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数学分析华东师大第九章定积分

第九章定积分

§1定积分概念

一问题提出

不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆运算,定积分则是某种特殊和式的极限,它们之间既有区别又有联系.现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的.

1.曲边梯形的面积设f为闭区间[a,b]上的连续函数,且f（x）≥0.由曲线y=f（x）,直线x=a,x=b以及x轴所围成的平面图形（图9-1）,称为曲边梯形.下面讨论曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形面积的基础）.

图9-1图9-2

在初等数学里,圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的.现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积.

在区间[a,b]内任取n-1个分点,它们依次为

a=x0

这些点把[a,b]分割成n个小区间[xi-1,xi],i=1,2,,n.再用直线x=xi,i=1,2,,n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形（图9-2）.

在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi,作以f（ξi）为高,[xi-1,xi]为底的小矩形.当分割[a,b]的分点较多,又分割得较细密时,由于f为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边

§1定积分概念

201

梯形的面积.于是,这n个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S的近似值,即

S≈∑

i=1

f（ξi）Δxi（Δxi=xi-xi-1）.

（1）

注意到

（1）式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割,又与所有中间点ξi（i=1,2,,n）的取法有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a,b]无限细分时,如果此和式与某一常数无限接近,而且与分点xi和中间点ξi的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.

2.变力所作的功设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到点b,并设F处处平行于x轴（图9-3）.如果F为常力,则它对质

点所作的功为W=F（b-a）.现在的问题是,

图9-3

F为变力,它连续依赖于质点所在位置的坐标x,即F=F（x）,x∈[a,b]为一连续函数,此时F对质点所作的功W又该如何计算?

由假设F（x）为一连续函数,故在很小的一段位移区间上F（x）可以近似地看作一常量.类似于求曲边梯形面积那样,把[a,b]细分为n个小区间[xi-1,xi],Δxi=xi-xi-1,i=1,2,,n;并在每个小区间上任取一点ξi,就有

F（x）≈F（ξi）,x∈[xi-1,xi],i=1,2,,n.

于是,质点从xi-1位移到xi时,力F所作的功就近似等于F（ξi）Δxi,从而

W≈∑F（ξi）Δxi.

（2）

i=1

同样地,对[a,b]作无限细分时,若

（2）式右边的和式与某一常数无限接近,

则就把此常数定义作为变力所作的功W.

上面两个例子,一个是计算曲边梯形面积的几何问题,另一个是求变力作功的力学问题,它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近.在科学技术中还有许多同样类型的数学问题,解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割,近似求和,取极限”.这就是产生定积分概念的背景.

二定积分的定义

定义1设闭区间[a,b]内有n-1个点,依次为

a=x0

它们把[a,b]分成n个小区间Δi=[xi-1,xi],i=1,2,,n.这些分点或这些闭子区间构成对[a,b]的一个分割,记为

T={x0,x1,,xn}或{Δ1,Δ2,,Δn}.

小区间Δi的长度为Δxi=xi-xi-1,并记

202第九章定积分

称为分割T的模.

‖T‖=max{Δxi},

1≤i≤n

注由于Δxi≤‖T‖,i=1,2,,n,因此‖T‖可用来反映[a,b]被分割的细密程度.另外,分割T一旦给出,‖T‖就随之而确定;但是,具有同一细度‖T‖的分割T却有无限多个.

定义2设f是定义在[a,b]上的一个函数.对于[a,b]的一个分割T=

{Δ1,Δ2,,Δn},任取点ξi∈Δi,i=1,2,,n,并作和式

∑

i=1

f（ξi）Δxi.

称此和式为函数f在[a,b]上的一个积分和,也称黎曼和.

显然,积分和既与分割T有关,又与所选取的点集{ξi}有关.

定义3设f是定义在[a,b]上的一个函数,J是一个确定的实数.若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[a,b]的任何分割T,以及在其上任意选取的点集{ξi},只要‖T‖<δ,就有

∑

i=1

f（ξi）Δxi-J<ε,

则称函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积;数J称为f在[a,b]上的定积分

或黎曼积分,记作

∫

J=f（x）dx.（3）

其中,f称为被积函数,x称为积分变量,[a,b]称为积分区间,a、b分别称为这个定积分的下限和上限.

以上定义1至定义3是定积分抽象概念的完整叙述.下面是与定积分概念有关的几点补充注释.

注1把定积分定义的ε-δ说法和函数极限的ε-δ说法相对照,便会发现两者有相似的陈述方式,因此我们也常用极限符号来表达定积分,即把它写作

J=lim

‖T‖→0

∑

i=1

∫

f（ξi）Δxi=f（x）dx.（4）

然而,积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别:

在函数极限

lim

x→a

f（x）中,对每一个极限变量x来说,f（x）的值是唯一确定的;而对于积分和

的极限而言,每一个‖T‖并不唯一对应积分和的一个值.这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.

注2可积性是函数的又一分析性质.稍后（定理9.3）就会知道连续函数是可积的,于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示:

1）连续曲线y=f（x）≥0在[a,b]上形成的曲边梯形面积为

§1定积分概念

203

∫

S=f（x）dx;

2）在连续变力F（x）作用下,质点从a位移到b所作的功为W=

∫

F（x）dx.

注3（定积分的几何意义）由上述1）看到,对于[a,b]上的连续函数f,当f（x）≥0,x∈[a,b]时,定积分（3）的几何意义就是该曲边梯形的面积;当f（x）≤0,

∫

x∈[a,b]时,这时J=-[-f（x）]dx

是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反

图9-4

数,不妨称之为“负面积”;对于一般非定号的f（x）而言（图9-4）,定积分J的值则是曲线y=f（x）在x轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和.

注4定积分作为积分和的极限,它的值只与被积函数f和积分区间[a,b]

有关,而与积分变量所用的符号无关,即

bbb

∫f（x）dx=∫f（t）dt=∫f（θ）dθ=.

aaa

例1求在区间[0,1]上,以抛物线y=x2为曲边的曲边三角形的面积

（图9-5）.

解由注3,因y=x2在[0,1]上连续,故所求面积为

S=∫x2dx=lim

∑ξ2Δx.

0‖T‖→0

i=1

为求得此极限,在定积分存在的前提下,允许选择某种特殊的分割T和特殊的点集{ξi}.在此只需取等分分割:

T={0,1

,n-1,1},‖T‖=1;

i-1

i-1i

n图9-5

并取ξi=n∈n,n,i=1,2,,n.则有

S=lim∑

i-1

·1

=lim1

（i-1）2

n→∞

i=1n

nn→∞

3∑

i=1

=lim

n→∞

（n-1）n（2n-1）1

6n3=3.

204第九章定积分

习题

1.按定积分定义证明∫:

kdx=k（b-a）.

2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集{ξi},把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分:

（1∫）

x3dx;提示:

∑i3=1n2（n+1）2

0i=14

∫

（2∫）

exdx;（3）

exdx;

（4∫）

dx（0

取ξ=xx）

ax2

ii-1i

§2牛顿—莱布尼茨公式

从上节例题和习题看到,通过求积分和的极限来计算定积分一般是很困难的.下面要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法,而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来.

定理9.1若函数f在[a,b]上连续,且存在原函数F,即F′（x）=f（x）,x∈[a,b],则f在[a,b]上可积,且

∫

f（x）dx=F（b）-F（a）.

（1）

这称为牛顿—莱布尼茨公式,它也常写成

f（x）dx=F（x）.

证由定积分定义,任给ε>0,要证存在δ>0,当‖T‖<δ时,有

∑

i=1

f（ξi）Δxi-[F（b）-F（a）]<ε.下面证明满足如此要求的δ确实是存

在的.

事实上,对于[a,b]的任一分割T={a=x0,x1,,xn=b},在每个小区间[xi-1,xi]上对F（x）使用拉格朗日中值定理,则分别存在ηi∈（xi-1,xi）,i=1,2,,n,使得

F（b）-F（a）=∑[F（xi）-F（xi-1）]

i=1

=∑

i=1

F′（ηi）Δxi=∑

i=1

f（ηi）Δxi.

（2）

因为f在[a,b]上连续,从而一致连续,所以对上述ε>0,存在δ>0,当x′、

§2牛顿—莱布尼茨公式

205

x″∈[a,b]且|x′-x″|<δ时,有

f（x′）-f（x″）<ε.

b-a

于是,当Δxi≤‖T‖<δ时,任取ξi∈[xi-1,xi],便有|ξi-ηi|<δ,这就证得

∑

i=1

f（ξi）Δxi-[F（b）-F（a）]

=∑[f（ξi）-f（ηi）]Δxi

i=1

≤∑

i=1

f（ξi）-f（ηi）Δxi

b-a

<ε

Δx=ε.

·∑i

i=1

所以f在[a,b]上可积,且有公式

（1）成立.

注1在应用牛顿—莱布尼茨公式时,F（x）可由积分法求得.

注2定理条件尚可适当减弱,例如:

1）对F的要求可减弱为:

在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,且F′（x）=

f（x）,x∈（a,b）.这不影响定理的证明.

2）对f的要求可减弱为:

在[a,b]上可积（不一定连续）.这时

（2）式仍成

∫

立,且由f在[a,b]上可积,

（2）式右边当‖T‖→0时的极限就是f（x）dx,

而左边恒为一常数.（更一般的情形参见本节习题第3题.）

注3至§5证得连续函数必有原函数之后,本定理的条件中对F的假设便是多余的了.

例1利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分:

1∫）

2∫）

xndx（n为正整数）;

exdx;3）

∫

dx（0

ax2

4∫）

sinxdx;5）

x4-x2dx.

解其中1）—3）即为§1中的例题和习题,现在用牛顿—莱布尼茨公式来计算就十分方便:

1∫）

n+1

xndx=

an+1

=1（bn+1-an+1）.

an+1

2∫）

exdx=ex

=eb-ea.

3∫）

dx1

ax2=-x

a=a-b.

206第九章定积分

4∫）

sinxdx=-cosx

=2.

（这是图9-6所示正弦曲线一拱下的面积,

其余各题也可作此联想.）

5）先用不定积分法求出f（x）=

x4-x2的任一原函数,然后完成定积分计算:

图9-6

2∫

∫x4-x2dx=-1

4-x2d（4-x2）=-1

（4-x2）3+C,

∫x4-x2dx=-1

（4-x2）3

=8.

0303

例2利用定积分求极限:

lim

n→∞

n+1

n+2

++1

=J.

解把此极限式化为某个积分和的极限式,并转化为计算定积分.为此作如下变形:

J=lim∑

1·1.

n→∞i=1

1+inn

不难看出,其中的和式是函数f（x）=1在区间[0,1]上的一个积分和（这里

1+x

所取的是等分分割,Δxi=1,ξi=i∈i-1,i,i=1,2,,n）.所以

nnnn

J=∫dx

01+x=ln（1+x）

=ln2.

当然,也可把J看作f（x）=1在[1,2]上的定积分,同样有

J=∫dxdx

1x=∫2

x-1==ln2.

习题

1.计算下列定积分:

112

∫

（1∫）

（2x+3）dx;

（2）

1-xdx;

01+x2

e21x-x

∫

（3∫）

dx;（4）

exlnx

e-edx;

（5∫）

2∫

tanxdx;（6）

x+1

dx;

§3可积条件

207

（7∫）

4dxe12

;（8）（lnx）dx.

01+x1

2.利用定积分求极限:

（1）lim1（1+23++n3）;

n→∞n4

（2）lim

n1+1++1;

n→∞

（n+1）2

（n+2）2

（n+n）2

（3）lim

n1+1++1;

n→∞

n2+1

n2+22

2n2

（4）lim1sinπ+sin2π++sinn-1.

n→∞nnnn

3.证明:

若f在[a,b]上可积,F在[a,b]上连续,且除有限个点外有F′（x）=f（x）,则

有

∫

f（x）dx=F（b）-F（a）.

§3可积条件

从定理9.1及其后注中看到,要判别一个函数是否可积,必须研究可积条

件.

一可积的必要条件

定理9.2若函数f在[a,b]上可积,则f在[a,b]上必定有界.

证用反证法.若f在[a,b]上无界,则对于[a,b]的任一分割T,必存在属于T的某个小区间Δk,f在Δk上无界.在i≠k的各个小区间Δi上任意取定ξi,并记

G=∑f（ξi）Δxi.

i≠k

现对任意大的正数M,由于f在Δk上无界,故存在ξk∈Δk,使得

于是有

f（ξk）>M+G

Δxk

∑

i=1

f（ξi）Δxi≥f（ξk）Δxk-∑f（ξi）Δxi

i≠k

>M+G·Δxk-G=M.

Δxk

由此可见,对于无论多小的‖T‖,按上述方法选取点集{ξi}时,总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数,这与f在[a,b]上可积相矛盾.

208第九章定积分

这个定理指出,任何可积函数一定是有界的;但要注意,有界函数却不一定可积.

例1证明狄利克雷函数

在[0,1]上有界但不可积.

D（x）=

1,x为有理数,

0,x为无理数

证显然|D（x）|≤1,x∈[0,1].

对于[0,1]的任一分割T,由有理数和无理数在实数中的稠密性,在属于T

的任一小区间Δi上,当取ξi全为有理数时,∑D（ξi）Δxi=∑Δxi=1;当取

i=1

ξi全为无理数时,∑D（ξi）Δxi=0.所以不论‖T‖多么小,只要点集{ξi}取

i=1

法不同（全取有理数或全取无理数）,积分和有不同极限,即D（x）在[0,1]上不可积.

由此例可见,有界是可积的必要条件.所以在以后讨论函数的可积性时,总是首先假设函数是有界的,今后不再一一申明.

二可积的充要条件

要判断一个函数是否可积,固然可以根据定义,直接考察积分和是否能无限接近某一常数,但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知,因此这是极其困难的.下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关,而不涉及定积分的值.

设T={Δi|i=1,2,,n}为对[a,b]的任一分割.由f在[a,b]上有界,它在每个Δi上存在上、下确界:

Mi=supf（x）,mi=inff（x）,

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