研究生高等代数复习题.docx
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研究生高等代数复习题
1.设是数域P上线性空间V的线性变换且扌2扌，证明:
（1）的特征值为1或0;
（2）01（0）
A（）|V;（3）
*扌"01fllTUl
£J1血引&1-4
［d亠2」LaV*1
V才（0）/（V）.
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（«叫刀专壯丫]国弘0\记出和忙小加elV,曲此肋卜煤J-殖RhRl対&炭MAWu血
Me畑隔茫卜鯛皿W伽咄换片⑷二W二2-如]£艸』.
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Aoi-A^+^IZ.貞b）+AL
审aVoteA）fl5ft由dIe如心阳p.
嶽[小吊。
讹比加"十賊.
2.已知是n维欧氏空间的正交变换，证明：
的不变子空间W的正交补W也是
的不变子空间.
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演M肛坊涵凤y詁色疑接则站如巒哪、
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K幕亍疋丹册匚沪.H就M丄八厲艸）=0“古忆押期卫时贱，朋4神刑.
\r加/AG*）o舟呻）二&<舜】"八'亠如
J-初丄匕M七
D1Uy
缭制严叫f%舟淀边提.
6.设A为n阶
方阵，WXr"|Ax0
3.已知复系数矩阵A
12
01
00
00
34
23
12'
01
（1）求矩阵A的行列式因子、不变因子
和初等因子；
（2）若当标准形.（15分）
如[JH心巧十
5O0_>-<.
WXRn|（AE）X
4廿M病營竝杳/屋乩
苗常歸•沖疋嘲驗I「叫+1V1CR"站卞E|巴火U阶战）十叙总中由AU-Ap=蘇-私={a_&y=d彌vM-xe[6f.t[4-£Mp=f尼A>y刃知A啜E呛故gg加"曲gW古甌AJ為骼讹、•‘fF?
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丈險皿fl怜由密刖■触p；由xeI似欲勺哎P寺-^-0孕g-略nWi斗M.
、：
E=lVi费鵝，
7.若设W=f（x）|f
（1）0,f（x）R[x]n,
证明：
W是R[x]”的子空间，并求出W的一组基及维数.
T曲，⑴0£用「W那艺
I仍k卵）吗X1J押+肿乜
■\*30+3⑷e|V
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由ftnm?
紂口十+…+①+弘之.
\JimW二n叫.
8.设V是一个n维欧氏空间，
0证明A为幂等矩阵，则RWW.
笹tjOnLXT,』ty对：
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rrt初曾阳方Z克*囲*韋省林堆谢为r!
W|（，J0,V,i
，H）,”为V中的正交向量组，令
1,2,Hl,m
（2）证明：
WL,,”
，肤芳翱掠班谢为[：
°
0IO
O彷I-0O血I.
222
4.已知二次型f（X1,x2,X3）2X13X23X32ax2X3，（a
个正交变换可化为标准形fy22y25y2，
（1）写出二次型对应的矩阵A及
A的特征多项式，并确定a的值；
（2）求出作用的正交变换.
A二
O
O'
0）通过某
二（JO]
O今aI2
£3ft5JJ
心呂卜嵐相同恳悔冷廉穴抑=g问g）
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轨十坤由爲劭T[打；b说山JLoU旷%f小二"-|円几将1^*妙眄!
1当人型科鯉fl6-APX=0由
（1）证明：
W是V的一个子空间；
乩不M斗创仙却二悅鼻比旧宀一mjU）“》谿pW
t训於呻EIV1附印，g旳M甲咸上岛同刃…加/、（MjfR肃）二叭XT—F他:
為时p^W.披附臭y—T疋邱
3；'孑曲3^）二^-口旳严4】匚酬丄.
稠"0<|/…c二y冊oUh+"+%o*20f畑=七怎乂、up耐宀Z得'
「*岁--11*'^y-和m”兀V吃一坦UXJjTTBFrgrCWi^rjiri判11$||严1从八©J_L珀T/■•--'c3*）=M
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乂W味门仙宀丿由冋，nW』喑8舟二0/ezjf二口
"L4…*ww二y帥皿-心）为曲^^册
3
1
9.试求矩阵A
3
4
1
1
0
1
0
0
5
3
0
0
的特征多项式、最小多项式.
3
1
umi=
A-iIo0T汩ooTom
T1乍用
忙4吨^的ix±4,宀氛牛
孤r叭心丹cb⑷E）廿丄A花和穹賦倍說
10.在线性空间pn中定义变换：
（X',X，M，X）（0,XJ11|,X）
（1）证明：
是pn的线性变换.
（2）求值域（pn）及核1（0）的基和维数.
•ff：
说pr—P”禺比严呦一f巧
''W畑Mg…r*）’卜別岀D和］
7狂⑴％心力….*如
呻b転曲J規阿
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缶阳护si,S•倒旳些屈基
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11.证明二次型f（X1，|H，Xn）
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0AiA
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7
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□
-X
2
14.设r4的线性变换在标准基下的矩阵为A'
（1）求的特征值和特征向量，
（2）求R4的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵哈R
TI
Ai\
th-2
C7M-idL加i并从+52加d"占〉
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（n2）是半正定
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12.求的值，使
2
f（X1,X2,X3，X4）（X1
22
X2X3）
是正定二次型.（12分）
A-
AII
IAT
1TA0C'O'
2x1x22X2X32X1X3
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Q
2
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k+3+j
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111
13.设A333
（1）求A的不变因子.
（2）求A的若当标准形.
15.设
是四维线性空间V的一组基，线性变换
在这组基下的矩阵为
3
（1）求线性变换的秩，
（2）求线性变换
5
核与值域.
《「■）栽別a象⑷
呛書Hr
%=（%【冲』必亞厂2』P*丨）
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i=4ii+Ei-2b,为
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艮屮沖£"上亠乜爲爭人池诚刪圉，朮J
16.求正交变换使二次型2x24xxx24xx化为标准形，并判定该二次型是
112223
否正定.
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''%i--i,>>=A（鼻、二斗
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R就f%切卜2*久匚代斗g為二卫弋■'兀匚t场仪对丫“才今I由=Xt7a
1家£巧君#二工舟舟M#爲打険w~KJ
17.设e,e,M,e是5维的欧几里得空间
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阿2畀二計
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-DA-十D
R5的一组标准正交基，
VL（
），其中
ee,.
ee；e,,
，求V的一组
1
4e15e2
标准正交基.
•汕血巧、r秒P】=M=&Ki
綿PEY仙如洛他
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巧牛q占务hi蛆;14供嬷
18.设A（a）是nn矩阵，其中aa,ij
"ij1,ij
（1）求detA的值；
（2）设wXAX0，求W的维数及W的一组基.
出i=tJ「»旳一*）,甘辽口o4-l=4阳-"』1厂门
询亦-眦墓.当心-右时.
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19.设是线性空间
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4Q---0
Gt□t•jo
■■r■_■rr■■-
■tfl-lptJ4—T■:
pHMiXLO0…0
I'-1P…0
I1c4—D
-冷乃
二Ji伽VV二I
■——
04亠'Tt
r3上的线性变换
（x,y,z）R（）（xy,y（0,1,1）,（1,0,1）,（1,1,0）下的矩阵.
烦眩T曲一呢
施丫,*迦L肝久屮岛HX〉
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TE）二I）=4
r呂】=[bI,i>丄
I（亦=2I丨II〕二2；+£j
乙zx）
0fIf鸵7］A
tl0Ur
A为岛下
20.设是n维线性空间V上的线性变换，「「卅，”是V的一组基.
如果是单射，则』，入2,||丨，』也是一组基.
谡卞1那十忌沏卄…片i'痕"0帮献如I+30呂十"*加畀2貝砂=0
''W岛+怎twL,=0
〉、纓"…；谢£3対无廉“
21.二次型f（x,x,x）2xx2xx2xx，1）写出二次型f的矩阵
'1'2'3'121323
2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将f化为标准形.
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V£-Ai=（A4T
4鼻冃A鱼）.
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311
22.求方阵A131的不变因子、初等因子和若当标准形.
022
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星世口6）二I
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7说”斗）
k^*不^&国弓』、z=clx%hdjtZNS专扌at）^*初舁固狩以-4\t>-2/z衬枷彬1（1
23.设V是n维欧氏空间，n3,给定非零向量V
（,）
2
（,）
是正交基，则存在不全为零实数k,k,|Hk
IIIk是v上的恒等变换.
':
純性杯xl恍M丫亠洸a
二007翳s）T歸阿十瓷篇如
=4小.h步廉ife換
。
〉竹；Y出0八「从知叭基.刪a■叩N,旳.
当吟吋奴•气P二0、
盤4）b|9丛1山）=-船
飙热在如0砧敷阮Mr咕疫E
吋屮1^£，+…+射如丸习恆昏财L
蚪丘［戎匕4临从也+一.+氐杠］皿】=扎%沁）
即曲=-抵丛•.思审氐=一［』3宀…小弊-£-札4弘询.
24.V1，V2是X’x,IHXn0和Xxi,0,i1,2，H|,n1的解空间,
则Pnv1v2.
吟MtVi={iRg厲传F”十花十.七%胡氐41仙』“「7注尸1帕n<^a…my»{
Ifc\A七百uy
吴V90=盼「冷「曲社F
OCFij如-“於）二作厂灵宀迁乞、「X"〉
+氐込一用1^Vi+V>
羊沖况二知怕43…仔心F
:
、T^^V,vVj,扳帖也L
5L'；VX、畑“r曲百V!
"14/?
jTCi+Xi十山+站=°今加fiT（i_=iL-*06*=a
I怕二恤二-'二Xn
衲"vV讪净审利阳P'^W眈.
25.设和是线性空间P［x］中依据如下方式定义的两个线性变换：
（f（x））f（X），（f（X））xf（X），求
25懈；T砒00匕卡幼珅丈）二V*I
（血询叮如
二o~fcc肿
=6［*松沪rc-f*ix）}
二予幻十TCfMm1X芋囱
二掛）_
二、乐诃为FM2輕融嘉汽舉换
26.设欧氏空间中有，1,2,川,n，0.WL（1,2,川,n），
W2L（,1,2,川，n）,证明：
如果（，,）0，那么dimW1dimW/.几祉P用:
寧ildM^\4=h\Wd，和：
口>1皿严宀）£於中」叫）由广"」从7
&征B齐可从由丛I巧4pdh衆畦耒i.
鏈閔由旳孤一从缎^^掾虫严06妙十卄一+%论冷¥磁）二0,"打刃…丿fl
「、屮P）工屮/轴臥+"X>i9n+、””二巧J"f=：
D
27.求实二次型f（x,x,x,x）2xX2xX4xx2xx的规范形及
'1'2'3'4'12131423
符号差.（15分）
I站祝减笫器M
口I肘旧（5斗）池対州卅屮4<3丹）*斗扫也序眷
二列:
詡主4卽加玛^》+侍鼬+号心吗^（4弓％
Tjl刊Ua®躬十斗艸汽铀怜
二如斗时沁场;-加泌M-f吋州］ni玛r'T/J忙辭亍£扩财十申嶄令.占削屮Jh讥
/心眇•胖省，丄罟■爲扇粧*
r汗H屮*丄.』.
3iuU仁仔雌巒,忖Wl虬-唸才啤
正宦耐tef么離y包Ms旅叔「卩爲腿切
28.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，1，
（1）2
（2）（3）3，求A的所有的初等因子及A的若当标准形.
■城从初写昭灿丸肌Wl加込彌丫肿#福林
0I0PI-I
.001
-l-iE
I0+1
31.在线性空间Rn中，定
X（X1,X2）,y（y1,y2）R，其中A
T0
0TDOti0
0o
0o
…D0（?
口1
0c^QCt0o\
T0u
ITOo0Q\0o3.0£>U000=2O（J0（-抽o0O'oe
LCO
29.设V为数域p上的n维线性空间，且VL（’，2,III，）
Hln｝是V的一组基；
（n,n1,川,21），卄”｝下的坐标.（14分）
划4时：
怅L蚀,山严心J丄J^vth
H必O|+处灯杵匾）+十+十斗4、=^
fc^+XxT-十如M斗也4-讹）4十…
*M+0十…+X二U
（1）证明：
｛1,1
（2）若V在基｛
川12
1,2,III,n｝下的坐标为
求在基｛
（X,y）xAy
3
。
6
（1）证明：
（X,y）是R2的内积，因而R2按此内积构成一个欧氏空间，
（2）求r2的一组标准正交基，（3）求矩阵P，使得APP.
制.滋壮5S*AJ且讷胡■試哦
就A兔
"Xi胪E沪球比鼻卜病心I脳&甘呼
VMtfk,显蚁》4二仏藏％汹詁二0皑*列AF-H农时+£i才文片捷片优护3味'
忙xeK^t］G覽'二&A欣由&二谨腔八*X、冥〉显AQcf
:
打加崔尺乜贞戟
Ci\卑或Fa劳£=□冋長斗沐,和銅rx“yn叭丫镐球脚矇
钞爭=勺州m呛*］谢皿宀M々粽$黜阴皿町直?
泊卜巧量||卜=R肿一学U*200』玉3
「、辱日£）戢］魯片b学VI■応轴C缸&斗讥袖冋&喩背占G」）二限播）
⑶4t^i^）=ieAy,（vj某程鲁俘抵年山乩站斜料A,丸©届为;^卍遑矶灼氓戦确號乳野2山3低劉金姑忑何屮鼻询孔kE=嵌a,二A血金二陌1^"^］
处十一叱klF二XX.二一必p
；/y^±3-O
J1吋rtcL/--'foA"*十・+oAi处出按核1/1^^.
In&i+tA"cA+*•'斗3",+&”
二Mi+3i+如十沽+tftX网卄昨…+oUJ又』石J匸Ji[W+ci严，、十0^下匚蚪4鸟Cfrh"…*li
30.在三维空
间p3中
已知线性变换
（1,1,1）,2
（1,0,1）,
1
（0,1,1）下的矩阵是1
1
32.设R4的两个子空间为：
V
V2（Xi，X2，X3,X4）|x
的基与维数.
配、加V曲E怎+站-为■二阔赳由祠’聊跚0泳
¥t=l~l0\、也阳）
応血也+^+*=0諒4舸丹扫瑚*內心T严小h严二
Vinli卜曲F*）
Vi+Vx42胡申卜村加也呻吩届卿阱抜
X1,X2,X3,X4IX1
X2X,X40
X2X3
.求Viu
X0,
4
鬥
与VV2
（PTO
o2
1-3
G1p—bo
led—GIfiD
在基e,（1,0,0）,e2
认■'ita，
（0,1,0）,e
（0,0,1）下的矩阵.
ryip二与竹d冬⑨呻百
10I
U-II
tT闿牛®二rtet&◎）b卑乌血®A=賤竹姑詁二口弋皿⑷巴
5L堀祐，皿耳丹如1£；毙蔦^0t
I滅+池」P
33.设V是3维线性空间，1,2,3为它的一个基.线性变换：
V
X11X22X3j2X113X224X33
求
（1）在基下的矩阵；
（2）求核ker和值域Im
的正交补
R4的一个线性同构.
!
loo['0\M0口Iiofl00
12
37.设A33（
22
Jordan标准形.
4X：
4x24X；
（1）假设f（X：
X2,X3）是
4tX2X3
1时，试用非退化线性变换化此二次型为标准
J.和.-*»*
饰出4X1肛十屈一：
3詹出十3：
toL+ip4或+
脚I弋3订二工ch、T（C（a）-^0（1,TWi7=+oti
fia中
二口创4g）二個*旳W、"专D全w■胡热）ALe0斗1fhA为工在弘阳必严墟牟a•:
闷詁，"可亂砖可邑授曲旗
34.设V是实数域上所有n阶对称阵所构成的线性空间，对任意A,B
定义（A,B）trAB，其中trAB表示AB的迹
（1）证明：
V构成一欧氏空间；
（2）求使trA0的子空间S的维数；（3）求S的正交补S的维数.
卜城IV'^'iIa'^A\
V札Id艮JAf&.c&V
LtA也心二讯*如q讪皿丹乩）
=fertrcAc）tJtrt及）二虹加c）十EtBfQ*占\<4用〕H廿讶.机1帖
站野1小集冲％拥他計计%）尹需翎诫
掘q氏7&且十水运甘vC】=?
i才蓝+Y九丹孝¥故匹且储》5=-420此曲40二*AR?
.VAfeVr（A・A、丹，为询沖昭Q故"询决欧比帝诃・拦4i^：
申®二如臧■fcrcAgy^iMAX坦Z
ZAUkD-
老,岡计沪tno
1m2以曲|灯3二胡oVP
’M**纽右£22厂•沁列■爭|£苛的.曜旳片卑訂，I壬吟汕丨餌&厂心-酣瓦S
JVd帧S卡」伽史WolVaV/
JLiw\^=zf.
35.试找出全体实2级矩阵M2（R）所构成的线性空间到泌3円气肿血业痫-親i亦ti汀环比；］出卢L儿直N
¥2©胡*&乜环十2丘什诃民
和渤一护a臊期
36.求由向量1（1,2,1,0）,2（1,1,1,1）生成的子空间V1与由向量
1（2,1,0,1）,2（1,1,3,7）生成的子空间V的交的基和维数.
址UlMMf伍Jp申）
事吐-阳伺=LIf{弁、A啊
iFi牛a洛"用寺质侧聊pjyT」吒
的Vi片祐mI自沧一的和曲二建I务3・42为粧nk；?
^-辺基.
2
6，求
（1）A的不变因子、行列式因子、初等因子.
（2）A的
4
PM3-Sf
L-i37l*Jr
VT[tX]=01由I办二卜7工+丸+匕=JA-^
蛙＞I二4中丄鼻⑹雖抄BO■口
爲；［纠影昇［暮:
.丁习
三⑷血罔-学卜b入沁入HjXA賦■+必）
=寂亠加刼*用巧也=认寸诽訂］［齐（母他
'■恥*几Ry辭门H’liwy
-A齢壹殆』』4二4i<灯斜式阪为口如注Ag,乌⑴胡3
^^翻为AJX-trtn«J；A-LH；L；
品巾棉非形Ip晾Q］L©口母1
38.设pnn是数域p上nn矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换（A）A，AV.
（1）证明：
是Pnn上的对合线性变换，即是满足2I（恒等变换）的线性变换；
（2）求的特征值和特征向量.矽洋険如:
用.触聊r屯如F
二（T隔哇i枚.
★{/坍卑败做趾曲毀M理閱
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書W时明*存广"冈心人Ms?
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