探究问题教案.docx
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探究问题教案
一、教学目标：
1.知识与技能目标：
会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项，去括号等法则，验证所探的规律。
2.过程与方法目标：
经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程，拥有一定的问题解决社会调查的经验，发展抽象思维，培养推理能力。
能综合运用所学知识解决问题，发展运用数学意识，培养实践能力和创新精神。
3.情感态度与价值观：
通过实际问题中的数量关系及其变化规律的探索，体验数学活动的探索性及创造性鼓励学生大胆尝试，从中获得成功经验，激发学生学习的热情。
二、教学重难点
1.重点：
探索实际问题中蕴含的关系和规律，用符号表示一般规律，用符号运算、验证规律。
2.难点：
训练学生有条理的表达能力，总结探索规律的一般步骤，是本节课的难点。
三、教具准备
学生准备一张某月日历表、一张白纸，一盒火柴或牙签，教师制作ppt多媒体教学课件
四、教学设计
（一）复习巩固，树立信心
仔细观察，按规律填空：
（1）、1，2，3，4， 5 ，
（2）、2，4，6，8， 10 ，
（3）、1，4，7，10， 13 ，
（二）创设情景，导入新课。
导语：
大家一起唱儿歌
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；
日
一
二
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……（你觉得这首儿歌唱得完吗？
第n句应该怎么唱呢?
）
（三）探究活动。
1.下图是2009年6月份的日历图，你能发现日历同一行中相邻的三个日期数之间的关系吗？
请用式子表示出来。
这种关系对于任何一个月的日历都成立吗？
答:
后面的数总比前面的数大1
（a-1）+（a+1）=2a
日
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2.下图是2009年6月份的日历图，你能发现日历同一列中相邻的三个日期数之间的关系吗？
请用式子表示出来。
这种关系对于任何一个月的日历都成立吗？
答:
下面的数总比上面的数大7
（a-7）+（a+7）=2a
日
一
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3.下图是2009年6月份的日历图，你能发现日历错位的三个日期数之间的关系吗？
请用式子表示出来。
这种关系对于任何一个月的日历都成立吗？
答:
（a-8）+（a+8）=2a或（a-6）+（a+6）=2a
a
b
c
d
（四）形成性练习
如下图：
是用一个矩形在2008年10月份日历中任意框出的4个数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系 c-a=d-b 或 a+d=b+c等（答案不唯一）
日
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（五）探究活动4
下图是2009年6月份的日历图
①日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系?
②这个关系对其他这样的方框成立吗?
你能用代数式表示这个关系吗?
③这个关系对任何一个月的日历都成立吗?
为什么?
④你还能发现这样的方框中9个数字之间的其他关系吗?
用代数式表示。
（六）随堂练习
1.课本124页第一题
将一张长方形的纸对折，如右图所示可得到一条折痕。
继续对折，对折时每次与上次的折痕保持平行。
连续对折6次后，可以得到几条折痕？
如果对折10次呢？
对折n次呢？
对折次数
1
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4
…
n
层数
2
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8
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2n
折痕数
1
3
7
15
…
2n-1
2.课本125页第二题
用火柴棒（或牙签）按下图的方式搭三角形,填写下表。
三角形个数
1
2
3
4
5
···
n
火柴棒根数
3
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7
9
11
···
2n+1
（七）归纳小结 观察特例——猜想规律——表示规律——验证规律
（八）布置作业
a组：
p131问题解决3。
p132问题解决4
b组：
小学毕业后，六
（1）班有10位同学同时分到七（6）班，见面时彼此之间互相握手，问：
共握手多少次？
五、课后反思
通过这堂课的学习大部分同学已经掌握了日历图中的基本规律，会解决一些与日历有关的问题，从中感受到了寻找规律的一般方法，会用代数式表示简单问题中的数量关系，强化了学生的符号感，增强了学生的推理能力。
完成了本堂课的教学目标，但要想使学生能够很好的解决寻找规律的题目，还需要经过日积月累的训练巩固。
教案
第三章第6节
探索规律
（第1课时）
授课人：
陈建华
单位：
瑞昌市第五中学
一、教学目标：
1.知识与技能目标：
会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项，去括号等法则，验证所探的规律。
2.过程与方法目标：
经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程，拥有一定的问题解决社会调查的经验，发展抽象思维，培养推理能力。
能综合运用所学知识解决问题，发展运用数学意识，培养实践能力和创新精神。
3.情感态度与价值观：
通过实际问题中的数量关系及其变化规律的探索，体验数学活动的探索性及创造性鼓励学生大胆尝试，从中获得成功经验，激发学生学习的热情。
二、教学重难点
1.重点：
探索实际问题中蕴含的关系和规律，用符号表示一般规律，用符号运算、验证规律。
2.难点：
训练学生有条理的表达能力，总结探索规律的一般步骤，是本节课的难点。
三、教具准备
学生准备一张某月日历表、一张白纸，一盒火柴或牙签，教师制作ppt多媒体教学课件
四、教学设计
（一）复习巩固，树立信心
仔细观察，按规律填空：
（1）、1，2，3，4， 5 ，
（2）、2，4，6，8， 10 ，
（3）、1，4，7，10， 13 ，
（二）创设情景，导入新课。
导语：
大家一起唱儿歌
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；
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……（你觉得这首儿歌唱得完吗？
第n句应该怎么唱呢?
）
（三）探究活动。
1.下图是2009年6月份的日历图，你能发现日历同一行中相邻的三个日期数之间的关系吗？
请用式子表示出来。
这种关系对于任何一个月的日历都成立吗？
答:
后面的数总比前面的数大1
（a-1）+（a+1）=2a
日
一
二
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2.下图是2009年6月份的日历图，你能发现日历同一列中相邻的三个日期数之间的关系吗？
请用式子表示出来。
这种关系对于任何一个月的日历都成立吗？
答:
下面的数总比上面的数大7
（a-7）+（a+7）=2a
日
一
二
三
四
五
六
1
2
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4
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30
3.下图是2009年6月份的日历图，你能发现日历错位的三个日期数之间的关系吗？
请用式子表示出来。
这种关系对于任何一个月的日历都成立吗？
答:
（a-8）+（a+8）=2a或（a-6）+（a+6）=2a
a
b
c
d
（四）形成性练习
如下图：
是用一个矩形在2008年10月份日历中任意框出的4个数，请用一个等式表示a、b、c、d之间的关系 c-a=d-b 或 a+d=b+c等（答案不唯一）
日
一
二
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（五）探究活动4
下图是2009年6月份的日历图
①日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系?
②这个关系对其他这样的方框成立吗?
你能用代数式表示这个关系吗?
③这个关系对任何一个月的日历都成立吗?
为什么?
④你还能发现这样的方框中9个数字之间的其他关系吗?
用代数式表示。
（六）随堂练习
1.课本124页第一题
将一张长方形的纸对折，如右图所示可得到一条折痕。
继续对折，对折时每次与上次的折痕保持平行。
连续对折6次后，可以得到几条折痕？
如果对折10次呢？
对折n次呢？
对折次数
1
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…
n
层数
2
4
8
16
2n
折痕数
1
3
7
15
…
2n-1
2.课本125页第二题
用火柴棒（或牙签）按下图的方式搭三角形,填写下表。
三角形个数
1
2
3
4
5
···
n
火柴棒根数
3
5
7
9
11
···
2n+1
（七）归纳小结 观察特例——猜想规律——表示规律——验证规律
（八）布置作业
a组：
p131问题解决3。
p132问题解决4
b组：
小学毕业后，六
（1）班有10位同学同时分到七（6）班，见面时彼此之间互相握手，问：
共握手多少次？
五、课后反思
通过这堂课的学习大部分同学已经掌握了日历图中的基本规律，会解决一些与日历有关的问题，从中感受到了寻找规律的一般方法，会用代数式表示简单问题中的数量关系，强化了学生的符号感，增强了学生的推理能力。
完成了本堂课的教学目标，但要想使学生能够很好的解决寻找规律的题目，还需要经过日积月累的训练巩固。
【精练】观察下列各式：
1×3=12＋2×1；2×4=22＋2×2；3×5=32＋2×3；……
请你将猜想到的规律用自然数年n（n≥1）表示出来：
.（陕西省中考题）
分析与解答观察比较以上各等式知，等式左端是两个因数的乘积，前一个因数依次是1、2、3、……，后一个因数依次是3、4、5、……，它们都是连续的，且后一个因数比前一个因数均大2；等式右端是两项的和，前一个加数依次为12、22、32、……，后一个加数依次是连续自然数的2倍，因而猜想到的规律用自然n（n≥1）表示为n（n+2）=n2+2n．
【知识点大串联】
探索规律的问题是近几年数学中考的一个“热门”题型.解决这类问题的基本思路是：
通过观察、分析若干特殊情形，归纳总结出一般性结论，然后验证其结论的正确性.下面对此类问题分类型进行分析。
一、动手操作，探索规律
例1（南京市中考题）将一张长方形的纸对折，如图所示，可得到一条折痕（图中虚线）.继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到七条折痕，那么对折四次可以得到____条折痕，如果对折n次，可以得到____条折痕.
简析第一次对折成两层纸，折痕为1条；第二次对折成22层，折痕为1+2=22-1=3（条）；第三次对折成23层纸，折痕为1+2+22=23-1=7（条）.故可归纳出一般性
结论.
解：
2n-1或1+2+22+23+…+2n-1.
例2（2002济南市中考题）如图2，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面.操作过程如下：
第1次剪裁，将圆形纸板等分成4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.
（1）请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形（保留痕迹，不写作法）；
（2）请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次剪裁后所得的扇形的总个数（s）填入下表
等分圆及扇形面的次数（n）
1
2
3
4
…
n
所得扇形的总个数（s）
4
7
…
（3）请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪裁成33个扇形？
为什么？
简析通过观察、操作及分析数据特征，不难发现第1次剪裁的扇形个数是4=3×1+1，以后每一次剪裁都比上一次多3个扇形，以至第n次剪裁得到的扇形个数为（3n+1）个.
解
（1）略；
（2）10，13，3n+1；（3）∵s=33，由
（2）得3n+1=33，n=10
.∵n不是自然数，∴不能将原来的扇形纸片剪成33个扇形.
二、类比推理，探索规律
例3如图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，得到图2；再分别连结图2中间小三角形三边的中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：
（1）将下表填写完整
图形编码
1
2
3
4
5
……
三角形个数
1
5
9
……
（2）在第n个图形中有____个三角形（用含n的代数式表示）.
分析图3-1是一个三角形，在此基础上，以后每连结一次中间三角形三边的中点，就多出4个三角形，因此到第n个图形共有三角形个数为1+（n-1）×4=4n-3，故应填写
（1）13,17；
（2）4n-3.
例4（徐州市中考题）在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1,0），将点P0绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1；再将点P2绕着原点按逆时针方向旋转30°得到点P3，延长OP3到P4，使OP4=2OP3；如此继续下去，求
（1）点P2的坐标；
（2）点P2003的坐标.
解
（1）设P2的坐标为（x,y），作P2M⊥x轴，垂足为M（如图4）.∵OP2=2OP1=2OP0=2×1=2，∠P2OM=30°，∴y=MP2=2sin30°=
.∴P2的坐标为（
1）.
（2）按照如此的变化规律，点P23、P24又回到x轴的正半轴上.∵2003=24×83+11，∴点P2003落在x轴的负半轴上，∵OP3=OP2=2，OP5=OP4=22，OP7=OP6=23，…
∴OP2003=OP2002=21001.
∴点P2003的坐标为（-21001,0）.
三、阅读理解，探索规律
例5152=225=100×1（1+1）+25，252=625=100×2（2+1）+25，
352=1225=100×3（3+1）+25，452=2025=100×4（4+1）+25，
……，
752=5625=____，852=7225=____.
（1）找出规律，把上面横线填完整；
（2）你能用字母表示出上面的规律吗？
（3）请计算20052的值.
简析通过阅读几个已知的式子,可从中发现100、1、25是每个式子中共有的，再仔细观察，还可以发现：
等号前面的十位数字与括号前面的因数相同，于是规律找到了，结果随之可求.
（1）752=5625=100×7（7+1）+25，
852=7225=100×8（8+1）+25；
（2）（10n+5）2=100×n（n+1）+25（n为正整数）；
（3）20052=（10×20+5）2=100×200（200+1）+25=4020025.
四、先退后进，探索规律
例6如图5所示，连结直线m外一点P和直线m上n个点的图形中有多少个三角形？
分析当一个问题涉及相当多乃至无穷多的情形时，可以从问题的简单情形或特殊情形入手，以退为进，从中发现一般规律或作出某种猜想.
解先退后进，在直线m上分别取2、3、4、5个点寻求其中规律.
1=1（取2个点）；3=1+2（取3个点）；
6=1+2+3（取4个点）；
10=1+2+3+4（取5个点）.
从而发现三角形的总数恰好是若干连续正整数的和，最后一个正整数为所取点的个数减去1.因此
Sn=1+2+3+4+…+（n-1）
=
[1+（n-1）]（n-1）=
n（n-1）（个）.
五、认真观察，探索规律
例7观察下列数表：
1 2 3 4…第1行
2 3 4 5…第2行
3 4 5 6…第3行
4 5 6 7…第4行
┇┇┇ ┇
第 第第第
1 2 3 4
列 列列列
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列交叉点上的数应为 ．第n行（n为正整数）与第n列交叉点上的数应为 ．（2005年北京市丰台区中考题）
分析与解答本例属于数字规律的探索问题．经观察，本数表是一个n×n型表，每一行的第1个数字就是该行的序数，后面的第2、3、……、n个数为自然数递增的顺序排列．第n行与第n列的交叉点上的数就是第n行的第n个数．据此，第6行与第6列的交叉点上的数就是第6行的第6个数，即6＋5=11．第n行的第n个数为n＋（n-1）=2n-1.
例8 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如图2-2-1所示的正方形图案．
则第n个图案需要用白色棋子 枚．（用含有n的代数式表示）
（2005年广东省茂名市中考题）
分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这尖问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
很显然，第1个正方形图案有棋子共32=9枚，其中黑色棋子有12=1枚，白色棋子有（32－12）枚；第2个正方形图案有棋子共42=16枚，其中黑色棋子有22=4枚，白色棋子有（42－22）枚；…
由此可猜出想第n个图案的白色棋子数为（n＋2）2－n2=4（n＋1）.
中考题中的探索规律型试题体现了认识问题和解决问题的规律和方法，即特殊----一般----特殊.我们要努力培养自己的观察、分析、归纳、猜想的能力，并敢于科学、大胆地发现.
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