新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结练习.docx

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新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结练习

第二章：

实数

知识梳理

【无理数】

1.定义：

无限不循环小数的小数叫做无理数；注：

它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.常见无理数的几种类型：

（1）特殊意义的数，如：

圆周率以及含有的一些数，如：

2-，3等；

（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：

如：

2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如：

2-是无理数

（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。

如2,

（5）开方开不尽的数，如:

等；应当要注意的是：

带根号的数不一定是无理数，如：

等；无理数也不一定带根号，如：

）

3.有理数与无理数的区别：

（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；

（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：

（1）下列各数：

①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号）

（2）有五个数:

0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有（）个

【算术xx】：

1.定义：

如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术xx，记为：

“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术xx是3，即。

特别规地，0的算术xx是0，即，负数没有算术xx

2.算术xx具有双重非负性：

（1）若有意义，则被开方数a是非负数。

（2）算术xx本身是非负数。

3.算术xx与xx的关系：

算术xx是xx中正的一个值，它与它的相反数共同构成了xx。

因此，算术xx只有一个值，并且是非负数，它只表示为：

；而xx具有两个互为相反数的值，表示为：

。

例：

（1）下列说法正确的是（）

A．1的xx是；B．；（C）、的xx是；（D）、0没有xx；

（2）下列各式正确的是（）

A、B、C、D、

（3）的算术xx是。

（4）若有意义，则___________。

（5）已知△ABC的xx分别是且满足，求c的取值范围。

（6）（提高题）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。

求x－y的值.

xx：

1.定义：

如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的xx；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：

2.性质：

（1）一个正数有两个xx，且它们互为相反数；

（2）0只有一个xx，它是0本身；（3）负数没有xx

例

（1）若的xx是±2，则x=；的xx是

（2）当x时，有意义。

（3）一个正数的xx分别是m和m-4，则m的值是多少？

这个正数是多少？

3.

（1）

（2）中，a可以取任意实数。

如

例：

1.求下列各式的值

（1）

（2）（3）

2.已知，那么a的取值范围是。

3.已知2＜x＜3,化简。

【xx】

1.定义：

一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的xx（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。

如23=8，则2是8的xx，0的xx是0。

2.性质：

正数的xx的正数；0的xx是0；负数的xx是负数。

xx是它本身的数有0,1，-1.

例：

（1）64的xx是

（2）若，则b等于

（3）下列说法中：

①都是27的xx，②，③的xx是2，④。

其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个

【估算】

用估算法确定无理数的大小：

对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。

首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。

“精确到”与“误差小于”的区别：

精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。

方法点拨：

解决此类问题的关键是依据xx（xx）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。

例：

估算下列各数的大小

（1）

（2）（3）

用估算的方法比较数的大小

用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较

当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：

（1）若a＞b≥0,则

（2）若a＞b，则

（3）若a、b都为正数，且a＞b时，则a2＞b2

例：

通过估算比较下列各组数的大小

比较两个数的大小：

方法一：

估算法。

如3＜＜4方法二：

作差法。

如a＞b则a-b＞0.

方法三：

乘方法.如比较的大小。

例：

比较下列两数的大小

（1）

（2）

【实数】

定义：

（1）有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

（2）实数也可以分为正实数、0负实数。

实数的性质：

实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：

在数轴上的点到原点的距离。

实数的大小比较法则：

实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：

即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。

（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

实数的运算：

在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算法则和运算顺序与有理数的一

实数与数轴的关系：

每个实数与数轴上的点是一一对应的

（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。

（2）数轴上的每个点都表示已个实数。

例：

（1）下列说法正确的是（）；

A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；

C、1和2之间的无理数只有；D、不带根号的数都是有理数。

（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是（）

A、B、C、D、

（3）比较大小（填“>”或“<”）.

3，，，，

（4）数的大小关系是（）

A.B.C.D.

（5）将下列各数：

，用“＜”连接起来；______________________________________。

（6）若，且，则：

=。

【二次根式】

定义：

形如的式子叫做二次根式，a叫做被开方数

注意：

（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如是二次根式，而=3,3显然就不是二次根式。

（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。

若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。

例：

下列根式是否为二次根式

（1）

（2）（3）（4）

二次根式的性质：

性质1：

积的算术xx等于积中各因式的算术xx的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。

性质2：

商的算术xx等于被除数的算术xx除以除数的算术xx。

最简二次根式：

被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。

例：

1.化简：

（1）

（2）（3）

2.计算：

3.已知：

，求代数式的值。

6.（提高题）观察下列等式：

回答问题：

①②

③，……

（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；

（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。

课后练习

一、重点考查题型：

1.－1的相反数的倒数是2.已知｜a+3|+＝0，则实数（a+b）的相反数

3.数－3．14与－Л的大小关系是4.和数轴上的点成一一对应关系的是

5.和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是

6.在实数中Л,－,0,,－3．14,无理数有　　　个

7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（　　）

（A）非负数　　（B）非正数　　（C）负数　　（D）正数

8．若x＜－3，则｜x＋3｜=。

9．下列说法正确是（　　）

（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数

（B）带根号的数都是无理数　（D）无理数都是开方开不尽的数

10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：

（1）c-b和d-a

（2）bc和ad

二、考点训练：

*1．判断题：

（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（　）

（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|xx成立；（　）

（3）两个无理数之和一定是无理数；（　）

（4）两个无理数之积不一定是无理数；（　）

（5）任何有理数都有倒数；（　）

（6）最小的负数是－1；（　）

（7）a的相反数的绝对值是它本身；（　）

（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（　）

2．把下列各数分别填入相应的集合里

－|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－,－,,（－）0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中

无理数集合｛｝　　负分数集合｛｝

整数集合｛｝　非负数集合｛｝

*3．已知1

4．下列各数中，哪些互为相反数？

哪些互为倒数？

哪些互为负倒数？

－3,－1，3，－0．3，3－1，1+，3

互为相反数：

互为倒数：

互为负倒数：

*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值

6.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，

求+-3cd=。

*7．已知＝0，求ａ＋ｂ=。

三、解题指导：

1．下列语句正确的是（　　）

A、无尽小数都是无理数B、无理数都是无尽小数

C、带拫号的数都是无理数D、不带拫号的数一定不是无理数。

2．和数轴上的点一一对应的数是（　　　）

A、整数　B、有理数　C、无理数　　D、实数

2．零是（　　　）

A、最小的有理数B、绝对值最小的实数　C、最小的自然数D、最小的整数

4.如果a是实数，下列四种说法：

（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，

（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，

（3）ａ的倒数是，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有个

*5．比较下列各组数的大小：

（1）

（2）a

6．若a,b满足=0,则的值是

*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|

（1）判定a+b,a+c,c-b的符号

（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|

*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为

9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。

10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？

11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术xx、xx是它本身的数各是什么？

12．把下列语句译成式子：

（1）a是负数　　；

（2）a、b两数异号；（3）a、b互为相反数；

（4）a、b互为倒数；（5）x与y的xx是非负数；

（6）c、d两数中至少有一个为零；（7）a、b两数均不为0。

*13.数轴上作出表示，，－的点。

四．独立训练：

1．0的相反数是　　，3－л的相反数是　　，的相反数是　　　；－л的绝对值是　　　，0　的绝对值是　　，－的倒数是

2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是　　　。

A表示的数是－，且AB＝，则点B表示的数是。

3　－,л,（1－）º,－,0．1313…,2cos60º,－3－1,1．101001000…

（两1之间依次多一个0）,其中无理数有，整数有，负数有。

4.若a的相反数是27，则｜a|＝；5．若|a|＝，则a=

5．若实数x，y满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是

6．实数可分为（　　　）A、正数和零B、有理数和无理数C、负数和零D、正数和负数

*7．若与1－a互为相反数，则a等于a=

8．当a为实数时，=－a在数轴上对应的点在（　　　）

A、原点右侧B、原点左侧C、原点或原点的右侧D、原点或原点左侧

*9．代数式＋＋的所有可能的值有个。

10．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图

（1）比较a－b与a+b的大小

（2）化简|b－a|+|a+b|

11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜

试化简：

｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜

*12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0。

求它的周长。

＊13．若3，ｍ，5为三角形xx，化简：

－