北京市东城区高三数学一模文科试题.docx
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北京市东城区高三数学一模文科试题
北京市东城区2019学年度第二学期高三综合练习
（一）
数学（文科）
学校班级姓名考号
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1）已知全集U{1,2,3,4}，集合A{1,2}，那么集合eUA为
A）{3}（B）{3,4}（C）{1,2}（D）{2,3}
2）“a1”是“直线x2y0与直线x（a1）y40平行”的
（A）
充分不必要条件（B）
必要不充分条件
（C）
充要条件（D）
既不充分也不必要条件
3）已知
ABCD为平行四边形，若向量
ABa，ACb，则向量
BC为
（A）
ab
（B）a+b
（C）
ba（
D）ab
4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是
则判断框内应填入的条件是
A）n5?
B）n5?
C）n5?
D）n5?
6）已知点A（2,1），抛物线y24x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得PAPF最小，则P点的坐标为
11
（A）（2,1）（B）（1,1）（C）（2,1）（D）（4,1）
7）对于函数yf（x），部分x与y的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
7
4
5
8
1
3
5
2
6
数列{xn}满足x12，且对任意nN*，点（xn,xn1）都在函数yf（x）的图象上，则x1x2x3x4x2012x2013的值为
（A）9394（B）9380（C）9396（D）9400
8）已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x3，且当x3时，f（x）2x3.若函数f（x）
在区间（k1,k）（kZ）上有零点，则k的值为
（A）2或7（B）2或8（C）1或7（D）1或8
第Ⅱ卷（共110分）
、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9）已知i是虚数单位，那么i（1i）等于．
10）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩
的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是，乙5次测试成
绩的平均数与中位数之差是．
x20,
11）不等式组y0,表示的平面区域为D，则区域D的面积为，zxy的最大值为
xy0
12）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概
率为
13）函数f（x）sin（x）的图象为C，有如下结论：
①图象C关于直线x5对称；②图象C
36
关于点（4,0）对称；③函数f（x）在区间[,5]内是增函数，其中正确的结论序号336
是．（写出所有正确结论的序号）
14）数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若anan（a0），则位于第10行的第8列的项等于，a2013在图中位于．（填第几行的第几列）
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15）（本小题共13分）
在△ABC中，三个内角A，
B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA3acosB．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b23，求ac的最大值．
16）（本小题共14分）
如图，已知AD平面ABC，
1
ABACADCE．
2
Ⅰ）求证：
AF//平面BDE；
Ⅱ）求证：
平面BDE平面BCE．
（17）（本小题共13分）
为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：
优秀
良好
合格
男生人数
x
380
373
女生人数
y
370
377
（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？
（Ⅱ）若x245，y245，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．
18）（本小题共14分）
已知函数f（x）mlnx（m1）x（mR）．
（Ⅰ）当m2时，求曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（III）若f（x）存在最大值M，且M0，求m的取值范围．
（20）（本小题共13分）
设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：
A（a1,a2,,ai,,an）.其中ai（i1,2,,n）称为数组A的“元”，i称为ai的下标.如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的子数组.定义两个数组A（a1,a2,,an），B（b1,b2,,bn）的关系数为C（A,B）a1b1ab22anbn.
11
（Ⅰ）若A（2,2），B（1,1,2,3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A,S）的最大值；
333
（Ⅱ）若A（,,），B（0,a,b,c），且a2b2c21，S为B的含有三个“元”的
333
子数组，求C（A,S）的最大值.
北京市东城区2019学年度第二学期高三综合练习
（一）数学参考答案（文科）
一、选择题（本大题共
（1）B
（5）C
8小题，每小题
（2）C
（6）D
5分，共40分）
（3）C
（4）A
（8）A
（7）
A
二、填空题（本大题共
6小题，每小题
5分，
共
30分）
（9）1i
（10）84
2
（11）
2，2
1（12）
4
（13）①②③
（14）
89a
第45行的第77列
注：
两个空的填空题第一个空填对得
3分，第二个空填对得
2分．
三、解答题（本大题共
6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（Ⅰ）因为bsinA3acosB，
由正弦定理可得sinBsinA3sinAcosB，
因为在△ABC中，sinA0，所以tanB3.
又0B，所以B.
3
Ⅱ）由余弦定理b2a2c22accosB，
因为B，b23，
3
所以12a2c2ac.
因为a2c22ac，
所以ac12.
当且仅当ac23时，ac取得最大值12.
（16）（共14分）
证明：
（Ⅰ）取BE的中点G，连结GF，GD.因为F是BC的中点，
则GF为△BCE的中位线．
1
所以GF//EC，GF1CE．
2
因为AD平面ABC，CE平面ABC，所以GF//EC//AD．
1
又因为ADCE，
2
所以GFAD．
所以四边形GFAD为平行四边形．
所以AF//DG．
因为DG平面BDE，AF平面BDE，
所以AF//平面BDE．
Ⅱ）因为ABAC，F为BC的中点，所以AFBC．
因为EC//GF，EC平面ABC，
所以GF平面ABC．
又AF平面ABC，
所以GFAF．
因为GFBCF，
所以AF平面BCE．
因为AF//DG，
所以DG平面BCE．
又DG平面BDE，
所以平面BDE平面BCE．
17）（共13分）解：
（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：
xy2000（38037337037．7）
80
因为50020，
2000
故在优秀等级的学生中应抽取20份．Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A．因为xy500，x245，y245，且x，y为正整数，
所以数组（x,y）的可能取值为：
（245,25，5（246,254），（247,253），⋯，（255,245），共11个．
其中满足xy的数组（x,y）的所有可能取值为：
（255,245），（254,246），（253,247），（252,248）
基本事件数为5．
5
所以P（A）5．
11
故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为
18）
，（251,249）共5个，即事件A包含的
5
11
（共14分）
19）
又f
（1）1，
所以曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程是y13（x1），
即3xy20．
Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0,），
解：
（Ⅰ）当m2时，f（x）2lnxx．
当m≤0时，
由x0知f（x）mm10恒成立，
x
此时f（x）在区间（0,）上单调递减．
当m≥1时，由x0知f（x）mm10恒成立，
x
此时f（x）在区间（0,）上单调递增．
当0m1时，由f（x）0，得xm，由f（x）0，得xm
1m1m此时f（x）在区间（0,m）内单调递增，在区间（m,）内单调递减．
1m1m
III）由（Ⅱ）知函数f（x）的定义域为（0,），
当m≤0或m≥1时，f（x）在区间（0,）上单调，此时函数f（x）无最大值．
当0m1时，f（x）在区间（0,m）内单调递增，在区间（m,）内单调递减，
1m1m
所以当0m1时函数f（x）有最大值．
最大值Mf（m）mlnmm．
1m1m
me因为M0，所以有mlnmm0，解之得me1m
（1ee,1）．
1e
20）
（共13分）
21）
C：
2y21，即x22y22b2.2b2b2
因为椭圆C过点（2,2），
得b24，a28.
x2y2
所以椭圆C的方程为xy1.
84
Ⅱ）证明：
由（Ⅰ）知椭圆C的焦点坐标为F1（2,0），F2（2,0）.
根据题意，可设直线MN的方程为yk（x2），
1
由于直线MN与直线PQ互相垂直，则直线PQ的方程为y1（x2）.k
设M（x1,y1），N（x2,y2）.
yk（x2）,
由方程组x2y2消y得
841
（2k21）x28k2x8k280.
可以只计算C（A,S）3（ab）的最大值，其中a2b2c21．
3
由（ab）2a2b22ab2（a2b2）2（a2b2c2）2，
得2ab2．
2
当且仅当c0，且ab2时，ab达到最大值2，
2
由于a2b2c21，
所以（abc）2a2b2c22ab2ac2bc．
3（a2b2c2）3，
当且仅当abc时，等号成立．
即当abc3时，abc取得最大值3，此时C（A,S）3（abc）1．
33
综上所述，C（A,S）的最大值为1．
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