几何口诀.docx
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几何口诀
三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
由角平分线想到的辅助线：
①从角平分线上一点向两边作垂线；
②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
（一）截取构全等
例1：
已知，如图AB//CD，BE、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：
BC=AB+CD。
例2：
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠C=2∠B.求证：
AB=AC+CD.
分析：
此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？
例3． 已知：
如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC
例4已知：
如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：
AB-AC=CD
（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等
过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
例3：
如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证：
∠ADC+∠B=180
例4：
已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：
∠BAC的平分线也经过点P。
例5：
如图∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA， 如果PC=4，则PD=（ ）
例6：
已知：
如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC 上的点，∠FAE=∠DAE。
求证：
AF=AD+CF。
例7：
已知：
如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。
求证CF=BH。
（三）、作角平分线的垂线构造等腰三角形
从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。
例9：
已知：
如图，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。
求证：
DH=（AB-AC）
例10：
已知：
如图AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：
BD=2CE。
例11：
已知：
:
在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，BF垂直AD。
求证：
AM=ME。
例12已知：
，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。
求证：
AM=（AB+AC）
例13 已知：
在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CE⊥AE于E，连接DE，
求DE?
例14：
已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证
（1）四边形AEBF是矩形；
（2）MN=1/2BC
（三）有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。
例15：
如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：
AB－AC>BD－CD。
例16：
如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：
∠A+∠C=180。
例17;:
如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：
AD=AB+CD。
例18：
已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。
求证：
△ABC是直角三角形。
例19：
已知：
如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：
DC⊥AC
例20：
已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：
AC=AE+CD
例21：
已知：
如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：
BC=AB+AD
（四）角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线
例14：
如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC，求证BD=2CE
（2）由线段和差想到的辅助线
口诀：
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
1、截长：
在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
2、补短：
将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
3、 对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
（一）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：
例1、 已知如图1-1：
D、E为△ABC内两点,求证:
AB+AC>BD+DE+CE.
（二）在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：
例2：
已知D为△ABC内的任一点，求证：
∠BDC>∠BAC。
注意：
利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。
（三） 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：
例3：
已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：
BE+CF>EF。
注意：
当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。
（四）截长补短法作辅助线。
例4：
：
在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点
求证：
AB-AC>PB-PC。
例5：
如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE。
例6：
在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE， 求证：
∠ADC+∠B=180º
例7：
等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。
求证：
BC=AB+DC。
例8：
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，且AE=EB。
求证：
CD=1/2DB。
例9：
AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC
常用辅助线添加方法——倍长中线
直接倍长
间接倍长
例1：
△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
例2：
已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：
BD=CE
例3：
已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：
AF=EF
例4：
已知：
如图，在ABC中，AC不等于AB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作BADF//交AE于点F，DF=AC.
求证：
AE平分BAC
例5：
已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：
∠C=∠BAE
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
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