上已经反映在债券的价格之中了，因而已率实际上已经反映在债券的价格之中了，因而已经通过这一渠道影响了选择权的价值。

经通过这一渠道影响了选择权的价值。

利率期权的风险中性定价利率期权的风险中性定价在前面，我们利用无套利原理，通过构建投资组合的方法在前面，我们利用无套利原理，通过构建投资组合的方法得到了选择权的价值，但这一方法并不简便，我们可以借得到了选择权的价值，但这一方法并不简便，我们可以借用上一章提出了风险中性定价原理来为利率期权定价，具用上一章提出了风险中性定价原理来为利率期权定价，具体如下：

体如下：

在前面，我们已经说明了，未来的期望值的现值并不等于在前面，我们已经说明了，未来的期望值的现值并不等于该债券的价格，但某一虚拟的机率可以做到这一点。

该债券的价格，但某一虚拟的机率可以做到这一点。

利率期权的风险中性定价利率期权的风险中性定价假定假定P为为“上行状况上行状况”的机率，的机率，（1-P）为为“下下行状况行状况”的机率，依据下述方程式有，的机率，依据下述方程式有，P等等于于0.661，并不是我们假定的实际机率，并不是我们假定的实际机率0.5。

让我们再次考虑选择权价格的树状图，让我们再次考虑选择权价格的树状图，利率期权的风险中性定价利率期权的风险中性定价当我们使用上述的当我们使用上述的“虚拟机率虚拟机率”（风险中性概率）对选择权的（风险中性概率）对选择权的价值求期望并贴现时有，价值求期望并贴现时有，可以看出，这一结果与前面使用复制的投资组合的方法得出的可以看出，这一结果与前面使用复制的投资组合