北师大版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转检测题A.docx
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北师大版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转检测题A
第三章《图形的平移与旋转》检测题A
一.选择题(共10小题)
1.(2016•临夏州)下列图形中,是中心对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
2.(2016•武汉)已知点A(a,1)与点A′(5,b)关于坐标原点对称,则实数a、b的值是( )
A.a=5,b=1B.a=﹣5,b=1C.a=5,b=﹣1D.a=﹣5,b=﹣1
3.(2016•安顺)如图,将△PQR向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则顶点P平移后的坐标是( )
A.(﹣2,﹣4)B.(﹣2,4)C.(2,﹣3)D.(﹣1,﹣3)
4.(2016•济宁)如图,将△ABE向右平移2cm得到△DCF,如果△ABE的周长是16cm,那么四边形ABFD的周长是( )
A.16cmB.18cmC.20cmD.21cm
5.(2016•呼和浩特)将转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字“6”,现将数字“69”旋转180°,得到的数字是(
A.96B.69C.66D.99
6.(2016•菏泽)如图,A,B的坐标为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为( )
A.2B.3C.4D.5
7.(2016•莆田)规定:
在个图形绕着某一点旋转一定的角度(小于周角)后能和自身重合,则称此图形为旋转对称图形.下列图形是旋转对称图形,且有一个旋转角为60°的是( )
A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十边形
8.(2016•宜宾)如图,在∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B、D两点间的距离为( )
A.
B.2
C.3D.2
9.(2016所示,将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转,使得点B,A,C′在同一条直线上,则三角板ABC旋转的角度是( )
A.60°B.90°C.120°D.150°
10.(2016•株洲)如ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C,若点B′恰好落在线段AB上,AC、A′B′交于点O,则∠COA′的度数是( )
A.50°B.60°C.70°D.80°
二.填空题(共8小题)
11.(2016•营口)下列图形中:
①圆;②等腰三角形;③正方形;④正五边形,既是轴对称图形又是中心对称图形的有 个.
12.(2013•岳阳开,为了便于游客领略“人从桥上过,如在河中行”的美好意境,某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥.若荷塘周长为280m,且桥宽忽略不计,则小桥总长为 m.
13.(2016•台州角板的斜边紧靠直尺平移,一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”,则顶点C平移的距离CC′= .
14.(2016•广安)将点A(1,﹣3)沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为 .
15.(2016•巴彦淖尔)如图BC中,∠B=90°,AB=BC=2,将△ABC绕点C顺时针旋转60°,得到△DEC,则AE的长是 .
16.(201图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有 种.
17.(20如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为 .
18.(2016•广州)如中,AB=AC,BC=12cm,点D在AC上,DC=4cm.将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF,点E,F分别落在边AB,BC上,则△EBF的周长为
cm.
三.解答题(共8小题)
19.如图,正△ABC与正△A1B1C1关于某点中心对称,已知A,A1,B三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2).
(1)求对称中心的坐标;
(2)写出顶点C,C1的坐标.
20.(2016•齐齐哈尔直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣4,0),C(0,0)
(1)画出将△ABC向上平移1个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O;
(3)在x轴上存在一点P,满足点P到A1与点A2距离之和最小,请直接写出P点的坐标.
21.(2016•荆门t△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AB,AC上,CE=BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF.
(1)补充完成图形;
(2)若EF∥CD,求证:
∠BDC=90°.
22.如图,在Rt△ABC中°,AC=4cm,BC=3cm,将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF,若AE=8cm,DB=2cm
(1)求△ABC向右平移的距离AD的长;
(2)求四边形AEFC的周长.
23.(2015•日照)在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,将△ECF绕点C逆时针旋转α角(0°<α<90°),得到△MCN,连接AM,BN
求证:
AM=BN;
24.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD﹣BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
25.如图,在直角坐标系x为2的等边三角形AOC的顶点A、O都在x轴上,顶点C在第二象限内,△AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x到△OBD,则平移的距离是 个长度单位;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是 ;△AOC绕原点O顺时针方向旋转得到△DOB,则旋转角度可以是 度.
(2)连接AD,交OC于点E,求∠AEO的度数.
26.如图①,△ABC与△直角三角形,直角边AC、CD在同一条直线上,点M,N分别是斜边AB,DE的中点,点P为AD的中点,连接AE、BD、MN.
(1)求证:
△PMN为等腰直角三角形;
(2)现将图①中的△CDE绕着转α(0°<α<90°),得到图②,AE与MP,BD分别交于点G、H,请判断①中的结论是否成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由
参考答案与解析
一.选择题
1.【分析】根据中心对称的定义,结合所给图形即可作出判断.
解:
A、是中心对称图形,故本选项正确;
B、不是中心对称图形,故本选项错误;
C、不是中心对称图形,故本选项错误;
D、不是中心对称图形,故本选项错误;
故选:
A.
2.【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答.
解:
∵点A(a,1)与点A′(5,b)关于坐标原点对称,
∴a=﹣5,b=﹣1.
故选D.
3.【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可.
解:
由题意可知此题规律是(x+2,y﹣3),照此规律计算可知顶点P(﹣4,﹣1)平移后的坐标是(﹣2,﹣4).
故选A.
4.【分析】先根得到CF=AD=2cm,AC=DF,而AB+BC+AC=16cm,则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD,然后利用整体代入的方法计算即可
解:
∵△ABE向右平移2cm得到△DCF,
∴EF=AD=2cm,AE=DF,
∵△ABE的周长为16cm,
∴AB+BE+AE=16cm,
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD
=AB+BE+AE+EF+AD
=16cm+2cm+2cm
=20cm.
故选C.
5.【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69的特点得出答案.
解:
现将数字“69”旋转180°,得到的数字是:
69.
故选:
B.
6.【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可.
解:
由B点平移前后的纵坐标分别为1、2,可得B点向上平移了1个单位,
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3,可得A点向右平移了1个单位,
由此得线段AB的平移的过程是:
向上平移1个单位,再向右平移1个单位,
所以点A、B均按此规律平移,
由此可得a=0+1=1,b=0+1=1,
故a+b=2.
故选:
A.
7.【分析】分别求出各旋转对称图形的最小旋转角,继而可作出判断.
解:
A、正三角形的最小旋转角是120°,故此选项错误;
B、正方形的旋转角度是90°,故此选项错误;
C、正六边形的最小旋转角是60°,故此选项正确;
D、正十角形的最小旋转角是36°,故此选项错误;
故选:
C.
8.【分析】通过勾股定理计算出AB长度,利用旋转性质求出各对应线段长度,利用勾股定理求出B、D两点间的距离
解:
∵在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=5,
∵将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,
∴AE=4,DE=3,
∴BE=1,
在Rt△BED中,
BD=
=
.
故选:
A.
9.【分析】根据旋转角的定义,两对应边的夹角就是旋转角,即可求解.
解:
旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°.
故选:
D.
10.【分析】由三角形的内°可得出∠A=40°,由旋转的性质可得出BC=B′C,从而得出∠B=∠BB′C=50°,再依据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论.
解:
∵在三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=50°,
∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°.
由旋转的性质可知:
BC=B′C,
∴∠B=∠BB′C=50°.
又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′,
∴∠ACB′=10°,
∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°.
故选B.
二.填空题
11.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解:
①既是轴对称图形又是中心对称图形,符合题意;
②是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
③既是轴对称图形又是中心对称图形,符合题意;
④是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
故既是轴对称图形又是中心对称图形的是①③共2个.
故答案为:
2.
12.【分析】利用平移的性质直接得出答案即可.
解:
根据题意得出:
小桥可以平移到矩形的边上,得出小桥的长等于矩形的长与宽的和,
故小桥总长为:
280÷2=140(m).
故答案为:
140.
13.【分析】直接利用平移的性质得出顶点C平移的距离.
解:
∵把三角板的斜边紧靠直尺平移,一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”,
∴三角板向右平移了5个单位,
∴顶点C平移的距离CC′=5.
故答案为:
5.
14.【分析】根据向左平移横坐标减,向上平移纵坐标加求解即可.
解:
∵点A(1,﹣3)沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移5个单位长度后得到点A′,
∴点A′的横坐标为1﹣3=﹣2,纵坐标为﹣3+5=2,
∴A′的坐标为(﹣2,2).
故答案为(﹣2,2).
15.【分析】如图,连接AD,由题意得:
CA=CD,∠ACD=60°,得到△ACD为等边三角形根据AC=AD,CE=ED,得出AE垂直平分DC,于是求出EO=
DC=
,OA=AC•sin60°=
,最终得到答案AE=EO+OA=
+
解:
如图,连接AD,
由题意得:
CA=CD,∠ACD=60°,
∴△ACD为等边三角形,
∴AD=CA,∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°;
∵∠ABC=90°,AB=BC=2,
∴AC=AD=2
,
∵AC=AD,CE=ED,
∴AE垂直平分DC,
∴EO=
DC=
,OA=CA•sin60°=
,
∴AE=EO+OA=
+
,
故答案为
+
.
16.【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义,进而得出符合题意的答案.
解:
如图所示:
这个格点正方形的作法共有4种.
故答案为:
4.
17.【分析】连结PQ,如三角形的性质得∠BAC=60°,AB=AC,再根据旋转的性质得AP=PQ=6,∠PAQ=60°,则可判断△APQ为等边三角形,所以PQ=AP=6,接着证明△APC≌△ABQ得到PC=QB=10,然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形,再根据三角形面积公式,利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ进行计算.
解:
连结PQ,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,AB=AC,
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,
∴AP=PQ=6,∠PAQ=60°,
∴△APQ为等边三角形,
∴PQ=AP=6,
∵∠CAP+∠BAP=60°,∠BAP+∠BAQ=60°,
∴∠CAP=∠BAQ,
在△APC和△ABQ中,
,
∴△APC≌△ABQ,
∴PC=QB=10,
在△BPQ中,∵PB2=82=64,PQ2=62,BQ2=102,
而64+36=100,
∴PB2+PQ2=BQ2,
∴△PBQ为直角三角形,∠BPQ=90°,
∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=
×6×8+
×62=24+9
.
故答案为24+9
.
18.【分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm,进而得出BE=EF=4cm,进而求出答案.
解:
∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF,
∴EF=DC=4cm,FC=7cm,
∵AB=AC,BC=12cm,
∴∠B=∠C,BF=5cm,
∴∠B=∠BFE,
∴BE=EF=4cm,
∴△EBF的周长为:
4+4+5=13(cm).
故答案为:
13.
三.解答题
19.【分析】
(1)根据中心对称图形的性质得出对称中心的坐标即可;
(2)根据等边三角形的性质和中心对称图形的性质解答即可.
解:
(1)∵A,A1,B三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2),
所以对称中心的坐标为(0,);
(2)等边三角形的边长为4﹣2=2,所以点C的坐标为(
,3),点C1的坐标(
,2).
20.【分析】
(1)分别将点A、B、C向上平移1个单位,再向右平移5个单位,然后顺次连接;
(2)根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点,然后顺次连接即可;
(3)利用最短路径问题解决,首先作A1点关于x轴的对称点A3,再连接A2A3与x轴的交点即为所求.
解:
(1)如图所示,△A1B1C1为所求做的三角形;
(2)如图所示,△A2B2O为所求做的三角形;
(3)∵A2坐标为(3,1),A3坐标为(4,﹣4),
∴A2A3所在直线的解析式为:
y=﹣5x+16,
令y=0,则x=
,
∴P点的坐标(
,0).
21.【分析】
(1)根据题意补全图形,如图所示;
(2)由旋转的性质得到∠DCEF与CD平行,得到∠EFC为直角,利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等,利用全等三角形对应角相等即可得证.
解:
(1)补全图形,如图所示;
(2)由旋转的性质得:
∠DCF=90°,
∴∠DCE+∠ECF=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DCE+∠BCD=90°,
∴∠ECF=∠BCD,
∵EF∥DC,
∴∠EFC+∠DCF=180°,
∴∠EFC=90°,
在△BDC和△EFC中,
,
∴△BDC≌△EFC(SAS),
∴∠BDC=∠EFC=90°.
22.【分析】
(1)根据平移的性质可得AD=BE=CF,BC=EF=3cm,然后根据AE、BD的长度求解即可;
(2)根据平移的性质可得EF=BC,CF=AD,然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解.
解:
(1)∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF,
∴AD=BE=CF,BC=EF=3cm,
∵AE=8cm,DB=2cm,
∴AD=BE=CF=
=3cm;
(2)四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18cm.
23.【分析】
(1)由CA=CB是CA,CB边的三等分点,得CE=CF,根据旋转的性质,CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α,证明△AMC≌△BNC即可;
(2)当MA∥CN时,∠ACN=∠CAM,由∠ACN+∠ACM=90°,得到∠CAM+∠ACM=90°,所以cosα=
=
解:
∵CA=CB,∠ACB=90°,E,F分别是CA,CB边的三等分点,
∴CE=CF,
根据旋转的性质,CM=CE=CN=CF,∠ACM=∠BCN=α,
在△AMC和△BNC中,
,
∴△AMC≌△BNC,
∴AM=BN;
24.【分析】
(1)由∠°,得∠ACD+∠BCE=90°,而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,则∠ADC=∠CEB=90°,根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE,易得Rt△ADC≌Rt△CEB,所以AD=CE,DC=BE,即可得到DE=DC+CE=BE+AD.
(2)根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE,易得△ADC≌△CEB,得到AD=CE,DC=BE,所以DE=CE﹣CD=AD﹣BE
(3)DE、AD、BE具有的等量关系为:
DE=BE﹣AD.证明的方法与
(2)相同.
(1)证明:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
在△ADC和△CEB中,
,
∴△ADC≌△CEB,
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=DC+CE=BE+AD;
(2)证明:
在△ADC和△CEB中,
,
∴△ADC≌△CEB,
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE;
(3)DE=BE﹣AD.
易证得△ADC≌△CEB,
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD.
25.【分析】
(1)直接利用平移的定义求解即可;
(2)根据△AOC和△DO的等边三角形得到AO=DO,然后利用∠AOC=∠COD=60°得到OE⊥AD,从而得到∠AEO=90°
解:
(1)△AOC沿数轴向右BD,则平移的距离是2个单位长度;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是y轴;△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,则旋转角度至少是120°度,
故答案为:
2;y轴;120;
(2)∵△AOC和△DOB是能够重合的等边三角形,
∴AO=DO,∠AOC=∠COD=60°,
∴OE⊥AD,
∴∠AEO=90°.
26.【分析】
(1)由形的性质易证△ACE≌△BCD,由此可得AE=BD,再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN,由平行线的性质可得PM⊥PN,于是得到结论;
(2)
(1)中的结论仍旧成立,由
(1)中的证明思路即可证明.
解:
(1)∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,
∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,∠EAC=∠CBD,
∵∠CBD+∠BDC=90°,
∴∠EAC+∠BDC=90°,
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点,点P为AD的中点,
∴PM=
BD,PN=
AE,
∴PM=PM,
∵PM∥BD,PN∥AE,
∴∠NPD=∠EAC,∠MPA=∠BDC,
∵∠EAC+∠BDC=90°,
∴∠MPA+∠NPC=90°,
∴∠MPN=90°,
即PM⊥PN,
∴△PMN为等腰直角三角形;
(2)①中的结论成立,
理由:
设AE与BC交于点O,如图②所示:
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形,
∴AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠ECD=90°.
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CBD.
∵∠AOC=∠BOE,∠CAE=∠CBD,
∴∠BHO=∠ACO=90°,
∴AE⊥BD,
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点,
∴PM=
BD,PM∥BD,PN=
AE,PN∥AE,
∴PM=PN.
∵AE⊥BD,
∴PM⊥PN,
∴△PMN为等腰直角三角形.