灾情巡视问题进一步优化.docx
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灾情巡视问题进一步优化
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号（如果赛区设置报名号）：
所属学校（请填写完整的全名）：
淮北师范大学
参赛队员（打印并签名）：
1.孙三山
2.孙丰凯
3.郭婉璐
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
李昌文
日期：
2011年8月14日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
灾情巡视问题
摘要
本题所研究的分组巡视的最佳路线与多个旅行推销员的问题相似，但也有不同，因为此题还有均衡性要求。
这是一类图上的点的遍历性问题，即用若干条闭链覆盖图上所有的顶点，并使某些指标达到最优。
首先，将乡村公路示意图转化为赋权连通图，并通过最小生成树法将原权图划分为若干个子图，然后，利用Hamilon圈法分别求出各个子图的最佳巡视路线。
最后，利用本文中自定义的均衡公式：
合，来衡量分组的均衡性，如果均衡度越小，那么分组的均衡性就越好，据此来判断分组是否满足题意。
而题中，在基于最小生成树法将原权图划分为若干个子图的划分情况下，就必然使得总巡视路程相对较短，而均衡度不够令人满意，此时根据实际需要，若要使总巡视路程优先，达到相对较短，则采用原划分的子图分组；若要使均衡度优先，达到满意要求，则我们可以对各分组部分边界点进行重划分调整。
【关键词】：
均衡度最小生成树Hamilon圈最佳巡视路线
目录
摘要3
一、问题重述5
二、问题分析6
三、模型假设7
四、符号说明7
五、模型建立与求解8
六、模型推广23
七、模型评价24
八、参考文献25
一、问题重述
下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。
今年夏天该县遭受水灾。
为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。
巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。
问题一：
若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。
问题二：
假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度v=35公里/小时。
要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。
问题三：
在上述关于T,t和v的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。
问题四：
若巡视组数已定（如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和v改变对最佳巡视路线的影响。
二、问题分析
本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线。
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回到点O，使得总权（路程或时间）最小。
针对问题一，我们采用最小生成树法求解并得到结果。
若分三组巡视，最小生成树法求解各组的巡视路程分别为159.3km、242.2km、186.4km，总路程为587.9km，路程均衡度为34%。
此结果下的总路程相对较短，而均衡度偏高。
如果要优先考虑均衡度，在最小生成树法求解发改进的基础上得到：
197.6km、204.9km、206.8km，总路程为609.3km，路程均衡度为4.4%。
针对问题二，基于计算可以发现至少分4组，并求出了各组的最佳巡视路线。
各组巡视的路程和时间分别为125.5km／19.6h、154.3km／22.4h、203.9km／23.8h、158.8km／21.5h，时间均衡度为18%。
针对问题三，巡视离县城最远的乡镇（点H）所需的时间6.43小时作为最短巡视时间，所以我分析不同的组，仍以权衡为衡量最佳路线的一个重要的标准，但同时也考虑到所用车辆尽量小，最后侧重不同角度经分析得出两种不同的分组，分别为22和7组。
针对问题四，实际上是一个变量讨论问题。
在分析乡（镇）停留时间T，村庄停留时间t和汽车行驶速度v的改变对最佳巡视路线的影响时，我们通过控制不同变量的变化，初步的得出了当两个变量变化时另一变量对我们选择最佳巡视路线的影响。
三、模型假设
1、公路不考虑等级差别，也不受灾情或交通情况的影响；
2、各条公路段上汽车行驶的速度可以认为是均匀的；
3、巡视人员在各乡（镇）、村停留的时间一定，不会出现特殊情况而延误时间；
4、各巡视组巡视的乡（镇）、村不受行政区划的影响，即某乡（镇）与隶属于它的村不一定要分在同一组内；
5、忽略不计巡视人员上、下车所用的时间。
四、符号说明
:
巡视人员的分组数;
：
赋权连通图；
：
赋权连通图的第
个子图
;
：
子图
中的最佳回路；
：
最佳回路
的各边权之和；
：
最佳回路
的巡视时间;
：
第
个乡、村到第
个乡、村的距离
；
：
巡视员在各乡（镇）的停留时间；
：
巡视人员在各村停留的时间；
：
汽车行驶的速度，单位公里／小时。
五、模型建立与求解
1、问题一模型的建立及求解：
根据题意现要分三组进行巡视，则我们需要把图
分成三个子图
，在每个子图
中寻找最佳回路
。
因为最小生成树中能包含图
中所有的顶点
，而且最小树的边权是相邻两顶点间的距离，它描述了顶点之间的相近程度，故可以采用最小生成树进行分组。
在无向赋权连通图G中任取一个回路,去掉这个回路中权数最大的边,得一新的网络图,在新图中再任取一回路,去掉这个回路中权数最大的边,得另一网络图，如此继续下去,直到剩下的子图中不再含回路为止,最后的这个子图为G的最小生成树如图1：
图1
由最小生成树进行分组结合最短路径得到下图
（2）
图2
把图2转化成表格形式即为表1：
表1
编号
路线
路线长度/公里
路线总长度/公里
Ⅰ
O-P-26-27-28-30-Q-29-R-
A-33-31-32-35-34-B-1-O
159.3
587.9
Ⅱ
O-25-20-L-19-18-J-13-14-H-15-
I-16-17-22-K-21-23-24-N-M-O
242.2
Ⅲ
O-2-5-6-7-E-11-G-12-10-
F-9-8-4-D-3-C-O
186.4
为了衡量分组的合理性，于是我们定义分组的路程均衡度公式：
；
显然
，
值越小，说明分组的均衡性越好，根据表一计算得均衡度
。
从上述图表中不难看出，第二组走的路程过长而第一组走的路程过短，两者之间的差值较大，也就是说这样分组的均衡性较差。
因此，我们需在基于最小生成树的原则之上对原来的分组进行适当的调整，适当优化后得如下分组图（3）。
图3
把图3转化成表格形式即为表2：
表2
编号
路线
路线长度/公里
路线总长度/公里
Ⅰ
O-P-26-N-24-27-28-Q-30-29-
R-A-33-31-32-35-34-B-1-O
194.0
605.5
Ⅱ
O-23-21-K-22-17-16-18-I-15-
H-14-13-J-19-L-20-25-M-O
225.1
Ⅲ
O-2-5-6-7-E-11-G-12-
10-F-9-8-4-D-3-C-O
186.4
根据上表计算均衡度
。
分析表3可知，第二组与第三组走的路程间的差值还是比较大，也就是说这样分组的均衡性还有待改善。
于是，我们在基于最小生成树的原则之上对初步改进后的分组进行适当的调整。
为了缩小第二、三组间的路程差，首先，我们将第二组的H点分到第三组；然后采用上述中同样的方法求解得到最终改进后各组的巡视路线图见表3。
表3
编号
路线
路线长度/公里
路线总长度/公里
Ⅰ
O-P-26-N-23-24-27-28-Q-30-29-
R-A-33-31-32-35-34-B-1-O
197.6
609.3
Ⅱ
O-P-26-N-25-21-K-22-17-16-18-I-15-
14-13-J-19-L-20-25-M-O
204.9
Ⅲ
O-C-3-D-4-8-E-9-F-10-
F-12-H-12-G-11-E-7-6-5-2-O
206.8
根据上表计算
。
图4
综上所述，通过我们科学严谨的计算，三次逐步的精确，不断优化，最终得到了均衡度相对比较小且总路程相对也比较小的路线，可信度比较高。
2、问题二模型的建立及求解：
此问添加了巡视组在各乡（镇）停留的时间
小时，在各村停留的时间
小时以及汽车的行驶速度
公里／小时的条件后，要求在24小时内完成巡视的最少分组数以及相应的最佳巡视路线。
此时需访问的乡（镇）共有17个，村共有35个，于是可以计算出巡视人员在乡（镇）及村停留的总时间为
小时。
此外，从问题一的结果中可知，巡视的总路程至少为500公里，则汽车行驶所需的时间和将超过14小时。
由此可知，各组巡视所需的总时间之和超过83小时，要想在24小时内完成巡视则应满足：
（i为分的组数）。
得i最小为4，故至少要分4组。
根据表1的最小生成树与最短路径图，并运用哈密顿回路法找出各个组的最佳巡视路线如图5。
并计算出各组最佳巡视路线的总长度及汽车行驶所需时间，同时算出各组的停留时间,从而得到各组完成巡视的最佳时间，如表4所示。
图5
表4
编号
路线
路线长度
停留时间
行驶时间
总时间
Ⅰ
O-1-B-A-34-35-33-31
-32-30-Q-29-R-O
125.5
16
3.6
19.6
Ⅱ
O-P-28-27-26-N-24-23-22-17
-16-17-K-21-25-M-O
154.3
18
4.4
22.4
Ⅲ
O-M-20-18-I-15-14-H-12-G-11
-G-13-J-19-L-20-M-O
203.9
18
5.8
23.8
Ⅳ
O-2-5-6-7-E-9-F-10-F-9-E
-8-4-D-3-C-O
158.8
17
4.5
21.5
从上述图表中可以看出所分的四个组的巡视时间均小于24小时，符合题意。
此外，计算得到该分组的时间均衡度公式为：
；
此时，计算得到均衡度：
。
故如图5所示的4组路线可行且符合题意。
3、问题三模型的建立及求解：
此问题就是要求如果有足够多的巡视人员，怎样确定最佳路线是完成巡视的时间最短。
实际上，完成巡视的最短时间受到单独巡视离县城最远的乡（镇）、村所需时间的制约，同时我们可以求出离县城最远的点是H点，距离为77.5公里。
因此，单独巡视返回该乡所需的时间为
小时。
由此可知，即使巡视人员再多，分组再细，完成巡视至少需要6.43小时。
基于此，此题就可以转化为求在6.43小时内完成巡视的最佳巡视路线。
3.1、模型一的建立与求解：
（1）如若从分组数最少的角度来考虑，则我们根据一下规则进行分组:
原则1：
对图中偏西且距县政府较远的乡（镇）、村：
1）在6.43小时内，每组巡视人员尽可能走足够多的乡（镇）、村。
2）在巡视时，尽量按出发点到该次巡视终点最短路径的路线巡视，但在不超过6.43小时的原则下，为了能够途经更多的点，我们可以不走最短路线。
3）巡视车从县政府出发，途中每到达一个乡（镇）、村，部分巡视人员下车巡视，车不停留（忽略不计巡视人员上、下车的时间）继续开往下个站点，直到到达最远点，车停下等待；然后按原路返回，依次到达每点接回巡视人员，直至出发点。
原则2：
由于第一种分组原则下，在最远点必须要花1或者2个小时的停留时间，针对这一浪费时间的缺点，对图中偏东且距县政府较近的乡、村，我们改进一种按圈巡视的方法，原则如下：
1）每组巡视人员巡视路线构成一个圈，且巡视两圈。
2）第一圈巡视时，途中每到达一个乡（镇）、村，部分巡视人员下车巡视，车不停留（忽略不计巡视人员上、下车的时间）继续开往下个站点，直至出发点，仍不停留继续第二圈巡视，到达每点依次接回巡视人员，直至回到出发点，结束。
3）在遵循不超过6.43小时原则下，按圈巡视时，总路线不能过长，不超过112公里；总路线也不能过短，避免车停留等待而浪费时间。
依据以上原则，我们在6.4小时内完成巡视，总共分成了7组，前5组遵循的第一种分组原则，后2组依据的第二种按圈分组原则。
具体的分组巡视路线和所需时间见表5。
表5（时间单位：
小时）
编号
路线
总时间
Ⅰ
O-2-5-6-7-E-9-F-12-H-14-
H-12-F-9-E-7-6-5-2-O
6.43
Ⅱ
O-M-25-20-21-K-18-I-15-
I-18-K-21-20-25-M-O
5.87
Ⅲ
O-2-5-6-L-19-J-13-G-11-
G-13-J-19-L-65--2-O
6.15
Ⅳ
O-2-3-D-4-8-E-9-F-10-F-9-E-8-4-D-3-2-O
6.38
Ⅴ
O-P-28-27-26-N-24-23-22-17-16-
17-22-23-24-N-26-27-28-P-O
6.37
Ⅵ
O-R-31-33-A-1-C-O-R-
31-33-A-1-C-O
4
Ⅶ
O-R-29-Q-30-32-35-34-B-1-O-
O-R-29-Q-30-32-35-34-B-1-O
5.64
由此可以计算出此种分组下的时间均衡度为：
。
基于此，我们可以得到巡视人员足够多的情况下分成7组的最佳巡视路线如图7。
图7
3.2、模型二的建立与求解：
（2）如果从均衡度角度的考虑的话，则我们根据一下规则进行分组:
在最短时间的限定下，完成巡视的最优路线应满足如下条件：
（1）每个组巡视的总时间不能超过最短时
小时；
（2）所有的点都必须访问到，不能漏点；
（3）所需巡视组数要尽量少。
在寻求最优路线时，从距离O点较远的一些点开始搜索比较容易，因为这些点的路线比较少。
具体方法如下：
第一步依据图1算出从O点到每一个点的最短距离；
第二步找出其中最大的一个，算出从O点沿最短路巡视所需的时间
，并求
；
第三步若
<1,则这一组只能访问这一点；
若
>1,则在余下的点中找到距离O点最远的点。
根据条件看这一组能否巡视这一点。
第四步若能巡视则算出
，转到第三步；
第五步若不能，则依次判断次远点，第三远点…,满足总巡视时间不超过
，就让这组巡视这一点，直到
<1,然后再从第二步开始。
通过以上的方法，最后我们找到的最优解是22个方程组，如表6。
表6
编号
巡视路径
停留地点
所需时间
时间差
1
O-H-O
H
6.43
0
2
O-2-5-6-L-19-J-13-14-13-J-10-L-6-5-2-O
13,14
6.15
0.28
3
O-M-25-21-K-18-J-15-I-16-17-K-21-25-M-0
15,16
6.31
0.12
4
O-2-5-6-7-E-9-F-12-G-11-E-7-6-5-2-O
12,11
5.94
0.49
5
O-2-5-6-7-E-8-E-9-F-10-F-9-E-7-6-5-2-O
8,10
6.22
0.21
6
O-2-5-6-7-E-11-G-11-E-7-6-5-2-O
G
5.58
0.85
7
O-2-5-6-7-E-9-F-9-E-7-6-5-2-O
9,F
6.14
0.29
8
O-2-5-6-L-19-J-18-K-21-25-M-O
J,18
6.229
0.14
9
O-M-25-21-K-18-I-18-K-21-25-M-O
I
5.49
0.94
10
O-M-25-21-K-17-22-23-N-26-P-O
17,22,23
6.12
0.31
11
O-2-5-6-L-19-L-6-5-2-O
L,19
5.64
0.79
12
O-M-25-20-21-23-24-N-26-P-O
20,21,24
6.10
0.33
13
O-M-25-21-K-21-25-M-O
25,K
5.50
0.93
14
O-2-5-6-7-E-7-6-5-2-O
6,7,E
6.38
0.05
15
O-R-31-32-35-34-N-1-O
31,32,35,34
6.32
0.11
16
O-R-29-Q-30-Q-28-P-O
Q,30,28
6.11
0.32
17
O-P-26-27-26-N-26-P-O
26,27,N
6.23
0.20
18
O-2-3-D-4-D-3-2-O
3,D,4
5.99
0.44
19
O-1-A-33-31-R-29-R-O
A,33,29
5.97
0.46
20
O-2-5-M-O
2,5,M
5.40
1.03
21
O-1-B-C-O
1,B,C
5.98
0.45
22
0-P-O-R-O
P,R
5.32
1.11
计算均衡度
而22个分组巡视的路线图如图8所示。
图8
对于分22组均衡度
比分7组小很多，我们只要派22辆车22组人就行，若每个地巡视需要
人，则共需要
个人，这是优点，缺点是分组明显过多，需要的车就多了。
对于分7组，我们假定是部分巡视人员下车巡视，车不停留，故节省了很多时间，若每个地巡视需要
人，则共需要
个人，从人员看是多很多，但从图中看每组人员会在路中行驶太多的弯路，这样会造成极大的浪费，比如油费，优点是均衡度少很多。
4、问题四模型的建立及求解：
:
分组后第k组中村的个数
:
分组后第k组中的乡镇数
M:
巡视所需要的最短时间，
:
分组后第k组中巡视路线的总路程。
，k=1,2,3,4
时间均衡度：
，
假设时间均衡度
<
时，最佳巡视路线不会改变，假设第i组巡视时间最短，第j组巡视时间最长则有：
当
时巡视路线不变，记
，分别对T，t,V求导，分三种情况讨论：
当T和t不变时，
，当
时,f为增函数，当增加到
值时我们将改变最佳巡视路线。
时，f为减函数，f为当我们选择分四组的情况时
，将我们对问题二求解时分四组数据代入可以量化分析。
当T和V不变时，
当
时，f为增函数，当增加到
值时我们将改变最佳巡视路线。
当
时，f为减函数。
当t，V不变时，
，当
时，f为增函数，当增加到
值时我们将改变最佳巡视路线。
当
时，f为减函数。
若在分四组的情况下最佳巡视路线中，时间均衡度为零，那么无论t，T，V怎样改变，
则不需要改变最佳巡视路线。
六、模型推广
在现实生活和生产中，有许多管理、组织与计划中的优化问题，如企业管理中，如何制订管理计划或设备购置计划，使收益最大或费用最小；在生产管理中，如何使各工序衔接好，才能使生产任务完成的既快又好；在交通管理中，如何利用现有的交通网络，使调用的物资数量多且费用最小等。
这类问题都可以借助图论知识得以解决。
网络模型就是一种应用图论的理论与方法解决具有网络性质的管理决策问题的数学模型。
由于它具有图形直观、方法简便、容易掌握等特点，因此，近年来得到迅速发展，且广泛地应用在各个领域，尤其是经济活动中许多管理决策的优化问题。
基本的网络优化问题有：
最短路径问题、最小支撑树问题、最大流问题和最小费用问题。
在图论这个数学分支中已经有有效的算法来解决这些问题，当然这当中有很多问题都可以建立线性规划的模型，但有时若变量特别多、约束也特别多，用线性规划的方法求解效率不高甚至不能在忍受的时间内解决。
根据这些问题的特点，采用网络分析的方法去求解可能会非常有效。
七、模型评价
优点：
⑴本文多处使用图表，增强了文章的可读性，使建模思想更加清晰易懂。
⑵在问题三模型一的求解中，我们假定当巡视比较偏僻的乡村时，汽车从县镇府出发直至到达终点，中途不会停留，仅在终点站停留一段时间等待，然后按原路返回，到达沿途各站接回巡视人员，这样考虑可以避免车停留等待而浪费时间，提高巡视效率。
（3）问题三的模型一，求解相对简单，而且节约的相当一部分车辆，问题三的模型二，可以节约很多的人力。
缺点：
（1）本文是针对具体问题分析的，利用最小生成树近似分组，需要多步优化才能得到相对较好的结果，有一定的局限性，如果点数增加的话，分析起来会更麻烦。
2）问题三的模型二，分组过多，消耗了很多车辆。
8、参考文献
[1]高随祥.图论与网络流理论[M],北京:
高等教育出版社,2009.1
[2]《运筹学》教材编写组编.运筹学[M],北京:
清华大学出版社,2008.6
[3]文安琪,宁宣熙,商红岩.四正则连环图的哈密顿图性质.[J],中国科技论文在线精品论文,2008.1（5）:
538-544
[4]Stronger0726.欧拉图与哈密图,74acaf84d9d528ea7ac7.html,2011.8.13
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