试题五二次规划.docx
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试题五二次规划
考试课程数学实验2002.06.15
A卷
1.已知非线性方程
。
取初值,在满足
的条件下,试用迭代公式
求该方程[0,1]内的根__0.44655_(保留小数点后5位),该迭代方法是__1___阶收敛。
给出求解该方程的Newton迭代公式
xk-(0.25xk+0.25+cos
(1)-cosxk)/(0.25+sinxk)。
x0=0.5;
x=zeros(50,1);
x
(1)=x0;
forj=1:
50
x(j+1)=acos(0.25*x(j)+0.25+cos
(1));
ifnorm(x(j+1)-x(j))<=1e-6
break;
end;
end;
j
x(j+1)
输出结果:
ans=0.446554*********
NEWTON法(2阶收敛):
对于方程f(x)=0,其牛顿法迭代公式为:
f(x)=0.25x+0.25+cos
(1)-cos(x)
x(k+1)=x(k)-(0.25x(k)+0.25+cos
(1)-cos(x(k)))/(0.25+sin(x(k)))
xk-(0.25xk+0.25+cos
(1)-cosxk)/(0.25+sinxk)
2.已知常微分方程初值问题:
。
试用数值方法求y
(1)=_1.3091_(保留小数点后4位),你用的方法是___龙格-库塔方法___。
%待解常微分方程组函数M文件源程序:
functiondy=ff(x,y)
dy=[y
(2);y
(1)*sin(x+y
(1))-y
(2)*exp(x)];
%应用欧拉方法和龙格-库塔方法求解该常微分方程:
ts=0:
0.1:
1;
y0=[1,0];
[x,y]=ode45(@ff,ts,y0);%龙格-库塔方法求数值解
[x,y(:
1)]
输出结果:
1.0000000000000001.309095782053819
3.假定显著性水平
。
已知某厂生产某种家用装修材料,某有害物质含量服从正态分布。
在一次连续五天的抽查检验中,得其材料的有害物质含量为
:
1.1,1.0,0.9,0.8,0.5,试问这种材料有害物质含量的置信区间(精确到3位小数)为_[0.3861.344]_;若规定这种材料的有害物质含量不能超过万分之五,试根据这次抽样的结果作假设检验。
你的原假设为___H0:
μ≤0.5_,用的Matlab命令是__ttest(x,0.5,0.01,1)___,检验结果是___接受原假设_。
x=[1.11.00.90.80.5];
[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,0.01)
输出结果:
muci=
0.385979420705654
1.334020579294346
x=[1.11.00.90.80.5];
[h,sig,ci]=ttest(x,0.5,0.01,1)
输出结果:
h=0
4.某投资公司经理正在考虑将30万元基金用于股票投资。
经过慎重考虑,他从所有上市交易的股票中选择了三种股票作为候选投资对象。
经过分析,该经理认为每年股票1的期望收益为每股5(元),方差为4;股票2的期望收益为每股8(元),而方差为36;股票3的期望收益为每股10(元),而方差为100。
假设不同股票的收益是相互独立的,目前股票1、2、3的市价分别为每股20元、25元,30元。
投资风险用收益的方差大小来衡量,如股票1投资x股时,投资风险为4x2。
1)如果不考虑投资风险,如何投资可以得到最大的期望收益?
2)如果该投资人期望今年至少得到5万元的投资收益,但是希望投资的总风险最小,则应如何投资?
3)计算在不同的投资期望收益(从0到最大收益,以整万元为单位)下投资的总风险,将计算结果填入下表(保留四位有效数字),并根据该问题的实际意义和以下数据给出拟合函数。
收益(万元)
风险
(1)不考虑投资风险,为线性约束优化:
决策变量:
股票一股数:
x1;
股票二股数:
x2;
股票三股数:
x3;
目标函数:
Z=5*x1+8*x2+10*x3
约束条件:
20*x1+25*x2+30*x3=300000!
!
!
!
!
此约束条件不恰当,可以选择不全部投资,即使此时全部投资获益最大!
20*x1+25*x2+30*x3≤300000
基本模型:
max(z)=5*x1+8*x2+10*x3
s.t.20*x1+25*x2+30*x3≤30000
x1,x2,x3
0
优化程序(线性):
c=[5810];
A1=[202530];
b1=[300000];
v1=[000];
[x,z,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1)
输出结果:
x=
1.0e+003*
0.0000
0.0000
10.0000
z=
-1.0000e+005
优化方案:
股票一股数:
0;
股票二股数:
0;
股票三股数:
10000;
最大收益:
100000元
(2)非线性约束优化:
决策变量:
股票一股数:
x1;
股票二股数:
x2;
股票三股数:
x3;
目标函数:
Y=4*x1^2+36*x2^2+100*x3^2
约束条件:
20*x1+25*x2+30*x3=300000!
!
!
!
!
此约束条件错误,为减少投资风险,投资商可以选择不全部投资!
20*x1+25*x2+30*x3≤300000
5*x1+8*x2+10*x3
50000
基本模型:
min(y)=4*x1^2+36*x2^2+100*x3^2
s.t.5*x1+8*x2+10*x3
50000
20*x1+25*x2+30*x3≤300000
x1,x2,x3
0
优化程序(非线性):
functiony=min1(x)
y=4*x
(1)^2+36*x
(2)^2+100*x(3)^2;
x0=[0010000];
A1=[-5-8-10;
202530];
b1=[-50000300000];
v1=[000];
[x,y,ef,out,lag]=fmincon(@min1,x0,A1,b1,[],[],v1)
Z=5*x
(1)+8*x
(2)+10*x(3)
T=20*x
(1)+25*x
(2)+30*x(3)
另:
可以使用二次规划:
H=[800;0720;00200];
A=[-5-8-10;202530];
c=[000];
b=[-50000,300000];
v1=[0,0,0];
[x,f]=quadprog(H,c,A,b,[],[],v1);
x
VAR=f
REV=-A(1,:
)*x
输出结果:
x=
1.0e+003*
6.9230768599643811.2307692571085390.553846164330979
y=
2.769230769230770e+008
Z=
50000
T=
1.858461538461538e+005
优化方案:
股票一股数:
6923;
股票二股数:
1231;
股票三股数:
554;
盈利金额:
50000元
投资金额:
185846元
最小风险:
276923077
(3)
y=zeros(1,11);
z=zeros(1,11);
fori=1:
11
x0=[0010000];
A1=[-5-8-10;
202530];
b1=[-10000*(i-1)300000];
v1=[000];
[x,y(i),ef,out,lag]=fmincon(@min1,x0,A1,b1,[],[],v1);
z(i)=5*x
(1)+8*x
(2)+10*x(3)
end;
y
z
grid
plot(z,y)
输出结果:
保留四位有效数字!
还要有0!
!
!
收益(万元)
1
2
3
4
5
风险
11076923
44307692
99692308
177230769
276923077
收益(万元)
6
7
8
9
10
风险
398769231
542769231
708923077
1624988257
10000000000
?
?
根据收益与风险对投股数的次数关系,可大致猜想关系如下:
y=f(z)=b1*z^2/(z+b2);
非线性回归分析:
y=f(z)=b1*z^2/(z+b2);
一元线性回归分析:
n=11;
T=[ones(n,1),z'];
[b0,bint,r,rint,s]=regress(y',T);
非线性回归分析:
M文件:
functiony=fun(b,z)
y=b
(1)*z.^2./(z+b
(2));
回归程序:
[b,R,J]=nlinfit(z,y,'fun',b0)%以一元线性回归结果b0作初值!
zz=0:
10000:
100000
yy=b
(1)*zz.^2./(zz+b
(2))
plot(z,y,'o',zz,yy)
nlintool(z,y,'fun',b)
拟合度很差!
!
!
!
!
!
!
求助!
!
!
考试课程数学实验2002.06.15
B卷
1.已知非线性方程
。
取初值
,在满足
的条件下,试用迭代公式
求该方程[0,1]内的根
____________(保留小数点后5位),该迭代方法是____阶收敛。
给出求解该方程的Newton迭代公式
___________________________________________________。
2.已知常微分方程初值问题:
。
试用数值方法求y
(1)=(精确到4位小数),你用的方法是,Matlab命令是。
3.假定显著性水平
。
已知某厂生产某种家用装修材料,某有害物质含量服从正态分布。
在一次连续五天的抽查检验中,得其材料的有害物质含量为
:
1.1,1.0,0.9,0.8,0.7,试问这种材料有害物质含量的置信区间(精确到3位小数)为____________________;若规定这种材料的有害物质含量不能超过万分之五,试根据这次抽样的结果作假设检验。
你的原假设为______________________,用的Matlab命令是__________________________,检验结果是____________。
4.某投资公司经理正在考虑将30万元基金用于股票投资。
经过慎重考虑,他从所有上市交易的股票中选择了三种股票作为候选投资对象。
经过分析,该经理认为每年股票1的期望收益为每股5(元),方差为4;股票2的期望收益为每股8(元),而方差为36;股票3的期望收益为每股20(元),而方差为100。
假设不同股票的收益是相互独立的,目前股票1、2、3的市价分别为每股20元、25元,60元。
投资风险用收益的方差大小来衡量,如股票1投资x股时,投资风险为4x2。
1)如果不考虑投资风险,如何投资可以得到最大期望收益?
2)如果该投资人期望今年至少得到5万元的投资收益,但是希望投资的总风险最小,则应如何投资?
3)计算在不同的投资期望收益(从0到最大收益,以整万元为单位)下投资的总风险,将计算结果填入下表(保留四位有效数字),并根据该问题的实际意义和以下数据给出拟合函数。
收益(万元)
风险
考试课程数学实验2002.06.15
A卷答案
1.解:
由原方程积分可得:
f(x)=x/4+1/4+cos
(1)-cos(x)=0
0.44655;1;
2.[0.3861.334];
;ttest(x,0.5,0.01,1);接受H0
3.1.3090(or1.3091);R-K方法
4..参考解答:
问题1)全部投资于股票3,最大的期望收益10万元。
问题2)分别用x1、x2和x3表示投资股票1、2、3的数量,决策目标可以表示为
Min
(1)
投资的期望收益约束为
5x1+8x2+10x3>=50000
(2)
考虑可用于投资的资金的限制,即
20x1+25x2+30x3300000(3)
(1)-(3)构成本题的优化模型(加上x1和x2的非负限制)。
MATLAB程序如下:
H=[800;0720;00200];
A=[-5-8-10;202530];
c=[000];
b=[-50000,300000];
v1=[0,0,0];
[x,f]=quadprog(H,c,A,b,[],[],v1);
x
VAR=f
REV=-A(1,:
)*x
计算结果为:
.0769*******
VAR=2.769230769230770e+008
REV=50000
由于在投资时购买股票的数量必须是整数,我们简单将上述结果取整。
例如:
x1=6923,x2=1231,x3=554(股)。
所用去的资金为185855(元),期望利润为50003(元),此时的风险(方差)为276956312。
问题3):
分别计算期望利润为0~10万元的情况,MATLAB程序如下:
H=[800;0720;00200];
A=[-5-8-10;202530];
c=[000];
v1=[000];
fori=1:
11,
b=[10000*(-i+1),300000];
x=quadprog(H,c,A,b,[],[],v1);
REV(i)=-A(1,:
)*x;
VAR(i)=x'*H*x/2.0;
end
plot(REV,VAR);
xlabel('REV');
ylabel('VAR');
B卷答案
1.
0.71553;1;
2.[0.5741.226];
;ttest(x,0.5,0.01,1);拒绝H0
3.1.6296(or1.6297);R-K方法
4.参考解答:
问题1)全部投资于股票3,最大的期望收益10万元。
问题2)计算结果为:
X=5196.30484988453,923.78752886836,831.40877598153
VAR=2.078521939953814e+008REV=50000
由于在投资时购买股票的数量必须是整数,我们简单将上述结果取整。
例如:
x1=5196,x2=925,x3=831(股)。
所用去的资金为176905(元),期望利润为50000(元),此时的风险(方差)为207852264。
问题3)
考试课程数学实验2002.06.15
A卷答案
2.解:
由原方程积分可得:
f(x)=x/4+1/4+cos
(1)-cos(x)=0
0.44655;1;
2.[0.3861.334];
;ttest(x,0.5,0.01,1);接受H0
3.1.3090(or1.3091);R-K方法
4..参考解答:
问题1)全部投资于股票3,最大的期望收益10万元。
问题2)分别用x1、x2和x3表示投资股票1、2、3的数量,决策目标可以表示为
Min
(1)
投资的期望收益约束为
5x1+8x2+10x3>=50000
(2)
考虑可用于投资的资金的限制,即
20x1+25x2+30x3300000(3)
(1)-(3)构成本题的优化模型(加上x1和x2的非负限制)。
MATLAB程序如下:
H=[800;0720;00200];
A=[-5-8-10;202530];
c=[000];
b=[-50000,30000];
v1=[0,0,0];
[x,f]=quadprog(H,c,A,b,[],[],v1);
x
VAR=f
REV=-A(1,:
)*x
计算结果为:
.0769*******
VAR=2.769230769230770e+008
REV=50000
由于在投资时购买股票的数量必须是整数,我们简单将上述结果取整。
例如:
x1=6923,x2=1231,x3=554(股)。
所用去的资金为185855(元),期望利润为50003(元),此时的风险(方差)为276956312。
问题3):
分别计算期望利润为0~10万元的情况,MATLAB程序如下:
H=[800;0720;00200];
A=[-5-8-10;202530];
c=[000];
v1=[000];
fori=1:
11,
b=[10000*(-i+1),300000];
x=quadprog(H,c,A,b,[],[],v1);
REV(i)=-A(1,:
)*x;
VAR(i)=x'*H*x/2.0;
end
plot(REV,VAR);
xlabel('REV');
ylabel('VAR');
B卷答案
1.
0.71553;1;
2.[0.5741.226];
;ttest(x,0.5,0.01,1);拒绝H0
3.1.6296(or1.6297);R-K方法
4.参考解答:
问题1)全部投资于股票3,最大的期望收益10万元。
问题2)计算结果为:
X=5196.30484988453,923.78752886836,831.40877598153
VAR=2.078521939953814e+008REV=50000
由于在投资时购买股票的数量必须是整数,我们简单将上述结果取整。
例如:
x1=5196,x2=925,x3=831(股)。
所用去的资金为176905(元),期望利润为50000(元),此时的风险(方差)为207852264。
问题3)