上海市徐汇区届高三上学期期末学习能力诊断数学试题附答案解析.docx
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上海市徐汇区届高三上学期期末学习能力诊断数学试题附答案解析
上海市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断
数学试题
一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）
1.设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
将题目所给两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定充分、必要性，由此得出正确选项.
【详解】当“”时，“”成立；当“”时，可以为，即不能推出“”，故应选充分不必要条件，所以选A.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数值以及终边相同的角.属于基础题.
2.魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：
若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为
A.16B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．
【详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径，
正方体的内切球的体积，
又由已知，．
故选：
C．
【点睛】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．
3.对于函数，如果其图象上的任意一点都在平面区域内，则称函数为“蝶型函数”，已知函数：
；，下列结论正确的是
A.、均不是“蝶型函数”
B.、均是“蝶型函数”
C.是“蝶型函数”；不是“蝶型函数”
D.不是“蝶型函数”：
是“蝶型函数”
【答案】B
【解析】
【分析】
由，，求得导数判断单调性，结合“蝶型函数”可判断；
由平方差公式，化简结合“蝶型函数”可判断．
【详解】由，设，导数为，即有，；时，；
设，其导数为，时，，时，，
可得恒成立，即有为“蝶型函数”；
由，可得为“蝶型函数”．
故选：
B．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，以及运算能力，属于中档题．
4.已知数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，若对任意的，都有，则的值不可能为
A.2B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数数列前n项和公式推导出，由此能求出的值不可能为．
【详解】数列是公差不为0的等差数列，前n项和为，对任意的，都有，
，，
，
当时，成立；
当时，成立；
当时，成立；
当时，不成立．
的值不可能为．
故选：
D．
【点睛】本题考查等差数列的两项比值的求法，考查等差数列性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5.若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．
【答案】2
【解析】
分析：
先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.
详解：
因为，则，则的实部为.
点睛：
本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.
6.已知全集，集合，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
可解出集合A，然后进行补集的运算即可．
【详解】；．
故答案为：
．
【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，以及补集的运算．
7.若实数x，y满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据基本不等式可得．
【详解】，，当且仅当时，取等，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．
8.若数列的通项公式为，则______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
利用行列式求出数列的通项公式，然后利用数列的极限求解即可．
【详解】数列的通项公式为，
则．
故答案为：
．
【点睛】本题考查数列的极限的求法，通项公式的求法，考查计算能力．
9.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．
【答案】
【解析】
分析：
利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.
详解：
由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.
点睛：
熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．属于基础题.
10.在平面直角坐标系xOy中，直线经过坐标原点，是的一个法向量已知数列满足：
对任意的正整数n，点均在上，若，则的值为______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得，则数列为公比q为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．
【详解】直线经过坐标原点，是的一个法向量，
可得直线的斜率为，
即有直线的方程为，
点均在上，可得，
即有，
则数列为公比q为的等比数列，
可得．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
11.已知的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______结果用数值表示
【答案】-84
【解析】
【分析】
由已知求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为求得r，则答案可求．
【详解】由题意，，得．
，
其二项展开式的通项．
由，得．
展开式中含项的系数是．
故答案为：
．
【点睛】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
12.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如表所示：
等级
A
B
C
D
E
分数
70
67
64
61
58
55
52
49
46
43
40
上海某高中2018届高三班选考物理学业水平等级考的学生中，有5人取得成绩，其他人的成绩至少是B级及以上，平均分是64分，这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为______人
【答案】15
【解析】
【分析】
设取得A成绩的x人，取得成绩的y人，取得B成绩的z人，由题意可得：
，解得：
，结合x，y，，可求的最．
【详解】设取得A成绩的x人，取得成绩的y人，取得B成绩的z人，
则，
即，
又x，y，，
即当且仅当，，时，取得最小值15，
取得A成绩的0人，取得成绩的0人，取得B成绩的10人，
这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为15人，
故答案为：
15
【点睛】本题考查了实际问题通过数学问题解决，考查了阅读理解及数学建模的能力，属中档题．
13.已知函数是以2为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据偶函数性质求出上的解析式，再根据周期为2求出上的解析式，最后求出反函数．
【详解】当时，，，
当时，，．
，
，，
故答案为：
，
【点睛】本题考查了反函数，考查基本分析求解能力，属基础题．
14.若函数的值域是，则的最大值是________．
【答案】
【解析】
令，可得或者，的值为……两个相邻的值相差，因为函数的值域是,所以的最大值是，故答案为.
15.已知λ∈R，函数f（x）=，若函数y=f（x）的图象与x轴恰有两交点，则实数λ的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．
【详解】函数的草图如图：
函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．
故答案为：
（1，3]∪（4，+∞）．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力．
16.已知圆M：
，圆N：
直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】
由题意可知，，，结合P为椭圆上的点，可用P的坐标表示，然后结合椭圆的性质即可求解
【详解】由题意可得，，，，
，
，
为椭圆上的点，
由题意可知，，
，
故答案为：
8．
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及求椭圆中最值问题，属于知识的简单综合应用．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）
17.如图，已知正方体的棱长为1．
正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？
若M，N分别是，的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小．
【答案】
（1）见解析；
（2）.
【解析】
【分析】
利用列举法能求出直线是异面直线的棱所在直线．
，N分别是，的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MN与BC所成角的大小．
【详解】正方体中，
直线是异面直线的棱所在直线有：
AD，，CD，，，，共6条．
，N分别是，的中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，1，，1，，
，，1，，1，，
，0，，
设异面直线MN与BC所成角的大小为，
则，
，
异面直线MN与BC所成角的大小为．
【点睛】本题考查异面直线的判断，考果异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是基础题．
18.已知函数，其中．
解关于x的不等式；
求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．
【答案】
（1）见解析；
（2）.
【解析】
【分析】
由题意可得，对a讨论，可得所求解集；
求得，由反比例函数的单调性，可得，解不等式即可得到所求范围．
【详解】的不等式，
即为，即为，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为，；
，
由在区间上是单调减函数，
可得，
解得．
即a的范围是．
【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题．
19.我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证如图：
其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A，B分别建有监测站，A与B之间的直线距离为100海里．
求海域ABCD的面积；
现海上P点处有一艘不明船只，在A点测得其距A点40海里，在B点测得其距B点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD？
请说明理由．
【答案】
（1）平方海里；
（2）这艘不明船只没进入了海域ABCD．.
【解析】
【分析】
利用扇环的面积公式求出海域ABCD的面积；
由题意建立平面直角坐标系，利用坐标求出点P的位置，判断点P是否在海域ABCD内．
【详解】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，
，，
，
平方海里，
由题意建立平面直角坐标系，如图所示；
由题意知，点P在圆B上，即，
点P也在圆A上，即；
由组成方程组，
解得或；
又区域ABCD内的点满足，
由，
点不在区域ABCD内，
由，
点也不在区域ABCD内；
即这艘不明船只没进入了海域ABCD．
【点睛】本题考查了圆的方程模型应用问题，是中档题．
20.已知椭圆：
的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线l：
与椭圆交于A，B两点．
求椭圆的方程；
若A为椭圆的上项点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于N，，求k的值．
若原点O到直线l的距离为1，，当时，求的面积S的范围．
【答案】
（1）；
（2）；（3）.
【解析】
【分析】
先根据已
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