考研数学二公式高数线代费了好大的劲技巧归纳.docx
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考研数学二公式高数线代费了好大的劲技巧归纳
高等数学公式
一、常用的等价无穷小
当
x→0时
x
~sinx
~tanx
~arcsinx
~arctanx
~ln（1+x）~ex-1
ax-1~xlna
α
αx
（α为任意实数，不一定是整数
）
（1+x）-1~
1-cosx
~
1
x2
2
增加
x-sinx
~
1
3
对应
arcsinx–x
~
1
3
x
x
6
6
tanx–x
~
1x3
对应
x-arctanx
~
1x3
3
3
二、利用泰勒公式
x
x2
2
）
x3
3
e=1+x+
2！
o（x
sinxx
o（x）
3!
x2
2
）
cosx=1–
o（x
2！
导数公式：
（tgx）
sec2x
（ctgx）
csc2
x
（secx）
secx
tgx
（cscx）
cscxctgx
（ax）
axlna
x2
2
）
ln（1+x）=x–
o（x
2
1
（arcsinx）
x2
1
（arccosx）
1
x2
1
1
（arctgx）
1x2
（logax）
1
（arcctgx）
1
2
xlna
基本积分表：
1x
tgxdx
ctgxdx
secxdx
cscxdx
dx
22
ax
dx
x2a2
dx
22
ax
dx
22
ax
lncosx
C
lnsinx
C
lnsecx
tgx
C
lncscx
ctgx
C
1arctgx
C
a
a
1lnx
a
C
2a
x
a
1
a
x
C
2a
ln
x
a
arcsinx
C
a
dx2
cos2xsecxdxtgxC
dxcsc2xdxctgxC
sin2x
secxtgxdxsecxC
cscxctgxdxcscxC
axdx
ax
C
lna
shxdx
chx
C
chxdx
shx
C
dx
a2
ln（x
x2
a2）C
x2
2
sinnxdx
2
cosnxdx
n
1In2
In
0
0
n
x2
a2dx
x
x2
a2
a2
ln（x
x2
a2）
C
2
2
x2
a2dx
xx2
a2
a2lnx
x2
a2
C
2
2
2
x
2
dx
x
a
2
x
2
a2
arcsin
x
C
a
2
2
a
三角函数的有理式积分：
sinx
2u
2，cosx
1
u2
u
x
2du
u
1
u
2，
tg，
dx
u
2
1
2
1
一些初等函数：
两个重要极限：
exex
双曲正弦:
shx
2
exex
双曲余弦:
chx
2
双曲正切:
thx
shx
ex
e
chx
ex
e
arshx
ln（x
x2
1）
archx
ln（x
x2
1）
arthx
1ln1
x
21
x
limsinx
1
x0
x
lim（1
1）x
e2.718281828459045...
xx
x
x
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180
°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180
°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270
°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270
°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360
°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360
°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin（
）
sin
cos
cos
sin
sin
sin
2sin
cos
cos（
）
cos
cos
sin
sin
2
2
sin
sin
2cos
sin
tg（
）
tg
tg
1tg
tg
2
2
cos
cos
2cos
cos
ctg
ctg
1
ctg（
）
2
2
ctg
ctg
cos
cos
2sin
sin
2
2
·倍角公式：
sin2
2sin
cos
cos2
2cos2
1
12sin2
cos2
sin2
sin3
3sin
4sin3
ctg2
ctg2
1
cos3
4cos3
3cos
2ctg
3tg
tg3
tg3
2tg
13tg2
tg2
tg2
1
·半角公式：
sin
1
cos
cos
1
cos
2
2
2
2
tg
1
cos
1
cos
sin
ctg
1
cos
1
cos
sin
1
cos
sin
1
cos
2
1
cos
sin
1
cos
2
·正弦定理：
a
b
c
2R
2
2
2
·余弦定理：
c
a
b
2abcosC
sinAsinB
sinC
·反三角函数性质：
arcsinx
arccosx
arctgx
2
arcctgx
2
高阶导数公式——莱布尼兹（
Leibniz）公式：
n
（uv）（n）
Cnku（nk）v（k）
k
0
u（n）vnu（n1）v
n（n
1）u（n2）v
n（n
1）
（n
k1）u（n
k）v（k）
uv（n）
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）
f（a）
f（
）（b
a）
柯西中值定理：
f（b）
f（a）
f（
）
F（b）
F（a）
F（
）
当F（x）x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
ds
1
y2dx,其中ytg
平均曲率：
K
.
:
从M点到M点，切线斜率的倾角变
化量；
s：
MM弧长。
s
M点的曲率：
K
lim
d
y
.
s
ds
2
s0
（1
y
）
3
直线：
K
0;
1
半径为a的圆：
K.
a
定积分的近似计算：
b
b
a（y0y1
矩形法：
f（x）
yn1）
a
n
b
b
a[1（y0
梯形法：
f（x）
yn）
y1
yn1]
a
n
2
b
b
a[（y0
抛物线法：
f（x）
yn）
2（y2
y4
yn2）4（y1y3
yn1）]
a
3n
定积分应用相关公式：
功：
WFs
水压力：
F
pA
引力：
m1m2
为引力系数
F
k
r2
k
函数的平均值：
1
b
y
b
f（x）dx
aa
1
b
均方根：
f2（t）dt
b
aa
多元函数微分法及应用
全微分：
dz
zdx
zdy
du
udx
udy
udz
x
y
x
y
z
全微分的近似计算：
zdz
fx（x,y）x
fy（x,y）
y
多元复合函数的求导法
：
z
f[u（t）,v（t）]
dz
z
u
z
v
dt
u
t
v
t
z
f[u（x,y）,v（x,y）]
z
z
u
z
v
x
u
x
v
x
当
u
，
时，
u（x,y）v
v（x,y）
du
udx
udy
dv
vdx
vdy
x
y
x
y
隐函数的求导公式：
隐函数
F（x,y）
，
dy
Fx，
d2y
Fx
＋
Fx
dy
0
dx
Fy
dx2
（
）
（
）
xFy
yFy
dx
隐函数
F（x,y,z）
，z
Fx，
z
Fy
0
x
Fz
y
Fz
F（x,y,u,v）
0
（F,G）
F
F
Fu
Fv
u
v
隐函数方程组：
0
J
G
G
Gu
Gv
G（x,y,u,v）
（u,v）
u
v
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
x
J
（x,v）
x
J
（u,x）
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
y
J
（y,v）
y
J
（u,y）
微分法在几何上的应用：
方向导数与梯度：
多元函数的极值及其求法：
设
fx（x0,y0）
，令：
fxx（x0,y0）A,fxy（x0
y0）B,fyy（x0,y0）C
fy（x0,y0）0
AC
B
2
时，A
0,（x0
y0）为极大值
0
y0）为极小值
A0,（x0
则：
AC
B
2
时，
无极值
0
AC
B
2
时
不确定
0,
重积分及其应用：
f（x,y）dxdy
f（rcos
rsin
）rdrd
D
D
2
2
曲面zf（x,y）的面积A
1
z
z
x
dxdy
D
y
Mx
x
（x,y）d
My
y
（x,y）d
平面薄片的重心：
D
y
D
x
M
（x,y）d
M
（x,y）d
D
D
平面薄片的转动惯量：
对于x轴Ixy2
（x,y）d
对于y轴Iy
x2
（x,y）d
D
D
平面薄片（位于
xoy平面）对z轴上质点M
（0,0,a）,（a
0）的引力：
F
{Fx,Fy,Fz}，其中：
Fx
f
（x,y）xd
，
Fy
f
（x,y）yd
，
Fz
fa
（x,y）xd
3
3
3
D（x2
y2
a2）2
D（x2
y2
a2）2
D（x2
y2
a2）2
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：
y
f（x,y）
或
P（x,y）dx
Q（x,y）dy
0
可分离变量的微分方程
：
一阶微分方程可以化
为g（y）dy
f（x）dx的形式，解法：
g（y）dy
f（x）dx
得：
G（y）
F（x）C称为隐式通解。
齐次方程：
一阶微分方
程可以写成dy
f（x,y）
（x,y），即写成y的函数，解法：
dx
x
设u
y，则dy
u
xdu，u
du
（u），dx
du
u
分离变量，积分后将
y代替u，
x
dx
dx
dx
x
（u）
x
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程：
dy
P（x）y
Q（x）
dx
当Q（x）
0时,为齐次方程，y
Ce
P（x）dx
当Q（x）
0时，为非齐次方程，
y
（Q（x）e
P（x）dx
dx
P（x）dx
C）e
、贝努力方程：
dy
P（x）y
Q（x）y
n，
0,1）
2
dx
（n
全微分方程：
如果
P（x,y）dx
Q（x,y）dy
中左端是某函数的全微分方程，即：
0
du（x,y）
P（x,y）dx
Q（x,y）dy
，其中：
u
，u
Q（x,y）
0
x
P（x,y）
y
u（x,y）
C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
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