三角形的中位线教学设计熊蓓.docx
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三角形的中位线教学设计熊蓓
第十届全国初中青年数学教师优秀课展评
三角形的中位线
（义务教育课程标准北师大版八年级下册第六章第三节）
四川省成都市石室联合中学熊蓓
一、教材内容和内容分析
（一）教学内容
本节课是北师大版教材《数学八年级（下）》第六章平行四边形第三节的内容，主要研究三角形中位线定理及其应用．
（二）教学内容分析
本节课是在学生学习了平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称的基础上学习三角形中位线的概念和性质．三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段．三角形中位线定理为判定两直线平行和论证线段倍分关系提供了新的方法和依据，也为后续学习相似三角形奠定了基础．在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了转化思想，这种重要的思想方法无论在今后的学习还是科学研究中，都有着非常重要的作用．另外，在探索三角形中位线定理的过程中，需要学生观察、猜想、验证，在体会研究问题的一般步骤与方法的同时，有助于培养学生的创新思维和探索精神．
因此，本节课无论是知识的传承，还是能力的发展，思维的训练，都属于“空间与图形”领域中“图形的认识”部分的重要内容，有着承上启下的重要作用．
二、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1．经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力；
2．证明三角形中位线定理，体会转化思想，发展演绎推理能力；
3．运用三角形中位线定理解决相关数学问题和实际问题．
（二）教学目标解析
《义务教育数学课程标准（2019版）》在“课程设计思路”中明确指出：
“在数学课程
中应注重发展学生的几何直观和推理能力．”依据《课程标准》，遵循我校八年级学生的年龄特征和认知规律，结合教材确定了本节课的教学目标．
三、教学问题诊断分析
学生通过对全等三角形判定、平行四边形性质的学习，积累了一定的数学探究学习经验，对转化思想也有了初步了解，这为本节课的学习奠定了基础．但是对新的数学问题的探究，尤其是怎么把新问题转化为已知问题来解决，仍是八年级学生学习的难点．
我班学生从七年级入学开始实行小组合作学习，有很多讲演的机会，能够较好地表达自己的观点，学生能力层次较高，思维活跃，渴望应用所学知识解决新问题，但逻辑推理能力还有待进一步提高，数学思想方法的掌握还很薄弱．
而本节课对逻辑推理和转化思想的要求较高，因此在本课的学习中，估计学生能猜想到三角形中位线定理的内容．但在定理证明时，部分学生可能存在一定的困难，如：
不知如何正确添加辅助线将三角形转化为平行四边形来解决问题．另外，学生还可能陷入循环论证的思维误区．所以，为了实现良好的学习效果，除了运用现代信息技术辅助教学外，在困难环节可采用小组讨论和全班展示的方式来突破难点．
【教学重点及难点】
1．教学重点：
明确三角形中位线的定义，体验三角形中位线定理的探究过程，理解定理内容．
2．教学难点：
三角形中位线定理的证明．
四、教学支持条件分析
（一）知识储备
八年级学生在七年级下期已学习了三角形基础知识，能运用三角形全等证明线段及角相等．在本章学习了平行四边形的性质和判定，能够将三角形与平行四边形联系起来解决问题．
（二）教法
采用自主探究教学法．通过学生自主思考和互动研讨，充分经历探究三角形中位线定理的全过程，突出教学重点．
另一方面，在定理的推导过程中，鼓励学生用尽可能多的方法进行验证，注意将学生的证法提炼成以前学过的常见辅助线添法——截长补短，并强化转化思想，提升思维水平的深刻性，从而突破教学难点．
（三）学法
突出探究发现，实践体验，合作学习．
（四）教学媒体
教具：
教材（学案）、多媒体课件、平板电脑、三角板等．教学环境：
在智慧教室的环境下，利用平板电脑的拖动功能，有助于学生对定理进行
动态探索；通过平板电脑的交互功能，实现师生之间、生生之间的互助交流，成果共享．
五、教学过程设计
教学流程示意图
结合教材内容和教学目标，以及本班学生的学情，本课的教学环节及时间分配如下：
产生疑惑探究性质
前后呼应提出问题
应用新知归纳拓展
思维提升
教学过程
（一）情境导入
【教学内容与教师活动】借用前不久全班给王一婷同学过生日，各4人小组分享生日蛋糕这一事件引入，投影展示其中具有代表性（平均分成四份）的几种分法，并请这几个小组的代表谈谈当时分蛋糕的想法和依据，从而引出本节课的课题——三角形的中位线．
【学生活动】小组代表上台说明分蛋糕的想法和依据．（学生可能谈到第1、2种分法是利用三角形中线的性质，而第3种分法感觉是平均分配的，但说不清楚理由．）
【设计意图】通过一个前不久同学们刚刚经历过的生活场景入手，引起学生的兴趣与共鸣，充分调动其好奇心和求知欲，为本节课后续的深入学习埋下伏笔．
（二）明确定义
【教学内容与教师活动】
1．三角形的中位线的定义连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．2．辨析概念
判断题：
（1）如图，已知点D为线段BC的中点，则线段AD
为△ABC的中位线．（）
（2）三角形有且只有一条中位线．（）
A
BC
A
BDC
【学生活动】理解定义，明确定义的文字语言，思考、反馈，完成判断题，并给出判断理由．
【设计意图】通过第三种蛋糕的切法，自然而然地引出三角形中位线的概念，借助图形感知定义；通过辨析概念，内化定义．
（三）观察猜想
【教学内容与教师活动】A
1．已知线段DE为△ABC的中位线，观察图形，你能猜想到哪
些结论？
请学生发挥想象力，在合理的前提下进行大胆猜想．
2．随意调取几位同学上传的学案照片，将学生猜想的结论整合后书写在黑板上．
BC
（预设学生会猜想到线段DE与BC的位置关系和数量关系，以
及△ADE与△ABC的周长和面积的关系．）
【学生活动】观察图形，就三角形中位线可能的性质从多角度进行大胆猜想，将猜想的结果书写在学案相应位置，并用平板电脑拍照上传．
【设计意图】让学生进行自主探索与发现，初步感知三角形中位线的性质，培养探索精神和实践能力．
（四）验证猜想
（I）检验
【教学内容与教师活动】从关键入手，引导学生充分借助平板电脑的度量功能，检验
关于线段的两条结论：
DE//BC，DE=1BC．
2
【学生活动】用GeoGebra（图形计算器）软件在平板电脑上画出任意一个三角形及一条中位线，测量线段DE和BC的长度，以及∠ADE和∠ABC的度数，并拖动三角形的顶点，任意改变三角形的形状，看猜想的结论是否仍然成立，从而感知猜想的合理性．
【设计意图】通过多个图长度、角度的度量，进一步检验猜想的合理性，发展学生的合情推理能力．
（II）证明
【教学内容与教师活动】
1．让学生利用平板电脑，尝试添加辅助线，从逻辑上严格证明以上两条结论的正确性，在学生个体先独立思考的基础上进行小组讨论．（教师巡视，对确有困难的小组可予以适当的引导和启发．）
2．组织小组代表汇报探究成果，鼓励学生说出不同的证明方法．借助智慧教室的分享学生屏功能，将学生的平板与教师电脑互动，便于向全班同学展示多样化的证明方法．
预设学生有可能出现的证法①：
过C作CF∥AB交DE的延长线于F，
（或倍长DE至F，连接CF）先证△ADE≌△CFE，
再证四边形DBCF是平行四边形．
预设个别学生有可能出现的证法②：
过A，B，C分别作直线DE的垂线，
先证明△ADF≌△BDG和△AEF≌△CEH，再证四边形BGHC是平行四边形．
此外，部分学生还可能出现下面的辅助线作法：
过E作直线AB的平行线交BC于F（或取BC的中点F，连接EF），试图通过证明
△ADE≌△EFC来完成证明，这个思路虽然很自然，但证明△ADE≌△EFC的条件不足，学生可能陷入“循环论证”的思维误区．
3．借助智慧教室的点评功能，将各小组代表用于证明的图形上传到教师电脑，进行方法梳理、总结和数学思想方法的提炼：
（1）研究线段间倍分关系的基本思路之一是“截长补短”；
（2）通过添加适当的辅助线，将三角形问题转化为平行四边形问题，体现了一种重要的数学思想——转化．
4．请全班同学从所有方法中任选一种，在学案相应位置书写完整的证明方法．书写完成后用平板电脑拍照上传，从中选取1~2名同学的证明稍作点评．
【学生活动】
1．在平板电脑上画出图形（可添加辅助线），独立思考证明方法，整理思路，并与小组成员交流．
2．小组代表在全班展示、分享自己的证明思路，其他同学认真倾听，并及时补充，寻找不同的解决问题的方法．
3．选择自认为最简便的一种证明方法，规范书写证明过程，并用平板电脑拍照上传．
【设计意图】通过对证明方法的探究，体会证明活动是探索活动的自然延续和必要发展，感受合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．用不同的方法，通过严密的几何推理将三角形中位线定理进行证明，以此进一步锻炼学生分析和解决问题的能力，体会转化思想，发展演绎推理能力，自然地完成本节课难点的突破．通过选择最简便的证明方法完善证明过程，加强几何推理书写习惯的培养．
（五）得出定理
【教学内容与教师活动】师生共同总结出三角形中位线定理：
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
并强调定理两方面的涵义：
位置关系——平行，数量关系——倍分．
【学生活动】从位置关系和数量关系两方面来理解三角形中A
位线定理，并书写定理的符号语言：
若DE为△ABC的中位线，
则DE//BC，DE=1BC．
2
BC
【设计意图】让学生明确三角形中位线定理，理解定理两方面的涵义，掌握定理的符号语言，突出教学重点．
（六）解决问题
（Ⅰ）其他猜想
【教学内容与教师活动】在得到三角形中位线定理后，引导学生回到前面的猜想．在证明关于三角形面积的猜想的同时，也解决了引入中的“分蛋糕问题”．
A
BFC
【学生活动】学生运用三角形中位线定理判断出其他几个猜想是否正确，并加以证明．
【设计意图】让学生通过对其他猜想正确性的判断，一方面体会了三角形中位线定理的应用，另一方面也完美地解决了分蛋糕问题，起到了前后呼应的作用．
（Ⅱ）习题巩固
【教学内容与教师活动】给出三道由浅入深的习题，对于1、2小题，借助智慧教室的统计功能，查看学生完成情况统计图，根据统计结果，针对问题相对集中的地方作点评．第3小题可请“小老师”上台讲解．
1．已知三角形的各边长分别为8，10和12，则以各边中点为顶点的三角形的周长是（）．
A．8B．12C．15D．30
2．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，
若∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）．BC
A．50°B．60°C．70°D．80°
3．如图所示，在△ABC中，A1，B1，C1分别是边BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点，A3，B3，C3分别是B2C2，A2C2，A2B2的中点，依此类推．若
△ABC的周长为a，面积为s，则△AnBnCn的周长为，面积为．
AA
C1A2B1
A
C1A2B1
C3B3…
BA1CB
B2C2
A1CB
B2A3C2
A1C
（1）
（2）
（3）
【学生活动】学生独立完成习题并用平板电脑提交答案．
【设计意图】通过有层次的3个问题，强化对三角形中位线定理的掌握．第1、2小题直接巩固三角形中位线定理的数量关系和位置关系，及时了解全班学生基础知识的掌握情况，便于根据学生掌握情况调整教学，突出学生的主体地位．第3题有一定难度，注重知识、方法的灵活应用，通过小老师的讲解，激发学生的参与欲望，增强学生学习的成就感．
（Ⅲ）实际应用
【教学内容与教师活动】生活中，常遇到一些不能直接测量的距离问题，比如要测量如图所示的沙堆的宽度，你有什么办法？
独立思考后同伴交流．
【学生活动】联系到本节课的知识，思考怎样运用三角形中位线定理来解决沙堆问题．同伴交流互学，一名学生上台讲解测量方法．
【设计意图】测量沙堆宽度问题意在让学生体会到三角形中位线定理在实际生活中的应用价值，并培养学生的数学建模意识．
（七）小结升华
同学分享这节课的收获，师生共同完成对本课知识、方法及数学思想的总结和提炼．
【设计意图】通过回顾本节课学习的知识以及应用到的数学思想和数学方法，使知识和方法系统化，从感性认识上升到理性认识．
板书设计
六、教学目标检测设计
课后检测是对课堂的检测、巩固与提升．根据学情，在作业设计上，保留了课本的基础题型，对教材的“议一议”、随堂练习和习题6.6进行了整合．
必做题：
1．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：
先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离．你能说说其中的道理吗？
AHD
A
EG
CNB
BFC
（第1题）（第2题）
2．如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？
请证明你的结论，并与同伴交流．
3．求证：
三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
选做题：
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，试探究线段EF
与AD，BC的关系．
AD
BC
【设计意图】三个必做题，层层递进，练习1直接巩固定理，练习2注重定理的灵活
应用，练习3则强化转化思想，将问题转化为平行四边形来解决．其中练习2是教材“议一议”的内容，本堂课为了突出对定理证明的探究，将其调整为课后练习，让学生有一定思考后在下一堂课中继续研究．通过练习巩固对三角形中位线定理的掌握，进一步优化学生思维，提高能力．
选做题是课堂活动的延展，既面向全体学生，又满足学生个性发展的需要，是“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的较好体现．这道选做题是以教材删去的梯形中位线为蓝本，意在巩固三角形中位线定理的同时，让学生进一步体会转化思想．
七、教学设计思路说明
从总体而言本节课的设计实施思路是：
在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．采用“自主探究”的教学方式，教师为学生的探索和讨论提供条件，使学生在自主探索和合作交流的基础上发现结论、验证结论，让学生经历数学探究问题时“观察—猜想—验证”的完整过程．
在创设情景中，以一个大家刚刚经历过的生活场景入手，提出其中所蕴含的数学问题，引起学生的兴趣与共鸣，快速调动学生学习本节课的热情和激情，形成学生愿意参与的心态．
在观察猜想环节，鼓励学生大胆发挥想象力，引导学生通过合情推理的方式自主探索三角形中位线的有关性质，为学生提供自主探索发现的空间，避免生硬的告诉学生定理然后证明．
在验证猜想环节，先通过度量来检验猜想的合理性，让学生感知合情推理在探究活动中的重要地位．接着，为学生的积极思考创设条件，鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法；提倡证明方法的多样性，并引导学生在与他人交流中比较证明方法的异同，提高推理论证水平．同时教师并从中总结出其核心方法（通法）是截长补短，并转化成平行四边形．而转化中，添加辅助线是重要的一个手段，教师在证明思路上引导、启发，避免生硬地将辅助线直接作出来让学生接受．
在问题解决环节，先证明之前的其他猜想；再通过三道由浅入深的练习题，巩固三角
形中位线定理的数量关系和位置关系，以及定理的灵活应用；最后一道实际应用问题，进一步思考中位线定理在生活中的应用价值．
在小结升华环节，学生回顾、总结，养成良好的归纳与总结的习惯．通过课堂小结进一步巩固所学知识，并将知识进行梳理，形成知识体系，感受学习数学的魅力，建立学好数学的自信心，形成良好的自我评价．
整个课堂力图把更多的时间和空间都交给学生，让学生在教师的组织和引导下，充分发挥各自的聪明才智，自主探究；同时汇集集体的力量，群策群力，合作交流，使学生成为知识的发现者，成为数学学习的主人．
八、教学反思
整堂课中，同学们对我创设的问题很感兴趣，探究非常主动，回答问题非常踊跃，分组讨论、展示活动表现积极．师生交流、生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了我的预期．在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对基本知识的掌握情况和解决实际问题的意识和能力；在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教学评价的价值．同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会互相欣赏、学习和借鉴．总的说来有如下几点反思：
1.重视知识生长过程，凸显数学思想方法体验
本节课的设计非常强调数学知识的生长过程，引导学生深度经历探究过程，鼓励学生大胆的尝试新方法解决问题，使学生获得了较好的数学学习经验．并提炼探究问题的一般方法以及辅助线常见作法，渗透从特殊到一般和转化等数学思想．
2．层层问题铺垫引导，确保教学目标达成
在整个课堂活动过程中，特别强调了环节的设置与目标的达成相呼应，做到了由目标确定环节，在环节中实现目标．具体如下：
环节3：
观察猜想课堂学习目标1
环节4：
验证猜想课堂学习目标2
环节6：
解决问题课堂学习目标33．用活现代信息技术，力求最大化服务课堂选用智慧教室的环境，利用平板电脑对定理进行动态探索，引起学生的思维碰撞；而
平板电脑的交互功能，让师生之间、生生之间的互助交流变得更加方便，发挥了传统投影仪不能取代的作用．
如何用现代信息技术更好的服务于数学课堂，是我在今后的课堂中需要进一步研究提升的课题．
附件：
教材内容
指导教师点评
众所周知，几何学习中，合情推理和演绎推理都扮演着重要的角色，这节课恰恰着重体现了这两点．熊老师从生活情境出发让学生观察、合情推理获得数学猜想，再通过大量的数学活动，恰当地引导学生探索证明的不同思路和方法，突出演绎推理．并进行比较讨论，验证三角形中位线定理，激发了学生对数学证明的兴趣，发展了学生思维的广阔性和灵活性．
本节课整个教学过程始终围绕教学目标展开，层次比较清楚，环节紧凑，步步衔接，层层深入，形成知识的链条．并注意引导学生经历数学探究问题时“观察——猜想——验证”的完整过程，培养学生主动探究的意识，突出体现了学生对知识的获取和能力的培养．
在教学三角形中位线的定义时，充分展现概念的生成过程，熊老师没有把定义直接地呈现给学生，而是通过生活中的实例自然呈现；再利用三角形的中位线性质来解释生活中的实例，使学生更深的体会“数学来源于生活，应用于生活”的道理，很真实，很自然．
三角形的中位线定理既是本课的教学重点也是难点，熊老师让学生通过观察、猜想得出了三角形的中位线与第三边位置和数量之间的关系，这样的设计安排为学生的自主学习搭好了相应的台阶，这一操作激发了学生学习的兴趣，也缩短了学生认知的“潜在距离”，接着让学生尝试三角形中位线定理的证明，这样，不但调动了学生学习数学的积极性，而且让学生品尝到了一种成功的喜悦，增强了学好数学的信心，体现了课堂教学以学生为本的课堂理念．
针对该班学生的实际知识水平，熊老师安排了三道练习题，层层递进，练习1直接巩
固三角形中位线定理的数量关系，练习2深化位置关系，练习3则注重知识、方法的灵活应用；通过练习强化对三角形中位线定理的掌握，进一步优化学生思维，提高能力．接着熊老师组织学生对三角形中位线定理的实际应用开展了自主探究活动，通过方案设计，培养了学生运用知识解决问题和开拓创新的能力．
最后，熊老师与学生一起，从知识、方法等方面进行了全面的总结，尤其注重了对数学思想方法的提炼，提升了学生的思维层次．
在整堂课中，熊老师对现代信息技术的应用非常充分，尤其是将平板电脑引入数学课堂，实现了对定理的动态探索，以及师生之间、生生之间的互动交流、成果共享．
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