一元二次方程的应用1导学案新版新人教版工作范文.docx

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一元二次方程的应用1导学案新版新人教版工作范文

一元二次方程的应用

（1）导学案（新版新人教版）

　　第8课时一元二次方程的应用

　　一、学习目标会列出一元二次方程解应用题；

　　学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题；

　　通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．

　　二、知识回顾1．解一元二次方程有哪些方法？

　　直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．

　　．列一元一次方程解应用题的步骤是什么？

　　审：

弄清题意和题目中的数量关系；

　　设：

用字母表示题目中的一个未知数；

　　找：

找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；

　　列：

根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程；

　　解：

解所列的方程，求出未知数的值；

　　验：

检验方程的解是否符合题意；

　　答：

写出答案．

　　三、新知讲解列一元二次方程解应用题的一般步骤

　　审：

指读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；

　　设：

指设元，即设未知数，设元分直接设元和间接设元，直接设元就是问什么设什么，间接设元是间接地设一个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量；

　　列：

指列一元二次方程，这是非常重要的步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；

　　解：

指解方程，即求出所列方程的解；

　　验：

指检验方程的解能否保证实际问题有意义，符合题意，应注意的是，一元二次方程的解有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100%，等等．

　　答：

写出答案．

　　列一元二次方程解应用题的常见题型

　　传播问题、增长率问题、几何图形问题、数字问题、营销问题、利息问题等．

　　四、典例探究

　　．一元二次方程的应用——传播问题

　　【例1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，

　　问每轮传染中平均一个人传染了几个人？

　　如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？

　　总结：

　　传播问题的基本特征是：

以相同速度逐轮传播.

　　解决此类问题的关键是：

明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．

　　练1．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：

将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？

　　．一元二次方程的应用——增长率问题

　　【例2】白溪镇XX年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，XX年达到82.8公顷．

　　求该镇XX至XX年绿地面积的年平均增长率；

　　若年增长率保持不变，XX年该镇绿地面积能否达到100公顷？

　　总结：

　　增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率或平均降低率.

　　若平均增长百分率为x，增长前基数为a，增长n次后的最后产量是b，则它们的数量关系可表示为an=b，其中增长取“+”，降低取“-”，注意1与x的位置不能调换.

　　增长率问题中，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．

　　练2．一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？

　　．一元二次方程的应用——与图形有关的问题

　　【例3】如图，在宽为20，长为32的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路，把耕地分成大小相等的6块作为试验田，要使试验田面积为5042，求每条道路的宽度为多少米.

　　总结：

　　解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积.

　　对于不规则图形的面积问题，往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，运用规则图形的面积公式列出方程．

　　练3．某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABcD．

　　当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪Bc边的长．

　　怎样围能得到面积最大的草坪？

　　五、课后小测一、选择题

　　．九班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九班的人数是

　　A．39B．40c．50D．60

　　．有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为

　　A．5B．6c．7D．8

　　．某工厂第二季度的产值比季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比季度增长了

　　A．2x%B．1+2x%c．•x%D．•x%

　　．为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则次降价后的价格为

　　A．18元B．36元c．64元D．80元

　　．如图，矩形ABcD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为

　　A．7B．6c．5D．4

　　二、填空题

　　．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有

　　人被传染．

　　．甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是

　　．

　　．如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40，宽为26，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为8642，求路的宽度为

　　．

　　三、解答题

　　．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

10．有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．

　　求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

　　如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

　　1．某公司一月份营业额为100万元，季度总营业额为331万元，问：

该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？

　　．前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．

　　3．据媒体报道，我国XX年公民出境旅游总人数约5000万人，XX年公民出境旅游总人数约7200万人，若XX年、XX年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：

　　求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

　　如果XX年仍保持相同的年平均增长率，请你预测XX年我国公民出境旅游总人数约多少万人？

　　．如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？

　　．如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．

　　．如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．

　　问：

依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有　28　块，白色瓷砖有　42　块；

　　某新学校教室要装修，每间教室面积为682，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？

　　典例探究答案：

　　【例1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，

　　问每轮传染中平均一个人传染了几个人？

　　如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？

　　分析：

设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有121人患病，可求出x，

　　进而求出第三轮过后，又被感染的人数．

　　解答：

解：

设每轮传染中平均每人传染了x人，

　　+x+x=121，

　　x=10或x=﹣12．

　　答：

每轮传染中平均一个人传染了10个人；

　　1+121×10=1331．

　　答：

第三轮后将有1331人被传染．

　　点评：

本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键．

　　练1．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：

将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？

　　分析：

设邀请了n个好友转发倡议书，轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．

　　解答：

解：

由题意，得

　　n+n2+1=111，

　　解得：

n1=﹣11，n2=10．

　　故n的值是10．

　　点评：

本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键．

　　【例2】白溪镇XX年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，XX年达到82.8公顷．

　　求该镇XX至XX年绿地面积的年平均增长率；

　　若年增长率保持不变，XX年该镇绿地面积能否达到100公顷？

　　分析：

设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出XX年的绿地面积，根据XX年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；

　　根据求出的年增长率就可以求出结论．

　　解答：

解：

设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得

　　52=82.8，

　　解得x1=0.2，x2=﹣2.2.

　　答：

增长率为20%；

　　由题意，得82.8=99.36

　　答：

XX年该镇绿地面积不能达到100公顷．

　　点评：

本题考查了增长率问题的数量关系的运用，关键是运用增长率的数量关系建立一元二次方程求解．

　　练2．一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？

　　分析：

设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格，则次降价后的价格是60，第二次后的价格是602，据此即可列方程求解．

　　解答：

解：

设平均每次降价的百分率是x，依题意得：

　　02=48.6，

　　解方程得：

x1=0.1=10%，x2=1.9，

　　答：

平均每次降价的百分率是10%．

　　故答案为：

10%．

　　点评：

此题主要考查了一元二次方程的应用﹣﹣增长率问题，关键是读懂题意，掌握公式：

“an=b”，理解公式是解决本题的关键．

　　【例3】如图，在宽为20，长为32的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作为试验田，要使试验田面积为5042，求每条道路的宽度为多少米？

　　分析：

试验田的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．

　　解答：

解：

设道路为x米宽，

　　由题意得20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=504，

　　整理得x2﹣36x+68=0，

　　解得x=2，x=34，

　　经检验x=2，x=34都是原方程的解，但是x=34＞20，因此不合题意舍去．

　　答：

每条道路的宽度为2．

　　点评：

此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外应熟悉以下关系：

整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．本题也可通过平移，把分散的小路集中到一起，得到的试验田为一个矩形，由此可得出方程=504，并求解.

　　练3．某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABcD．

　　当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪Bc边的长．

　　怎样围能得到面积最大的草坪？

　　分析：

可设矩形草坪Bc边的长为x米，则AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解；

　　根据配方法即可得到怎样围能得到面积最大的草坪．

　　解答：

解：

设矩形草坪Bc边的长为x米，则

　　x•=120，

　　解得x1=12，x2=20．

　　故该矩形草坪Bc边的长为12米，．

　　s=x•=﹣x2+16x=﹣2+128，

　　故当矩形草坪长为16米，宽为8米的时候，所围的草坪面积最大．

　　点评：

本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．

　　课后小测答案：

　　一、选择题

　　．九班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九班的人数是

　　A．39B．40c．50D．60

　　解：

设九班共有x人，根据题意得：

　　x=780，

　　解之得x1=40，x2=﹣39，

　　答：

九班共有40名学生．

　　故选B．

　　．有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为

　　A．5B．6c．7D．8

　　解：

根据题意得：

1+x+x=49，

　　解得：

x=6或x=﹣8，

　　则x的值为6．

　　故选：

B．

　　．某工厂第二季度的产值比季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比季度增长了

　　A．2x%B．1+2x%c．•x%D．•x%

　　解：

根据题意得：

第三季度的产值比季度增长了•x%，

　　故选D

　　．为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则次降价后的价格为

　　A．18元B．36元c．64元D．80元

　　解：

∵原价为100元的药品经过两次降价后下降了36%，

　　∴降价后的药品价格为100=64元，

　　设平均每次降价的百分率是x，依题意得：

　　002=64，

　　解方程得：

x1=0.2=20%，x2=1.8，

　　次降价的价格为100×=80元．

　　故选D．

　　．如图，矩形ABcD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为

　　A．7B．6c．5D．4

　　解：

设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，

　　根据题意得：

x[x﹣]=24，

　　解得：

x=6或x=﹣2，

　　故选B．

　　二、填空题

　　．有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有　648　人被传染．

　　解：

设一个患者一次传染给x人，由题意，得

　　x+x+1=81，

　　解得：

x1=8，x2=﹣10，

　　第三轮被传染的人数是：

81×8=648人．

　　故答案为：

648．

　　．甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是　20%　．

　　解：

设平均每次下调的百分率是x．

　　由题意，得52=3.2．

　　解得x1=0.2，x2=1.8，

　　符合题目要求的是x1=0.2=20%．

　　答：

平均每次下调的百分率是20%．

　　故答案为：

20%．

　　．如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40，宽为26，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为8642，求路的宽度为　2　．

　　解：

设路的宽度是x．根据题意，得

　　=864，

　　x2﹣46x+88=0，

　　=0，

　　x=2或x=44．

　　答：

路的宽度是2．

　　三、解答题

　　．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

　　解：

设每个支干长出的小分支的数目是x个，

　　根据题意列方程得：

x2+x+1=91，

　　解得：

x=9或x=﹣10；

　　∴x=9；

　　答：

每支支干长出9个小分支．

　　0．有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．

　　求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

　　如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

　　解：

设每轮传染中平均每人传染了x人，

　　+x+x=49

　　x=6或x=﹣8．

　　答：

每轮传染中平均一个人传染了6个人；

　　×6=294．

　　答：

第三轮将又有294人被传染．

　　1．某公司一月份营业额为100万元，季度总营业额为331万元，问：

该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？

　　解：

设该公司二、三月份营业额平均增长率是x．

　　根据题意得100+100+1002=331，

　　解得x1=0.1，x2=﹣3.1．

　　答：

该公司二、三月份营业额平均增长率是10%．

　　．前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．

　　解：

设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：

　　02=12.8

　　解得：

x1=0.2，x2=1.8．

　　答：

每次降价的百分率为：

20%．

　　3．据媒体报道，我国XX年公民出境旅游总人数约5000万人，XX年公民出境旅游总人数约7200万人，若XX年、XX年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：

　　求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

　　如果XX年仍保持相同的年平均增长率，请你预测XX年我国公民出境旅游总人数约多少万人？

　　解：

设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．

　　根据题意得：

50002=7200，

　　解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2．

　　答：

这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．

　　如果XX年仍保持相同的年平均增长率，

　　则XX年我国公民出境旅游总人数为7200=7200×=8640．

　　答：

预测XX年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．

　　．如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？

　　解：

设道路的宽应为x米．由题意得：

　　=4524，

　　化简得：

x2﹣140x+276=0，

　　解得：

x1=2，x2=138．

　　答：

道路的宽应为2米．

　　．如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．

　　解：

设小路的宽为x米，根据题意得：

=800，

　　解得：

x=10或x=40

　　答：

小路的宽为10米．

　　．如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．

　　问：

依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有　28　块，白色瓷砖有　42　块；

　　某新学校教室要装修，每间教室面积为682，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？

　　解：

通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白瓷砖2块；

　　当n=2时，黑色瓷砖有12块，白瓷砖6块；

　　当n=3时，黑色瓷砖有16块，用白瓷砖12块；

　　则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4，白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n，

　　当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×=28块，白色瓷砖有6×=42块；

　　故答案为：

28，42；

　　设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得：

　　0.52×n+0.5×0.25×4=68，

　　解得n1=15，n2=﹣18，

　　白色瓷砖块数为n=240，

　　黑色瓷砖块数为4=64，

　　所以每间教室瓷砖共需要：

20×240+10×64=5440元．

　　答：

每间教室瓷砖共需要5440元．